大學(xué)物理下冊(cè)第20章 振動(dòng) 課件

1、1 第第 20 20 章章 振振 動(dòng)動(dòng) (Vibration)20.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述20.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量20.4 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)20.5 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振20.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)220.6 同一直線上同頻率同一直線上同頻率 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 20.7同一直線上不同頻率同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 20.8 諧振分析諧振分析 20.9 兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)的合成3 物體在一定位置附近作往復(fù)的運(yùn)動(dòng)叫物體在一定位置附近作往復(fù)的運(yùn)動(dòng)叫機(jī)械機(jī)械振動(dòng)，振動(dòng)，簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱振動(dòng)振動(dòng)

2、周期和非周期振動(dòng)周期和非周期振動(dòng) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng). . 例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動(dòng)等都在不停地振動(dòng)。以及晶體中原子的振動(dòng)等都在不停地振動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成合成分解分解4 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果離開平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果離開平衡位置的位移x x（或角位移（或角位移 ）按正弦規(guī)律隨時(shí)間變化，這種運(yùn)）按正弦規(guī)律隨時(shí)間變化，這種運(yùn)動(dòng)就叫動(dòng)就叫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程(Equation of Simple Harmonic Motio

3、n) ) 20.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述 (Simple Harmonic Motion)AAxOvax圖圖20.1 質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng))tcos(Ax (20.1)5角頻率角頻率 與與頻率頻率 的關(guān)系：的關(guān)系： = (20.3)可得：可得：角頻率角頻率 與與周期周期 T T 的關(guān)系：的關(guān)系：由由T 2 (20.2)tcos(A)tTcos(Ax 22(20.4)6簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度和位移成正比而反相簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度和位移成正比而反相A A: :振幅；振幅； ：角頻率角頻率; ; : :初相初相 叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的的三個(gè)特征量。三個(gè)特征量。)2cos()sin( tAt

4、Adtdxv(20.5)2222cos()()d xaAtdtAt (20.6)xdtxda222 (20.7)7tx圖圖tv 圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos( tAx0若若2T)2cos(tA)sin( tAv)cos(2tA)cos( tAa2圖圖20.2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的x,v,a隨時(shí)間隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線變化的關(guān)系曲線8二、相量圖法二、相量圖法(Method of phasor diagram)2 cos(tAv)cos(2tAaA振幅矢量振幅矢量;mvv)cos(tAx圖圖20.3 勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)0t ttAOxnaax

5、9三、相三、相 初相初相 相差相差（Phase Initial Phase Phase Difference）：叫在時(shí)刻：叫在時(shí)刻 t 振動(dòng)的振動(dòng)的相（相（或或相位）相位）; t：t=0 時(shí)刻的相位叫時(shí)刻的相位叫初相初相 若兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相差始終是若兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相差始終是 = 2- 1則可知兩個(gè)運(yùn)動(dòng)是同步調(diào)的。則可知兩個(gè)運(yùn)動(dòng)是同步調(diào)的。)tcos(Ax)tcos(Ax222111 兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 它們的相差它們的相差1212 )t()t(20.8)10例例20.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。一質(zhì)點(diǎn)沿。一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅幅A=0.05m，周期，周期T=0.2s。當(dāng)質(zhì)

6、點(diǎn)正越過平衡位。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)正越過平衡位置項(xiàng)負(fù)置項(xiàng)負(fù)x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)。方向運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)。 （1）寫出此質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式；）寫出此質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式； （2）求在）求在t=0.05s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；速度； （3）另一質(zhì)點(diǎn)和此質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率相同，）另一質(zhì)點(diǎn)和此質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率相同，但振幅為但振幅為0.08m，并和此質(zhì)點(diǎn)反相，寫出這另一，并和此質(zhì)點(diǎn)反相，寫出這另一質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式；質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式； （4）畫出兩振動(dòng)的相量圖。）畫出兩振動(dòng)的相量圖。 11解解 (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以余弦函數(shù)表示取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以余弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則簡(jiǎn)諧運(yùn)

7、動(dòng)，則A=0.05m， =2 /T=10 s-1。由于。由于t=0時(shí)時(shí)x=0，且，且v0，所以所以 = /4。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為27 07 10 cos(4)4x.t2222例例20.3 單擺的小擺角振動(dòng)單擺的小擺角振動(dòng)。如圖所示單擺擺長(zhǎng)。如圖所示單擺擺長(zhǎng)為為l，擺錘質(zhì)量為，擺錘質(zhì)量為m。證明：?jiǎn)螖[的小擺角振動(dòng)是。證明：?jiǎn)螖[的小擺角振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)并求其周期。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)并求其周期。解解 取逆時(shí)針方向?yàn)榻形灰迫∧鏁r(shí)針方向?yàn)榻形灰?的正方向，則的正方向，則tfmg sin 在在位移角位移角 很小時(shí)很小時(shí)，sin ，所以，所以由于由于22ddddddtvallttttfmg (20.1

8、7)圖圖20.6 例例20.3單單擺擺2323由牛頓第二定律可得由牛頓第二定律可得22ddmlmgt 或或22ddgtl （20.18）與式（與式（20.11）比較，可得在擺角很小的情況下，）比較，可得在擺角很小的情況下，單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其角頻率為單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其角頻率為gl其周期為其周期為22lTg（20.19）24 20.3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 （Energy of Simple Harmonic Motion）彈簧振子為例彈簧振子為例 （Spring Oscillator）22pkkx21mv21EEE (20.25)總機(jī)械能總機(jī)械能222022220112211

9、22cos ()sin ()pkEkxkAtEmvmAt(20.26)(20.27)25mk2 彈簧振子彈簧振子總機(jī)械能為總機(jī)械能為 彈簧振子的總能量不隨時(shí)間改變，即彈簧振子的總能量不隨時(shí)間改變，即其機(jī)械能守恒。總能量與振幅的平方成正比，這其機(jī)械能守恒?？偰芰颗c振幅的平方成正比，這對(duì)其他的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)也正確。對(duì)其他的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)也正確。)t(sinkA21E022k (20.28)2pkkA21EEE (20.29)26圖圖20.7簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線kEpExA A pExOE TTkkTTppkAdttkATdtETEkAdttkATdtETE02022002022041)(s

10、in211141)(cos2111 27 20.4 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)（damped vibration） 任何振動(dòng)系統(tǒng)總要受到阻力的作用，任何振動(dòng)系統(tǒng)總要受到阻力的作用，這時(shí)的振動(dòng)叫這時(shí)的振動(dòng)叫阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)。因阻尼振動(dòng)的振幅不斷。因阻尼振動(dòng)的振幅不斷地減小，故而被稱為地減小，故而被稱為減幅振動(dòng)減幅振動(dòng)。阻尼力阻尼力比例常數(shù)比例常數(shù)dtdxfr v（ 20.31 ）運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程dtdxkxdtxdm22 （ 20.32 ）28mk20 令令固有角頻率固有角頻率m2 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)代入（代入（ 20.32 ）式式, ,在阻尼作用較?。丛谧枘嶙饔幂^?。? 時(shí)）時(shí)）0 xdtdx2dtx

11、d2022 （20.33）方程方程（4-3）的解為）的解為)tcos(eAx0t0 （ 20.34）可得可得29其中其中0A0 和和是由初始條件決定的積分常數(shù)是由初始條件決定的積分常數(shù)圖圖20.8 阻尼振動(dòng)圖線阻尼振動(dòng)圖線tOxt0eA 220 （20.35）30阻尼振動(dòng)周期為阻尼振動(dòng)周期為振動(dòng)能量為振動(dòng)能量為其中其中0E為起始能量。能量減小到起始能量的為起始能量。能量減小到起始能量的e1所經(jīng)歷的時(shí)間為所經(jīng)歷的時(shí)間為時(shí)間常數(shù)，或叫鳴響時(shí)間時(shí)間常數(shù)，或叫鳴響時(shí)間阻尼越小，則鳴響時(shí)間也越長(zhǎng)。阻尼越小，則鳴響時(shí)間也越長(zhǎng)。22022T （20.36）t20eEE （20.37） 21 （20.38）3

12、1品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù)QQ：在鳴響時(shí)間內(nèi)完成阻尼振動(dòng)的次數(shù)：在鳴響時(shí)間內(nèi)完成阻尼振動(dòng)的次數(shù)的的 倍，即倍，即 2otx圖圖20.9三種阻尼的比三種阻尼的比較較abc b b：過阻尼：過阻尼 a a：欠阻尼：欠阻尼 c c：臨界阻尼：臨界阻尼 T2Q（20.39）32 20.5 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振（Forced vibration Resonance ） 在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)叫在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)叫受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)施加的周期性外力叫對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)施加的周期性外力叫驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力。物體受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程物體受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程彈性力彈性力阻力阻力簡(jiǎn)諧力簡(jiǎn)諧力令令mHh,m2,mk20 tc

13、osHdtdxkxdtxdm22 （20.40）33則上式可以寫成則上式可以寫成這個(gè)微分方程的解為這個(gè)微分方程的解為減幅振動(dòng)減幅振動(dòng)等幅振動(dòng)等幅振動(dòng)受迫振動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)表示式受迫振動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)表示式驅(qū)動(dòng)力的角頻率驅(qū)動(dòng)力的角頻率tcoshxdtdx2dtxd2022 （20.41）)tcos(A)tcos(eAx0220t0 （20.42）)tcos(Ax （20.43）34振幅為振幅為穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)與驅(qū)動(dòng)力的相差為穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)與驅(qū)動(dòng)力的相差為振幅極大時(shí)的振幅極大時(shí)的角頻率角頻率、相應(yīng)的、相應(yīng)的振幅振幅為為 212222204hA （20.44）2202arctan （20.45）2202 （20.46

14、）2202mHA （20.47）35圖圖20.10 受迫振動(dòng)的振幅曲線受迫振動(dòng)的振幅曲線0 0 當(dāng)當(dāng)即即時(shí)振幅達(dá)到最大值，即時(shí)振幅達(dá)到最大值，即發(fā)生了發(fā)生了共振共振。36共振的應(yīng)用：收音機(jī)、樂器、醫(yī)療診斷等共振的應(yīng)用：收音機(jī)、樂器、醫(yī)療診斷等共振的危害：機(jī)器設(shè)備的損害等共振的危害：機(jī)器設(shè)備的損害等圖圖20.11 1940 年年7月月1日美國(guó)日美國(guó) Tocama 海峽大橋的共振斷塌海峽大橋的共振斷塌37 20.6 同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成成（ Combination of Simple Harmonic Motion Along a Straight Lin

15、e with same frequency ） 設(shè)在同一直線上的同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的設(shè)在同一直線上的同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式分別為，表達(dá)式分別為，)tcos(Ax)tcos(Ax222111 任意時(shí)刻合振動(dòng)的位移任意時(shí)刻合振動(dòng)的位移21xxx 38X1A 12A 2A XOX2X2X1圖圖20.12 在在x 軸上的兩個(gè)同頻軸上的兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的相量圖率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的相量圖39合振動(dòng)的表達(dá)式合振動(dòng)的表達(dá)式)tcos(Ax 合振幅合振幅合振的初相合振的初相兩個(gè)分振動(dòng)兩個(gè)分振動(dòng) 的初相差的初相差)cos(AA2AAA12212221 (20.48)22112211cosAcosAs

16、inAsinAtg (20.49)401. 兩個(gè)分振動(dòng)同相兩個(gè)分振動(dòng)同相 ,2, 1,0k,k212 21212221AAAA2AAA toxx1x2x1+ x2圖圖20.13 兩振動(dòng)同相兩振動(dòng)同相412. 兩個(gè)分振動(dòng)反相兩個(gè)分振動(dòng)反相 ,2, 1,0k,)1k2(12 21212221AAAA2AAA toxx1x2圖圖20.14 兩振動(dòng)反兩振動(dòng)反相相x1 +x2當(dāng)當(dāng)21AA 時(shí)，時(shí)，0A 質(zhì)點(diǎn)處于靜止質(zhì)點(diǎn)處于靜止42tox圖圖20.15 任意相位任意相位差差3. 兩個(gè)分振動(dòng)相差為其他值時(shí)，合振幅的值在兩個(gè)分振動(dòng)相差為其他值時(shí)，合振幅的值在21AA 21AA 與與之間之間4320.7 同一直

17、線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成成（ Combination of Simple Harmonic Motion Along a Straight Line with different frequency） 在同一直線上的兩個(gè)分簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同，在同一直線上的兩個(gè)分簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同，初相位相同，兩分振動(dòng)的表達(dá)式分別為初相位相同，兩分振動(dòng)的表達(dá)式分別為)tcos(Ax)tcos(Ax2211 合振動(dòng)的表達(dá)式為合振動(dòng)的表達(dá)式為)tcos(A)tcos(Axxx2121 44由于由于 , ,故故 隨時(shí)間作極其緩慢的周期變化。隨時(shí)間作極其緩慢的周期變化。1212)(

18、) t2cos(A212 合振動(dòng)可視為振幅為合振動(dòng)可視為振幅為 ，角頻率為角頻率為 的諧振動(dòng)。的諧振動(dòng)。t2cosA212 )(22112 頻率都較大但相差很小的兩個(gè)同方向振動(dòng)合頻率都較大但相差很小的兩個(gè)同方向振動(dòng)合成時(shí)所產(chǎn)生的這種振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象成時(shí)所產(chǎn)生的這種振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍拍。)t2cos(t2cosA2)tcos(A)tcos(Axxx12122121 (20.50)45單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)拍頻拍頻1xt2xtxt圖圖20.16 拍的形成拍的形成46拍頻為兩分振動(dòng)頻率之差拍頻為兩分振動(dòng)頻率之差拍現(xiàn)象的應(yīng)用：拍現(xiàn)象的應(yīng)用： 管樂器中的雙簧管；

19、校準(zhǔn)樂器管樂器中的雙簧管；校準(zhǔn)樂器( (使其和標(biāo)準(zhǔn)使其和標(biāo)準(zhǔn)音叉產(chǎn)生的拍音消失音叉產(chǎn)生的拍音消失) )；超外差式收音機(jī)中的變；超外差式收音機(jī)中的變頻器；汽車速度監(jiān)視器；地面衛(wèi)星跟蹤等。頻器；汽車速度監(jiān)視器；地面衛(wèi)星跟蹤等。12122212 拍拍(20.51）47 20.8 諧振分析諧振分析（ resonance analysis ） 20.17 頻率比為頻率比為1：2的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成成 兩個(gè)在同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合兩個(gè)在同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成的結(jié)果仍是振動(dòng)，但一般不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。成的結(jié)果仍是振動(dòng)，但一般不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 下面即頻率為下面即頻率為1：2

20、的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成t2sinAtsinAxxx2121 48 兩個(gè)以上，而且各分振動(dòng)的頻率都是其中一個(gè)兩個(gè)以上，而且各分振動(dòng)的頻率都是其中一個(gè)最低頻率最低頻率的整數(shù)倍，則合振動(dòng)仍是周期性的，其頻的整數(shù)倍，則合振動(dòng)仍是周期性的，其頻率等于那個(gè)最低的頻率。率等于那個(gè)最低的頻率。 任何一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng)都可以分解為一系任何一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng)都可以分解為一系列簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)之和列簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)之和諧振分析諧振分析。 根據(jù)實(shí)際振動(dòng)曲線的形狀，或它的位移時(shí)間函根據(jù)實(shí)際振動(dòng)曲線的形狀，或它的位移時(shí)間函數(shù)關(guān)系，求出它所包含的各種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率和振數(shù)關(guān)系，求出它所包含的各種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率和振幅的數(shù)學(xué)方法幅的數(shù)學(xué)方法傅里葉分析傅里葉分析。49根據(jù)