3集合間的基本運(yùn)算

1、3集合的基本運(yùn)算一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.2.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.3.能夠利用交集、并集的性質(zhì)解決有關(guān)問題.4.了解全集的意義和它的記法.理解補(bǔ)集的概念，能正確運(yùn)用補(bǔ)集的符號和表示形式，會用圖形表示一個集合及其子集的補(bǔ)集.5.會求一個給定集合在全集中的補(bǔ)集，并能解答簡單的應(yīng)用題.二、知識梳理1.并集和交集的概念及其表示類別概念自然語百不語百圖形語言并集由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作AUB（讀作“A<"B”）1AUB=xXCA、或xC

2、B_/1交集由屬于集合A旦屋王集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AHB（讀作“A*”）AAB=xXCA；且xCB并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)AUB=BUAAHB=BAAAUA=AAHA=AAU?=AAn?=2A?B?AUB=BA?B?AAB=A3.全集精心整理(2)記法:4.補(bǔ)集(1)定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全全集通常記作U.文字語百對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，記作?uA不語百?uA=gxCU,且x?A圖形諦言5.補(bǔ)集的性質(zhì)?uU=?,?u?=U,?u(?uA)=

3、A.三、典型例題知識點(diǎn)一集合并集的簡單運(yùn)算例1(1)設(shè)集合M=4,5,6,8,集合N=3,5,7,8,那么MUN等于()A.3,4,5,6,7,8B.5,8C.3,5,7,8D.4,5,6,8(2)已知集合P=x|x<3,Q=x|-1<x<4,那么PUQ等于()A.x|-1<x<3B.x|-1<x<4C.xx<4D.x|x>-1答案(1)A(2)C解析(1)由定義知MUN=3,4,5,6,7,8.'I-(2)在數(shù)軸上表示兩個集合，如圖.I規(guī)律方法解決此類問題首先應(yīng)看清集合中元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)并集的

4、定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示.跟蹤演練1(1)已知集合A=x|(x1)(x+2)=0;B=x|(x+2)(x3)=0,則集合AU8是()A.-1,2,3B.1,-2,3C.1,2,3D.1,2,-3(2)若集合M=x|-3<x<5,N=x|x<5,或x>5,則MUN=.答案(1)C(2)x|x<5,或x>-3解析(1)A=1,-2,B=2,3,.AUB=1,2,3.(2)將一3<x05,x<5或x>5在數(shù)軸上表示出來.精心整理

5、則MUN=x|x<5,或x>3.知識點(diǎn)二集合交集的簡單運(yùn)算例2(1)已知集合A=0,2,4,6,B=2,4,8,16，則AHB等于()A.2B.4C.0,2,4,6,8,16D.2,4(2)設(shè)集合A=x|10x02,B=x|0&x<4,則APB等于()A.x|0<x<2B,x|1<x<2C.x|0<x<4D,x|1<x<4答案(1)D(2)A解析(1)觀察集合A,B,可得集合A,B的全部公共元素是2,4,所以AAB=2,4.(2)在數(shù)軸上表示出集合A與B,如下圖.則由交集的定義可得AAB=x|0<x<2.規(guī)律

6、方法求交集就是求兩集合的所有公共元素組成的集合，和求并集的解決方法類似.跟蹤演練2已知集合A=x|1<x03,B=x|x00,或x,求APB,AUB.解vA=x|-1<x<3,B=xk00,或x,把集合A與B表示在數(shù)軸上，如圖.AnB=x|-1<x<3nx<0,或x>=x|1<x<0,或&x&3;AUB=x|1<x03UxM00或x>=R.知識點(diǎn)三已知集合交集、并集求參數(shù).t例3已知A=x|2a<x<a+3,B=x|x<1,或x>5,若AAB=?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由APB？，(1)若

7、A=?,有2a>a+3,.a>3.(2)若Aw?,如下圖：.二解得wa02.綜上所述，a的取值范圍是a|&a&2,或a>3.規(guī)律方法1.與不等式有關(guān)的集合的運(yùn)算，利用數(shù)軸分析法直觀清晰，易于理解.若出現(xiàn)參數(shù)應(yīng)注意分類討論，最后要?dú)w納總結(jié).2.建立不等式時，要特別注意端點(diǎn)值是否能取到，分類的標(biāo)準(zhǔn)取決于已知集合，最好是把端點(diǎn)值代入題目驗(yàn)證.跟蹤演練3設(shè)集合A=x|1<x<a,B=x|1<x<3且AUB=x|1<x<3,求a的取值范圍.解如下圖所示，精心整理由AUB=x1<x<3知，1<a03.知識點(diǎn)四簡單的補(bǔ)集

8、運(yùn)算例4(1)設(shè)全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,則？uA等于()A.1,2B.3,4,5C.1,2,3,4,5D.?(2)若全集U=R,集合A=xX>1,則？uA=.答案(1)B(2)x|x<1解析(1)U=1,2,3,4,5,A=1,2,.?uA=3,4,5.(2)由補(bǔ)集的定義，結(jié)合數(shù)軸可得？uA=x|x<1.規(guī)律方法1.根據(jù)補(bǔ)集定義，當(dāng)集合中元素離散時，可借助Venn圖；當(dāng)集合中元素連續(xù)時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解.2.解題時要注意使用補(bǔ)集的幾個性質(zhì)：？uU=?,?u?=U,AU(?uA)=U.跟蹤演練1已知全集U=xx>3,集合A=x|-3<

9、;x<4,則？uA=.答案xx=3,或x>4解析借助數(shù)軸得？uA=x|x=-3,或x>4.知識點(diǎn)五交集、并集、補(bǔ)集的綜合運(yùn)算例5(1)已知集合A、B均為全集U=1,2,3,4的子集，且？u(AUB)=4,B=1,2,則AA?uB等于()A.3B,4.C.3,4D.?(2)設(shè)集合S=x|x>-2,T=x|-4<x<1,則(?rS)UT等于()A.x|-2<x<1B,xx<-4C.xx<1D.x|x>1答案(1)A(2)C解析(1)U=1,2,3,4,?u(AUB)=4,.AUB=1,2,3.又<B=1,2,.3?A?1,2,

10、3.又？uB=3,4,.AH?uB=3.(2)因?yàn)镾=x|x>2,所以？rS=xx<-2.而T=x|-4<x<1,精心整理所以(?rS)UT=xX02Ux|40x01=xM01.規(guī)律方法1.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是同級運(yùn)算，因此在進(jìn)行集合的混合運(yùn)算時，有括號的先算括號內(nèi)的，然后按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算.2.當(dāng)集合是用列舉法表示時，如數(shù)集，可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當(dāng)集合是用描述法表示時，如不等式形式表示的集合，則可借助數(shù)軸求解.跟蹤演練2設(shè)全集為R,A=x|3&x<7,B=x|2<x<10,求？r(AUB)及(?rA)AB.解把

11、全集R和集合A、B在數(shù)軸上表示如下：由圖知，AUB=x|2<x<10,.?r(AUB)=x|x02,或x>10.?rA=x|x<3,或x>7,i.(?RA)nB=x|2<x<3,或7&x<10.要點(diǎn)六補(bǔ)集的綜合應(yīng)用例6已知全集U=R,集合A=x|x<1,B=x|2a<x<a+3,且B?rA,求a的取值范圍.解由題意得？rA=x|x>1.若B=?,則a+3<2a,即a>3,滿足B?rA.(2)若Bw?,WJ由B?rA,得2a>1且2a<a+3,即一wa<3.綜上可得a方.規(guī)律方法1.與集

12、合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解，涉及集合間關(guān)系時不要忘掉空集的情況；2.不等式中的等號在補(bǔ)集中能否取到，要引起重視，還要注意補(bǔ)集是全集的子集.跟蹤演練3已知集合人=乂卜<a,B=x<1,或x>0,若AA(?rB)=?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解.B=x|x<-1,或x>0,?RB=x1<x<0,因而要使An(?rB)=?,結(jié)合數(shù)軸分析(如圖)，可得a0-1.四、課堂練習(xí)1 .若集合A=0,1,2,3,B=1,2,4,則集合AUB等于()A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4精心整理答案A解析集合A有4個元素，集合B有3個元素，它們都含

13、有元素1和2,因此，AUB共含有5個元素.故選A.2 .&A=xN|1<x<10,B=xCR|x2+x6=0,則如圖中陰影部分表示的集合為（）A.2B.3C.3,2D.-2,3答案A解析注意到集合A中的元素為自然數(shù)，因此易知A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,而直接解集合B中的方程可知B=3,2,因此陰影部分顯然表示的是AAB=2.3 .集合P=xCZ|0<x<3,M=xCR|x2<9,則PAM等于（）A.1,2B.0,1,2C.x|0<x<3D.x|0<x<3i答案B解析由已知得P=0,1,2,M=x|-3<x&l

14、t;3,故PnM=0,1,2.4 .已知集合A=x|x>2,或x<0,B=x|<x<,則（）A.AAB=?B.AUB=RC.B?AD.A?B答案B解析.A=xx>2,或x<0,B=x|<x<,.AnB=x|<x<0,或2<x<,AUB=R.故選B.5 .設(shè)集合M=x|-3<x<7,N=x|2x+k00,若MAN*?,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.答案k<6解析因?yàn)镹工x|2x+k<0=x|x<-,且MnNW?,所以>-3?k<6.6 .若全集M=1,2,3,4,5,N=2,4,則？mN等于

15、（）A.?B.1,3,5C.2,4D.1,2,3,4,5答案B解析？mN=1,3,5,所以選B.7 .已知全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,B=2,3,4,則BA?uA等于（）A.2B.3,4C.1,4,5D.2,3,4,5答案B精心整理解析.U=1,2,3,4,5,A=1,2,.?uA=3,4,5,.Bn?uA=2,3,4A3,4,5=3,4.8.已知M=0,1,2,3,4,N=1,3,5,P=MAN,則P的子集共有（）A.2個B.4個C.6個D.8個答案B解析.P=1,3,子集有22=4個.9 .已知全集U=Z,集合A=0,1,B=1,0,1,2,則圖中陰影部分所表示的集合為（）

16、A.-1,2B.-1,0C.0,1D.1,2i答案A解析圖中陰影部分表示的集合為（?uA）AB,因?yàn)锳=0,1,B=1,0,1,2,所以（?uA）AB=1,2.10 .若全集U=R,集合A=x|x>1UxX<0,則？uA=.答案x|0<x<1解析vA=xx>1Uxx<0,.?uA=x|0<x<1.五、鞏固訓(xùn)練（I11 已知集合A=x|x>0,B=x|-1<x<2,則AUB等于（）A.xx>-1B.xx<2IC.x|0<x<2D.x|1<x<2答案A解析結(jié)合數(shù)軸得AUB=x|x>-1.2,

17、已知集合M=x|（x1）2<4,xR,N=1,0,1,2,3,則MAN等于（）A.0,1,2B.1,0,1,2C.-1,0,2,3D.0,1,2,3答案A解析集合M=x|1<x<3,xCR,N=1,0,1,2,3,WJMAN=0,1,2,故選A.3.設(shè)集合M=x|x2+2x=0,xCR,N=x|x22x=0,xCR,則MUN等于（）精心整理C.-2.0D.-2,0,2答案D解析集合M=0,-2,N=0,2,故MUN=2,0,2,選D.4.設(shè)集合M=x|3<x<2,N=x|1<x<3,則MAN等于()A.x|1<x<2B,x|1<x&l

18、t;2C.x|2<x<3D,x|2<x<3答案A解析M=x|3vxv2且N=x|1<x<3,.MnN=x|1<x<2.5,設(shè)A=x|3&xW3,B=y|y=-x2+t).若AAB=?,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.t<一3B.t03C.t>3D.t>3答案A.二；.解析B=y|y&t,結(jié)合數(shù)軸可知t<3.：6.若集合A=x|x<2,B=x|x>a,滿足AAB=2,則實(shí)數(shù)a=.答案2解析.AnB=x|a&xW2=2,a=2.7,已知集合A=x|1&x<3,B=x|2x-4>

19、;x-2.求APB;''(2)若集合C=x|2x+a>0,滿足BUC=C,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)vB=x|x>2,aAnB=x|2<x<3.(2)C=x|x>,BUC=C?B?C,.<2,.a>4.8.集合A=0,2,a,B=1,a2,AUB=0,1,2,4,16,則a的值為()A.OB.1C.2D.4答案D解析.AUB=0,1,2,a,a2,又AUB=0,1,2,4,16,.'.a,a2=4,16,.a=4.9已知集合A=x|-2<x<7,B=x|m+1<x<2m-1,且B*?,若AUB=A,則(

20、)A.3<m<4B.3<m<4精心整理C.2<m<4D,2<m<4答案D解析:AUBmA,B?A.又Bw?,即2<m<4.10.設(shè)集合A=x|10x02,B=x|-1<x<4,C=x|3<x<2且集合AH（BUC）=x|a&x&b,貝Ua=,b=.答案12解析vBUC=x|-3<x<4,.A（BUC）.An（buc）=a,由題意x|a&x&b=x|1<x<2.a=-1,b=2.i11 .已知A=x|20x04,B=x|x>a.（1）若AABwA,求實(shí)

21、數(shù)a的取值范圍；（2）若AABw?,且AABwA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解（1）如圖可得，在數(shù)軸上實(shí)數(shù)a在2的右邊，可得a>-2；（2）由于AHBw?,且AABwA,所以在數(shù)軸上，實(shí)數(shù)a在2的右邊且在4的左邊，可得20a<4.12 .已知集合A=x|-2<x<5,B=x|2a<x<a+3,若AUB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解vAUB=A,.b?a.若B=?時，2a>a+3即a>3;:'若Bw?時,解得10a&2,綜上所述，a的取值范圍是a|1&a&2,或a>3.13 .已知集合A=x|2a+1<x<

22、3a-5,B=x|x<1,或x>16,分別根據(jù)下列條件求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（i）aab=?；（2）a?（anb）.解（1）若a=?,則Anb=?成立.止匕時2a+1>3a5,即a<6.若Aw?,如圖所示，則解得6<a<7.綜上，滿足條件AHB=?的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a07.精心整理(2)因?yàn)锳?(A/B),且(AAB)?A,所以AAB=A,即A?B.顯然A=?滿足條件，止匕時a<6.若Aw?,如圖所示，則或由解得a?；由解得a>.綜上，滿足條件A?(AAB)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a<6,或a>.13 .已知全集U=1,2,3,4

23、,集合A=1,2,B=2,3,則？u(AUB)等于()A.1,3,4B.3,4C.3D.4答案D'解析”=1,2,B=2,3,.AUB=1,2,3,，？u(AUB)=4.14 .已知A=x|x+1>0,B=2,-1,0,1),則(？1)08等于()A.-2,-1B.-2C.-1,0.1D.0,1答案A解析因?yàn)榧螦=x|x>1,所以？rA=x|x&1),則(?(巾8=儀儀工外A2,-1,0,1=-2,-1).15 .設(shè)U=R,A=x|x>0,B=x|x>1,則AA(?uB)等于()A.x|0<x<1B.x|0<x<1C.xR<

24、;0D.x|x>1答案B解析？uB=xk01,.An(?uB)=x|0<x<1.16 .設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R,M=x|x<2,或x>2,N=x|1<x<3.如圖所示，則陰影部分所表示的集合為()A.x|-2<x<1B.x|-2<x<3C.xh«2,或x>3D.x|-2<x<2答案A精心整理解析陰影部分所表示的集合為？u(MUN)=(?uM)n(?uN)=x|20x02nx|x<1或x>3=x|-2<x<1.故選A.5.已知集合A=x|0<x<5,B=x|2&x

25、<5,則？aB=.答案x|0&x<2,或x=5解析如圖：由數(shù)軸可知：？aB=x|0&x<2,或x=5.17 .設(shè)全集U=R,集合A=x|x>0,B=y|y>1,則？uA與？uB的包含關(guān)系是.答案?uA?uB解析.?uA=xM<0,?uB=y|y<1=xk<1.?uA?uB.18 .已知全集U=R,A=x|-4<x<2,B=x|-1<x<3,P=,i(1)求APB;求(?uB)UP;求(AAB)n(?uP).解(1)AAB=x|-1<x<2.(2) /?uB=x|x<-1,或x>3,.(?uB)UP=.(3)？uP=,(anB)n(?up)=x|-i<x<2n=x|0<x<2.19.已知集合A=x|x<a,B=x|1<x<2,且AU(?rB)=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a<1B,a<1C.a>2D.a>2答案C解析如圖所示，若能保證并集為R,則只需實(shí)數(shù)a在數(shù)2的右邊(含端點(diǎn)2),所以a>2.20 .如圖，