第五章相交線與平行線知識點整理

1、 關(guān)鍵詞：相交線 平行線 知識點 整理相交線與平行線知識點整理摘要：注意點：對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；如果是對頂角，那么一定有；反之如果，那么不一定是對頂角，如果互為鄰補角，則一定有；反之如果，則不一定是鄰補角。兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。5.1相交線1、鄰補角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念與性質(zhì)如下表：圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角121與2有公共頂點1的兩邊與2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即1=2鄰補角433與4有公共頂點3與4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線。3+4=180°

2、;注意點：對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；如果與是對頂角，那么一定有=；反之如果=，那么與不一定是對頂角如果與互為鄰補角，則一定有+=180°；反之如果+=180°，則與不一定是鄰補角。兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。2、垂線定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。ABCDO符號語言記作： 如圖所示：ABCD，垂足為O垂線性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各

3、點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。3、垂線的畫法：過直線上一點畫已知直線的垂線；過直線外一點畫已知直線的垂線。注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；過一點作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。畫法：一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。4、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離記得時候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。PABO如圖，POAB，同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條。

4、現(xiàn)實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點間距離”、“點到直線的距離”這些相近而又相異的概念 分析它們的聯(lián)系與區(qū)別垂線與垂線段 區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì))兩點間距離與點到直線的距離 區(qū)別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。 聯(lián)系：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。線段與距離 距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。 5.2平行線1、平行線的概念：在同一平面，不相交的兩條

5、直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作。2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：有且只有一個公共點，兩直線相交；無公共點，則兩直線平行；兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）3、平行公理平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示，注意符號語言書寫，前提條

6、件是兩直線都平行于第三條直線，才會結(jié)論，這兩條直線都平行。5、三線八角12345678兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構(gòu)成了同位角、錯角與同旁角。如圖，直線被直線所截1與5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方，叫做同位角（位置一樣）5與3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（），叫做錯角（位置在且交錯）5與4在截線的同側(cè)，在被截直線之間（），叫做同旁角。三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；錯角是“Z”型；同旁角是“U”型。6、如何判別三線八角判別同位角、錯角或同旁角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個角的“三線”，有時需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無關(guān)的線略去不看，有時又需要把圖形補全。6BAD

7、2345789FEC例如：1如圖，判斷下列各對角的位置關(guān)系：1與2；1與7；1與BAD；2與6；5與8。我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線），得到下列各圖。如圖所示，不難看出1與2是同旁角；1與7是同位角；1與BAD是同旁角；2與6是錯角；5與8對頂角。ABC17ABF21ABCD26ADBF1BAFE58C注意：圖中2與9，它們是同位角嗎？不是，因為2與9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果錯角相

8、等，那么這兩條直線平行簡稱：錯角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁角互補，那么這兩條直線平行ABCDEF1234簡稱：同旁角互補，兩直線平行幾何符號語言：32ABCD（同位角相等，兩直線平行）12ABCD（錯角相等，兩直線平行）42180°ABCD（同旁角互補，兩直線平行）請同學(xué)們注意書寫的順序以與前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行。平行線的判定是寫角相等，然后寫平行。注意：幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”。上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位

9、角或錯角“相等”或同旁角“互補”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”。根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行。如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請給予改正：不相交的兩條直線必定平行線。在同一平面不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解答：錯誤，平行線是“在同一平面不相交的兩條直線”?！霸谕黄矫妗笔且豁椫匾獥l件，不能遺漏。正確不正確，正確的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”。因為如果

10、這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據(jù)是什么？ABEDFC123解答：由2B可判定ABDE，根據(jù)是同位角相等，兩直線平行；由1D可判定ACDF，根據(jù)是錯角相等，兩直線平行；由3F180°可判定ACDF，根據(jù)同旁角互補，兩直線平行。5.3平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，錯角相等；ABCDEF1234性質(zhì)3：兩直線平行，同旁角互補。幾何符號語言：ABCD12（兩直線平行，錯角相等）ABCD32（兩直線平行，同位角相等）ABCD42180°（兩直線平

11、行，同旁角互補）2、兩條平行線的距離如圖，直線ABCD，EFAB于E，EFCD于F，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離。AEGBCFHD注意：直線ABCD，在直線AB上任取一點G，過點G作CD的垂線段GH，則垂線段GH的長度也就是直線AB與CD間的距離。3、命題：命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。命題的組成每個命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項。命題常寫成“如果，那么”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論。有些命題，沒有寫成“如果，那么”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯。對于這樣的命題，要經(jīng)過分析

12、才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫成“如果，那么”的形式。注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時也可用“已知”或者“若”等形式表述；命題的結(jié)論部分，有時也可用“求證”或“則”等形式表述。4、平行線的性質(zhì)與判定平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行錯角相等；兩直線平行同旁角互補。其中，由角的相等或互補（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。ADEBC12典型例題：已知1B，求證：2C證明：1B（已知）DEBC（同位角相等，兩直線平行）2C（兩直線平行同位角相等）注意，在了DE

13、BC，不需要再寫一次了，得到了DEBC，這可以把它當(dāng)作條件來用了。典型例題：如圖，ABDF，DEBC，165°ADFBEC123求2、3的度數(shù)解答：DEBC（已知）2165°（兩直線平行，錯角相等）ABDF（已知）ABDF（已知）32180°（兩直線平行，同旁角互補）3180°2180°65°115°5.4平移1、平移變換把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全一樣。新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等2、平移的特征：經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)角相等，圖形的形狀