大一上數(shù)學(xué)分析sxfx

1、西南財經(jīng)大學(xué)西南財經(jīng)大學(xué)省級精品課程省級精品課程經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)分析課題組版權(quán)所有課題組版權(quán)所有 請勿外傳請勿外傳 3 泰勒公式泰勒公式經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)分析 第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用問題的提出問題的提出0( )().f xf x dy ( 60)P因因為為根根據(jù)據(jù)無無窮窮小小量量的的性性質(zhì)質(zhì)，有有0( )()yf xf x 因為因為0000( )()()()().f xf xfxxxo xx 不足不足1、精確度不高；精確度不高；2、誤差不能估計誤差不能估計. .0sin1ln(1).xxxxexxx， ， ， ， 例如：例如：一次多項式一次多

2、項式常數(shù)常數(shù)問題問題( )( )( )R xf xP x 誤誤差差可可估估計計. .( )( )( );nP xf xP x 尋尋找找 次次多多項項式式函函數(shù)數(shù)，使使得得000( )()()().f xf xfxxx 1.設(shè)設(shè)f(x)在在x0處連續(xù)，則有處連續(xù)，則有 f(x)f(x0).2.設(shè)設(shè)f(x)在在x0處可導(dǎo)，則有處可導(dǎo)，則有第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式000()()()fxxfxxx ，實際上，實際上2010200( )()()() .nnnP xaa xxaxxaxx 2012( )nnnP xbb xb xxnb 考考察察 次次多多項項

3、式式 ， 一一 帶有佩亞諾型余項的泰勒公式帶有佩亞諾型余項的泰勒公式0)nP xx逐次求 （在處的各階導(dǎo)數(shù)，得到逐次求 （在處的各階導(dǎo)數(shù)，得到00(),nP xa 01()1,nPxa 02()2!,nPxa ,( )0()!,nnnPxn a 即即00(),naP x 01(),1!nPxa 02(),2!nPxa ,( )0().!nnnPxan 200000( )00()()( )()()()1!2!()() .!nnnnnnnPxPxP xP xxxxxPxxxn或或?qū)⑵淦浒窗?()xx 的冪展開，即的冪展開，即第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式

4、200000( )00()()( )()()()1!2!()()!nnnfxfxTxf xxxxxfxxxn 0( )(Taylor)f xx泰泰稱為函數(shù)在點處的稱為函數(shù)在點處的勒多項式勒多項式，0( )( )f xf xxn對于任意一個函數(shù)，只要在處存在直到 階的導(dǎo)對于任意一個函數(shù)，只要在處存在直到 階的導(dǎo)n數(shù)數(shù)，總總能能由由這這些些導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)造造出出一一個個 次次多多項項式式：( )0()(1,2, ).!kfxknk 泰泰為為勒系數(shù)勒系數(shù)稱稱0( )( )nf xT xxn 與其泰勒多項式在 處有相同的函數(shù)值和相同與其泰勒多項式在 處有相同的函數(shù)值和相同的直至 階導(dǎo)的直至 階導(dǎo)注 注

5、數(shù)值，即數(shù)值，即( )( )00()(),0,1,2, .(3)kknfxTxkn = =( )( )nf xT x而而與與其其泰泰勒勒多多項項式式的的差差可可用用下下面面的的定定理理表表述述. .( )nT x 的各項系數(shù)的各項系數(shù)第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式200000( )000()()( )()()()1!2!()()() ).(4)!nnnfxfxf xf xxxxxfxxxo xxn即即 00( )6.9( 1( )( )38)() ),nnf xxnf xT xoxPx若若函函數(shù)數(shù)在在點點 存存在在直直至至 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有 定定

6、理理0(4)( )( )( )( )nnf xxRxf xT x泰勒泰勒式稱為函數(shù)在點 處的，式稱為函數(shù)在點 處的，公式公式0() )no xx 稱稱為為泰泰勒勒公公式式的的，形形如如的的余余余余項項佩佩亞亞項項稱稱為為諾諾型型余余項項，(4).帶帶有有佩佩亞亞諾諾型型余余項項的的泰泰又又稱稱為為勒勒公公式式式式證證0( )( )( )( )() ,nnnnRxf xT xQxxx 設(shè)設(shè)，現(xiàn)在只要證現(xiàn)在只要證00( )( )lim0()nnxxf xT xxx ，0( )lim0.( )nxxnRxQx 即即 第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式現(xiàn)在只要證現(xiàn)

7、在只要證00( )( )lim0()nnxxf xT xxx ，由關(guān)系式由關(guān)系式(3)可知，可知，( )000()()()0,nnnnRxRxRx 并易知并易知(1)( )0000()()()0()!.nnnnnnQxQxQxQxn ，( )0()nfx因因為為存存在在，0( )lim0.( )nxxnRxQx 即即 (1)( )nfx 函數(shù)，因此函數(shù)，因此0( )lim( )nxxnRxQx000( )lim( )nxxnRxQx 00 00(1)0(1)( )lim( )nnnxxnRxQx 0(1)(1)( )0000( )()()()lim(1)2()nnnxxfxfxfxxxn nx

8、x 0(1)(1)( )000( )()1lim()!nnnxxfxfxfxnxx 0. 0(1)(1)(1)( )( )lim( )nnnnxxnfxTxQx 00()1xU xn 所以在點 的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)所以在點 的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)注注1,注注2(P139)0(4)0 x 以以后后用用得得較較多多的的是是泰泰勒勒公公式式在在處處的的特特殊殊形形式式： ( )2(0)(0)( )(0)(0)() (6)2!nnnfff xffxxxo xn 稱為稱為(帶有佩亞諾型余項的帶有佩亞諾型余項的)麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)公式公式.例例1(P140) 驗證下列函數(shù)的麥克勞林公式：驗證

9、下列函數(shù)的麥克勞林公式：21();2(1)!nxnxxexo xn3572112sin(1)();3!5!7!(21 !2)mmmxxxxxxo xm 246221cos1( 1)();2!4!6!(3)2)!mmmxxxxxo xm 231ln(1)( 1)();234nnnxxxxxo xn 2(11(6.)1nnxxxo xx 2(1)(1)(1)(1)1()5;!)2!nnnxxxxo xn 解解( )( )(1)( )(),xnxf xefxfxfxe設(shè)，則設(shè)，則補充補充 ( )(0)(0)(0)(0)1.nffff因此因此 ( )()xf xe 故帶有佩亞諾余項 的麥克勞林公式為故

10、帶有佩亞諾余項 的麥克勞林公式為 ( )2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffxxxo xn 21().2!nnxxxo xn( )( )sin( )sin2)(),2nnf xxfxx 設(shè)，則設(shè)，則 (0)0,(0)1,(0)0,(0)1,ffff 因因此此 ( )(0)sin,2nnf 即即 ( )sin ()f xx 故故帶帶有有佩佩亞亞諾諾余余項項 的的麥麥克克勞勞林林公公式式為為 3572112sin( 1)().3!5!7!(21)!mmmxxxxxxo xm 第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式23111( 1)();1n

11、nnxxxxo xx 時，時， 1211(23)!11( 1)();22(2 )!nkknkkxxxo xk 時，時， 2111(21)!1( 1)().22(2 )!1nkknkkxxo xkx 時，時， (3)(6)自證自證.注注(補充補充) 公式公式(5)有幾個常用形式有幾個常用形式第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式二二 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式帶有拉格朗日型余項的泰勒公式 0200000( )(1)00( ) , ( , )1, , ( , )()()( )()()()1!2!()( )()(!6.10(),1411)()!nnnf xa bn

12、a bnx xa ba bfxfxf xf xxxxxfxxxxnPfn 若若函函數(shù)數(shù)在在上上存存在在直直至至 階階的的連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，在在內(nèi)內(nèi)存存在在階階導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，則則對對任任意意給給定定的的，至至少少存存在在一一點點，使使得得定定理理泰泰勒勒 中中值值 定定理理10),(7)nx (7).帶帶有有拉拉格格朗朗日日型型余余項項的的泰泰又又稱稱為為勒勒公公式式式式拉拉格格朗朗日日上上式式稱稱為為型型余余項項，00(),01.xxx其其中中(1)10( )( )( )( )(),(1)!nnnnfR xf xT xxxn 0(7)fx式式仍仍然然稱稱為為函函數(shù)數(shù) 在在點點處處的的，泰泰

13、勒勒公公式式其其余余項項為為第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù) ( )21( )( )( )( ) ( )( )()()() ,2!( )().nnnftftF tf xf tftxtxtxtnG txt ( )F t (1)( )() ,!nnftxtn 由柯西中值定理，有由柯西中值定理，有( )( )FG 00()( )()( )F xF xG xG x (1)( ),(1)!nfn 00()()F xG x 0(, )( , ).xxa b 其其中中000( )( ), (, )xxF tG txxxx 設(shè)，則與在上連續(xù)，在內(nèi)

14、可導(dǎo)，且設(shè)，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且( )(1)()0.nG tnxt 上式最左右兩端展開即須證的上式最左右兩端展開即須證的(7)式式.( )ft ( )()( )ftxtft 2( )( )()2()2!2!ftftxtxt(1)( )1( )( )()()!nnnnftftxtn xtnn 第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式0(7)0 x 以以后后用用得得較較多多的的是是泰泰勒勒公公式式在在處處的的特特殊殊形形式式： + + ( )2(1)1(0)(0)( )(0)(0)2!(),(01)(8)(1)!nnnnfff xffxxxnfxxn 稱為稱為

15、(帶有拉格朗日型余項的帶有拉格朗日型余項的)麥克勞林公式麥克勞林公式. 例例5(P142) 將例將例1中六個麥克勞林公式改寫為帶有拉格朗日型中六個麥克勞林公式改寫為帶有拉格朗日型余項的形式余項的形式.解解(1)( )()1)(xnxf xefxe 設(shè)，由，則設(shè)，由，則 211,01,(,).2!(1)!nxxnxxeexxxnn (21)21( )sin ,( )sin()( 1) cos ,2(2)mmmf xxfxxx 設(shè)由則設(shè)由則 第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式2462122coscos1( 1)( 1),2!4!6!(2)!(22)!01,(3

16、)(,).mmmmxxxxxxxmmx 23111ln(1)( 1)( 1),23(4)(1)(1)01,1.nnnnnxxxxxxnnxx 12211,(01,11).(16nnnxxxxxxx 211(1)(1)(1)(1)12!(1)()(1),01,1.(5)!nnnnxxxxnnxxxn 3521121cossin( 1)( 1),3!5!(21)!(21)!01,(,).mmmmxxxxxxxmmx 第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式 2(98)(99)22( 14( )(0)(0).0)xf xeffP 寫寫出出的的麥麥克克勞勞林林公公式式,

17、 ,并并求求與與例例解解21(1)( 140)2xPx 用用替替換換例例 公公式式中中的的 ，便便得得2222222221(),22!2nnxxxxxeon 242221( 1)().222!2!nnnnxxxo xn 9899xx在上面公式中，和的系數(shù)分別為在上面公式中，和的系數(shù)分別為(98)494911(0)( 1)98!249!f , ,(98)4998!(0)249!f 由此得到 ,由此得到 , (99)1(0)0,99!f (99)(0)0.f 第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用 3泰勒公式泰勒公式 ln23( 14.1)Pxx 求求在在處處的的泰泰勒勒公公式式例例解解lnln2(2)xx 由由于于2ln2ln 12x = =，因此因此21222222lnl)22n2(21nnnxxonxxx 22111( 11ln2(2)(2)(2)2)2 22()(.2)nnnnxxxxno 2ln 2 12x 根據(jù)根據(jù)P140例例1(4)第六