中考數學與相似有關的壓軸題含答案

1、中考數學與相似有關的壓軸題含答案一、相似1.如圖，ABC是一銳角三角形余料，邊BC=16cm,高AD=24cm,要加工成矩形零件,使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC上.(1)AK為何值時，矩形EFGH是正方形？(2)若設AK=x,Sefg中y,試寫出y與x的函數解析式.(3) x為何值時，Sefgh達到最大值.【答案】(1)解：設邊長為xcm,1 .矩形為正方形，2 .EH/AD,EF/BC,Eh班以AE根據平行線的性質可以得出：盯，二、雙=AB,xBExAh由題意知EH=x,AD=24,BC=16,EF=x,即二為=祐,=.必，3 BE+AE=ABLrjJiAE4 +=

2、+=1,/.S解得x=-J,園.-AK=$,費，當時，矩形EFGH為正萬形(2)解：設AK=x,EH=24-x,5 .EHGF為矩形，AK2/=AL,即EF=Jlx,22sSEFGH=y=3x?(24-x)=-Jx2+16x(0vxv24)(3)解：y=-3x2+16x配方得：y=3(x-12)2+96,，當x=12時，SEfgh有最大值96【解析】【分析】(1)設出邊長為xcm,由正方形的性質得出，EH/AD,EF/BC,根據平行線的性質，可以得對應線段成比例，代入相關數據求解即可。(2)設AK=x,則EH=16-x,根據平行的兩三角形相似，再根據相似三角形的對應邊上的高之比等于相似比，用含

3、x的代數式表示出EF的長，根據矩形面積公式即可得出y與x的函數解析式。(3)將(2)中的函數解析式轉化為頂點式，利用二次函數的性質可得出矩形EFGH的面積取最大值時的x的值。2.如圖1,在RtABC中，/C=90；AC=6,BC=8,動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD/BC,交AB于點D,連接PQ分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒(tQ.ABnXC弋一尸月圖L圖工(1)直接用含t的代數式分別表示：QB=,PD=.(2)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為

4、菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改變Q的速度(勻速運動)，使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；(3)如圖2,在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經過的路徑長.【答案】(1)8-2t;(2)解：不存在在RtABC中，/C=90,AC=6,BC=8，AB=101 .PD/BC,2 .APDAACB,ADr肥4、即to打，AD=BD=AB-AD=10-.BQ/DP,當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形,即8-2t=3,解得：t=5.12當t=5時,PD=167,5-XBD=10-312.DPwB,D1?PDBQ不能為菱形.設點Q的速度為每秒v個單位長度,貝

5、UBQ=8-vt,PD=3，BD=10-,要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ當PD=BD時，即5t16=10-i1,解得：t=3當PD=BQt=3時，即310X=8376v=|烯1b個單位長度時，經過J秒,四邊形PDBQ是菱形.x軸，建立平面直角坐標系.當點Q的速度為每秒（3）解：如圖2,以C為原點，以AC所在的直線為依題意，可知0Wt04當t=0時，點Mi的坐標為（3,0）,當t=4時點M2的坐標為（1,4）.設直線M1M2的解析式為y=kx+b, 直線M1M2的解析式為y=-2x+6. 點Q(0,2t),P(6-t,0)忖一, .在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標(E,t)6t

6、6t把x=2代入y=-2x+6得y=-2XJ+6=t,點M3在直線M1M2上.過點M2作M2N，x軸于點N,則M2N=4,MiN=2. .MiM2=2.線段PQ中點M所經過的路徑長為2$單位長度.【解析】【解答】(1)根據題意得：CQ=2t,PA=t, .QB=8-2t, .在RtABC中，/C=90；AC=6,BC=8,PD/BC,/APD=90；【分析】CQ=2t,PA=t,可得QB=8-2t,根據tanA=J,可以表示PD;易得APAACB,即可求得AD與BD的長，由BQ/DP,可彳#當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形；求得此時DP與BD的長，由D%BD可判定?PDBQ不能為菱形

7、；然后設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BDPD=BQ,列方程即可求得答案.以C為原點，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，求出直線M1M2解析式，證明M3在直線M1M2上，利用勾股定理求出M1M2.A、B兩點(點A在點B的左側)，與D.3.已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2(a0)相交于y軸正半軸相交于點C,過點A作ADx軸，垂足為(1)若/AOB=60,AB/x軸，AB=2,求a的值；(2)若/AOB=90，點A的橫坐標為-4,AC=4BC求點B的坐標;(3)延長AD、BO相交于點E,求證：DE=CO【答案】(1)解：如圖1,拋物線y=ax2的

8、對稱軸是y軸，且AB/x軸,，A與B是對稱點，O是拋物線的頂點，.OA=OB, /AOB=60； .AOB是等邊三角形， .AB=2,ABOC, .AC=BC=1,/BOC=30,J-.oc=KiJ,.A(-1,0),把A(-1,1。)代入拋物線y=ax2(a0)中得：a=,值；y軸于(2)解：如圖2,過B作B已x軸于E,過A作AGBE,交BE延長線于點G,.CF/BG,AC而一拓,? .AC=4BC,屈=4,.AF=4FG,.A的橫坐標為-4,，.B的橫坐標為1,.A(-4,16a),B(1,a), /AOB=90； /AOD+/BOE=90；aAAOD+ZDAO=90；/BOE=/DAO,

9、 /ADO=ZOEB=90； .ADOAOEB,1-16a2=4,1a=-,.a0,1a=上；B(1,)；(3)解：如圖3,設AC=nBGn倍,由(2)同理可知：A的橫坐標是B的橫坐標的則設B(m,am2),則A(-mn,am2n2),AD=am2n2,過B作BHx軸于F,.DE/BF,.,.BOFAEOD,OBOFBF二二您如應,?OB3ianrOEurnDEOB1二,一口,DE=am2n,OB1.而*門，1. OC/AE,.,.BCOABAE,ain(l+n)-CO=/打=am2n,.DE=CQ【解析】【分析】(1)拋物線y=ax2關于y軸對稱，根據AB/x軸，得出A與B是對稱點，可知AC

10、=BC=1由/AOB=60,可證得/AOB是等邊三角形，利用解直角三角形求出OC的長，就可得出點A的坐標，利用待定系數法就可求出a的值。(2)過B作BEXx軸于E,過A作AGBE,交BE延長線于點G,交y軸于F,根據平行線分線段成比例證出AF=4FG根據點A的橫坐標為-4,求出點B的橫坐標為1,則A(4,16a),B(1,a),再根據已知證明/BOE=/DAO,ZADO=ZOEB,就可證明ADOsoeb,得出對應邊成比例，建立關于a的方程求解，再根據點B在第一象限，確定點B的坐標即可。(3)根據(2)可知A的橫坐標是B的橫坐標的n倍，則設B(m,am2),則A(-mn,am2n2),得出AD的

11、長，再證明BOQEOD,BC8BAE,得對應邊成比例，證得CO=am2n,就可證得DE=CO4.如圖，正方形ABCD等腰RtBPQ的頂點P在對角線AC上(點P與A、C不重合)，QP與BC交于E,QP延長線與AD交于點F,連接CQ.DC(1)求證：AP=CQ求證：PA2=AF?AD;(2)若AP：PC=1：3,求tan/CBQ.【答案】(1)證明：二.四邊形ABCD是正方形，AB=CB,/ABC=90, /ABP+/PBC=90, .BPQ是等腰直角三角形，BP=BQ,/PBQ=90；./PBC+/CBQ=90，/ABP=/CBQ,AABPACBQ,.AP=CQ;二.四邊形ABCD是正方形，/D

12、AC之BAC=ZACB=45, /PQB=45；/CEP4QEB,，/CBQ之CPQ由得ABPCBQ,/ABP=/CBQ /CPQ=/APF,/APF=/ABP,APMABP,(本題也可以連接PD,證APFsADP)(2)證明：由得4AB國ACRQ,，/BCQ=/BAC=45, /ACB=45,./PCQ=45+45=90tanZCPQ=仃,由得AP=CQ,又AP:PC=1:3,tan/CPQ=bCP3,由得/CBQ=/CPQ1tanZCBQ=tanZCPQ=J.【解析】【分析】(1)利用正方形的性質和等腰直角三角形的性質易證ABPACBQ,可得AP=CQ;利用正方形的性質可證得/CBQ=/C

13、PQ,再由ABPCBQ可證得/APF=/ABP,從而證出APMABP,由相似三角形的性質得證；(2)由ABP4CBQ可得/BCQ=/BAC=45,可得ZPCQ=45+45=90,再由三角函數可得tanZCPQ=/,由AP:PC=1:3,AP=CQ可得tan/CPQ=,再由/CBQ=/CPQ可求出答案.5.如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,/=緲,BC=4,DC=3,AD=6.動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向，在射線DA上以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P、Q分別從點D,C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動.設運動

14、的時間為t(秒).B0C(1)設dBPQ的面積為|s,直接寫出土與之間的函數關系式是(不寫取值范司).(2)當B,PQ三點為頂點的三角形是等腰三角形時，求出此時，的值.(3)當線段PQ與線段AB相交于點O,且2OA=OB時，直接寫出【心4方力=.(4)是否存在時刻J使得PQ二的若存在,求出卜的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1),二，(2)解：如圖1,過點P作PH，BC于點H,/PHB=ZPHQ=90; /C=90；AD/BC,/CDP=90, 四邊形PHCD是矩形， .PH=CD=3,HC=PD=2t, .CQ=t,BC=4, .HQ=CH-CQ=t,BH=BC-CH=4-2tBQ=4-

15、t,BQ2=仃,BP2=-山/事,PQ2=蘆+/，由BQ2=BP2可得：(4-F*=(4-次/5,解得：無解；由BQ2=pd可得：-爐=+九解得：1r6；4由BP2=PQ2可得：d+戶”,解得：2或F4, 當F時，BQ=4-4=0,不符合題意，；4 .綜上所述，k或一3；(4)解：如圖3,過點D作DM/PQ交BC的延長線于點M,則當/BDM=90時，PQBD,即當BM2=DM2+BD2時，PQBD,1. AD/BC,DM/PQ,四邊形PQMD是平行四邊形，.QM=PD=2t,.QC=t,.CM=QM-QC=t, /BCD=ZMCD=90,.BD2=BC2+DC2=25,DM2=D(?+CM2=

16、9+t2,BM2=(BC+CM)2=(4+t)2,由bm2=bd2+dm2可得：a.MQ=/，又.PM=3,/PMQ=90,Pif1615二:j.-.tanZBPQ=啦$，&;【分析】(1)點P作PMBC,垂足為M,則四邊形PDCM為矩形，根據梯形的面積公式就可以利用t表示，就得到s與t之間的函數關系式。(2)以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分PQ=BQBP=BQPB=PQ三種情況，在RtPMQ中根據勾股定理，就得到一個關于t的方程，就可以求出to(3)根據相似三角形對應邊比例可列式求出t,從而根據正切的定義求出值；t聲二g爐;”,解得：,r-. 當時，/BDM=90,二即當r

17、，時，PQXBD.【解析】【解答】解：(1)由題意可得BQ=BC-CQ=4-t點P至ijBC的距離=CD=3,M3_-tA6 SAPBQ=BQX3=-;(3)解：如圖2,過點P作PMBC交CB的延長線于點M,/PMC=ZC=90；1.AD/BC,/D=90；OAPOBQ,四邊形PMCD是矩形，陽m.PM=CD=3,CM=PD=2t,.AD=6,BC=4,CQ=t,.PA=2t-6,BQ=4-t,MQ=CM-CQ=2t-t=t,(4)首先假設存在，然后根據相似三角形對應邊成比例求證。6.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為(10,0),拋物線y=ax2+bx+4過點B,C兩點，且與x

18、軸的一個交點為D(-2,0),點P是線段CB上的動點，設CP=t(0vtv10)(1)請直接寫出B、C兩點的坐標及拋物線的解析式;(2)過點P作PHBC,交拋物線于點E,連接BE,當t為何值時，ZPBE=/OCD?(3)點Q是x軸上的動點，過點P作PM/BQ,交CQ于點M,作PN/CQ,交BQ于點N,當四邊形PMQN為正方形時，請求出t的值.【答案】(1)解：在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4,C(0,4),四邊形OABC為矩形，且A(10,0),.B(10,4),JOOa+4=4把B、D坐標代入拋物線解析式可得力油70解得J,，拋物線解析式為y=t：x2+x+4;(2)解：由題意可

19、設P(t,4),則E(t,gt2+mt+4),13I5一.PB=10-t,PE=6t2+3t+4-4=bt2+Jt, /BPE=/COD=90,當/PBE=/OCD時，則PB上OCD,PEPB 必比，即BP?OD=CO?PE/I一T 2(10-t)=4(&t2+3t),解得t=3或t=10(不合題意，舍去)， 當t=3時，ZPBE=/OCD;當/PB已/CDO時,貝MPB&aODC,PEPbOL,即BP?OC=DO?PEJJ，4(10-t)=2(dt2+Jt),解得t=12或t=10(均不合題意，舍去)綜上所述.,當t=3時，/PBE=/OCD(3)解：當四邊形PMQN為正方形時，則/PMC=

20、/PNB=/CQB=90,PM=PN, /CQO+/AQB=90,/CQO+/OCQ=90,/OCQ=/AQB, RtACOgRtAQAB, .AQAB,即OQ?AQ=CO?AB,設OQ=m,則AQ=10-m,1.m(10-m)=4x4解得m=2或m=8,當m=2時，CQ=W二3=A不，BQ=疝=需=的,.sin/BCQ=比,sin/CBQ=.PM=PC?sinZPCQ=t,PN=PB?sinZCBQ=5(10-t),5(10-t)當m=8時，同理可求得t=，當四邊形PMQN為正方形時，t的值為J或3【解析】【分析】(1)先求出拋物線與y軸的交點C的坐標，再根據矩形ABCO及點A的坐標為(10

21、,0),求出點B的坐標，然后利用待定系數法，將點B、D的坐標分別代入函數解析式求出二次函數解析式。(2)設P(t,4),利用拋物線的解析式表示出點E的坐標，可求出PRPE的長，再分情況討論：當/PBE=/OCD時，可證PB&4OCD,利用相似三角形的性質，的長BP?OD=CO?PE建立關于t的方程，求出符合題意的t的值；當/PBE=/CDO時，可得PBEAODC,利用相似三角形的性質得出BP?OC=DO?PE,建立關于t的方程，求出t的值，綜上所述就可得出符合題意的t的值。(3)當四邊形PMQN為正方形時，貝UZPMC=ZPNB=ZCQB=90,PM=PN,再證明RtACOQsRtAQAB,利

22、用相似三角形的性質得出OQ?AQ=CO?AB,設OQ=m,貝UAQ=10-m,建立關于m的方程，求出m的值，再分別根據m的值求出COBQ的長，再利用解直角三角形用含t的代數式分別表示出PM、PN的長，由PM=PN可得出關于t的方程,再解方程，就可求出符合題意的t的值。7.如圖所示，ABC和4ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90,EC的延長線交BD于點P.理由；(2)若AB=3,AD=5,把4ABC繞點A旋轉，當/EAC=90時，在圖2中作出旋轉后的圖形，求PD的值，簡要說明計算過程；(3)在(2)的條件下寫出旋轉過程中線段PD的最小值為,最大值為【答案】(1)解：相等理

23、由：ABC和4ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，/BAC=ZDAE=90,BA=CA,/BAD=ZCAEDA=EA2 .ABDAACE,BD=CE(2)解：作出旋轉后的圖形，若點C在AD上，如圖2所示：D_E3 /EAC=90,.,CE=誨4 /PDA=ZAEC,/PCD=ZACE,.,.PCDAACE,PDCD加.PD=九；若點B在AE上，如圖2所示：母ABD中，BD=講+做,BE=AE-AB=2,5 /ABD=ZPBE/BAD=ZBPE=90,6 .BADABPEPBBEPB2M血，即“、物,芻業(yè)解得PB=丁,PD=BD+PB=+(3) 1;7【解析】【解答】解：(3)如圖3所示，以A為

24、圓心，AC長為半徑畫圓，當CE在。A下方與。A相切時，PD的值最小；當CE在在。A右上方與。A相切時，PD的值最大.如圖3所示，分兩種情況討論：在RtPED中，PD=DE?si也PED因此銳角/PED的大小直接決定了PD的大小.當小三角形旋轉到圖中4ACB的位置時，在RtACE中，CE=f-=4,在RtDAE中，DE=t中*于=2,四邊形ACPB是正方形，PC=AB=3,PE=3+4=7,在RtPDE中，PD=J郎-坦、物而-,即旋轉過程中線段PD的最小值為1;當小三角形旋轉到圖中ABC時，可得DP為最大值，此時，DP=4+3=7,即旋轉過程中線段PD的最大值為7.故答案為：1,7.【分析】(

25、1)BD,CE的關系是相等，理由如下：根據同角的余角相等得出/BAD=/CAE,根據等腰直角三角形的性質得出BA=CADA=EA,從而利用SAS判斷出ABDACE,根據全等三角形應邊相等得出BD=CE(2)作出旋轉后的圖形，若點C在AD上，如圖2所示：首先根據勾股定理算出CE的長，然后判斷出PCAACE,根據相似三角形對應邊成比例得出AE7i,根據比例式列出方程，求解得出PD的長；若點B在AE上，如圖2所示：根據勾股定理算出BD的PBBE長，然后判斷出BA24BPE,根據相似三角形對應邊成比例得出赤一而，根據比例式列出方程，求解得出PB的長，根據線段的和差即可得出PD的長；(3)如圖3所示，以

26、A為圓心，AC長為半徑畫圓，當CE在。A下方與。A相切時，PD的值最小；當CE在在。A右上方與。A相切時，PD的值最大.如圖3所示，分兩種情況討論：在RtPED中，PD=DE?s冠PED,因此銳角/PED的大小直接決定了PD的大小.當小三角形旋轉到圖中4ACB的位置時，根據勾股定理算出CE,DE的長，根據正方形的性質得出PC=AB=3進而得出PE的長，根據勾股定理算出PD的長，即旋轉過程中線段PD的最小值為1;當小三角形旋轉到圖中ABC時，可得DP為最大值，此時，DP=4+3=7,即旋轉過程中線段PD的最大值為7.8.如圖，在ABC中，ZC=90,/ABC的平分線交AC于點E,過點E作BE的垂

27、線交AB于點F,。是4BEF的外接圓.(1)求證：AC是。的切線；(2)過點E作EHIAB,垂足為H,求證：CD=HF;(3)已知：CD=1,EH=3,求AF的長.【答案】(1)證明：如圖，連接OE.BE平分/ABC,/CBE=ZOBE,1 .OB=OE,/OBE=ZOEB,/OEB=ZCBE,2 .OE/BC,/AEO=ZC=90； .AC是。O的切線;(2)解：如圖，連結DE. /CBE玄OBE,ECBC于C,EHLAB于H,.EC=EH /CDE+/BDE=180HFE+ZBDE=180, /CDE土HFE在4CDE與4HFE中，/COE=ZHFEiZC-上E建-況/EC=.,.CDEA

28、HFE(AAS),.CD=HF.(3)解：由(2)得，CD=HF.又CD=1.HF=1在RtAHFE中,EF=V，+產=/6EFBE/BEF=90/EHF=ZBEF=90 /EFH=ZBFE.EHFABEF血57=4,-,0E4C0SZM1-0A.BF=10/QE二二押二5.J 在RtOHE中, 在RtEOA中,54二-0A5【解析】【分析】(1)連接OE.利用角平分線的定義和等腰三角形的性質可證得OE/BC,從而得/AEO=/0=90,可得到證明；(2)連結DE.利用AAS可證CDEHFE,從而得到證明；(3)證EHD4BEF,由相似三角形的性質可求得BF,從而彳#到OE,在RtAOHE和E

29、OA中，由cos/EOA可求出OA,從而求出AF.9.如圖，在ABC中，/ACB=90,AC=6cm,BC=8cm,點D從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線C-A-B向點B運動，同時點E從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC邊向點C運(2)若四邊形CDEF是以CDDE為一組鄰邊的平行四邊形，設它的面積為S,求S關于t的函數關系式；是否存在某個時刻t,使平行四邊形CDEF為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：如圖1,當/BED=90時，4BDE是直角三角形，貝UBE=t,AC+AD=2t,.BD=6+10-2t=16-2t,/BED=Z0=90；.DE/AC,BEJ)

30、E瓦L五863(DE=,DE”，sinB=t=，3；貝UBE=t,BD=16-2t,BDBC8cosB=SEAB答：當BDE是直角三角形時,t的值為或7(2)解：如圖3,當0vtw時,BE=t,CD=2t,CE=8-t,國二1S?cdef=2S(acde=2乂X21(渴-t)=-2t2+l6t,如圖4,當3vtCXCEXDH=CEXDH=)X.S于t的函數關系式為：當0vtw時，S=-2t2+16t,384當3Vtv8時，S=Ht25t+5-5BH=，BE=t,DHICE,EH=.BH=BE+EH=t+t=即當t二/時，？CDEF為菱形.【解析】【分析】（1）因為BDE是直角三角形有兩種情況:

31、當/BED=90時，可彳HDE/AC,根據平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似可得阿SG,于是可得比例式將DE段用含t的代數式表示，再根據sinB=S右可得關于t的方程，解方程即可求解；當/EDB=90。時，同理可求解；（2）當0vt3時，S?cdef=2Sacde可得s與t的關系式；當3Vt8時，過D作DHBC,垂足為H,根據平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似可得麗77口,于是可得比例式將DH用含t的代數式表不，則S?cdef=2Szxcde可得s與t的關系式；當3VtX2是方程X2-2x-8=0的兩根

32、，且X1VX2,-xi=-2,X2=4,A(22),C(4,8)(2)解：設直線l的解析式為y=kx+b(kwQ,.A(-2,2)在直線l上,.-2=-2k+b,b=2k+2,，直線l的解析式為y=kx+2k+2:拋物線y=二x2，聯立化簡得，x2-2kx-4k-4=0,直線l與拋物線只有一個公共點，.=(2k)2-4(-4k-4)=4k2+16k+16=4(k2+4k+4)=4(k+2)2=0,.k=-2,，b=2k+2=-2,直線l的解析式為y=-2x-2;1平行于y軸的直線和拋物線y=:x2只有一個交點，直線l過點A(-2,2),直線l:x=-2(3)解：由(1)知，A(-2,2),C(4,8),，直線AC的解析式為y=x+4,設點B(m,m+4),.C(4.8),BC=|m-4|=(4-m)過點B作y軸的平行線BE與直線l相交于點E,與拋物線相交于點D,1.D(m,2m2),E(m,-2m