小高奧數(shù)幾何-三角形五大模型及例題解析匯報

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔三角形五大模型【專題知識點概述】本講復(fù)習(xí)以前所學(xué)過的有關(guān)平面幾何方面的知識，旨在提高學(xué)生對該部分知識的綜合運用能力。重點模型重溫一、等積模型等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；/ s1 s兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；a ' b如右圖G § = a:bA B夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖 $acd=&bcd；/V7反之，如果Saacd =Sa BCD ,則可知直線 平行于CD .一CDACDBCD等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）；三角形面積等于與它等底等高的平行

2、四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.二、等分點結(jié)論（“鳥頭定理”）21 1如圖，三角形AED占三角形ABC面積的X-=-三、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”) Si ： &二S4 : & 或者 Si X &=&X S4AO： OC= (S+S2) : (S+S)梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”) Si : s=a2 ： b2S ： 4 ： & ： S4= a2 ： b2 ： ab ： ab ;S的對應(yīng)份數(shù)為（a+b） 2模型四：相似三角形性質(zhì)如何判斷相似(1)相似的基本概念：兩

3、個三角形對應(yīng)邊城比例，對應(yīng)角相等。(2)判斷相似的方法：兩個三角形若有兩個角對應(yīng)相等則這兩個三角形相似；兩個三角形若有兩條邊對應(yīng)成比例， 且這兩組對應(yīng)邊所夾的角相等則兩個 三角形相似。旦二b 一A B C H Si : S=a2 ： A模型五：燕尾定理$ ABG SA AG已 SA BGE $ GE槌 BE: EC$ BGA SA BG已 SAAGF SAGFC= AF: FC;SAAGC SA BC8 SAADG SA DGB= AD DB【重點難點解析】1 .模型一與其他知識混雜的各種復(fù)雜變形2 .在紛繁復(fù)雜的圖形中如何辨識“鳥頭”【競賽考點挖掘】1.三角形面積等高成比2.“鳥頭定理”3.

4、“蝴蝶定理”【習(xí)題精講】【例11 （難度等級派）如圖，長方形 ABCD勺面積是56平方厘米，點 E、F、G分別是長方形 ABCD邊上的中點，H 為AD邊上的任意一點，求陰影部分的面積 .文案大全【例2】（難度等級X）如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長是4厘米，BC的長是3厘米，那么圖中陰影部分AH的面積是平方厘米.【例3】（難度等級米）如圖，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別為AB和AC的中點，那么三角形 EBF的面積是多少平方厘米？【例4】（難度等級派）如圖，在面積為 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F是AD的中點，延 長CF交AB邊于E,求三角形AEF

5、和三角形CDF的面積之和?！纠?】（難度等級）如右圖BE=I BC, CD= AC,那么三角形 AED的面積是三角形【例6】（難度等級X）ABC面積的幾分之幾?如圖所示，四邊形 ABCDr AEGF都是平行四邊形，請你證 明它們的面積相等.【例71 （難度等級X）如圖，在長方形ABCM, Y是BD的中點，Z是DY的中點，如果 AB=24厘米，BC=8厘米,求三角形ZCY的面積.【例8】（難度等級派）如圖，正方形ABCD勺邊長為4厘米，EF和BC平行，ECH 的面積是7平方厘米，求 EG的長?！纠?0（難度等級）如圖已知四邊形 ABC麗 CEFGTB是正方形，且正方形 ABCD勺邊長為10厘米，

6、那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米 ？【例11（難度等級）如圖，一個長方形被切成 8塊，其中三塊的面積分別為12,23, 32,則圖中陰影部分的面積為 ？【例12（難度等級 派）如圖，平行四邊形 ABCD周長為75厘米，以BC為底時高是14厘米；以CD為底時高是16 厘米。求平行四邊形 ABCD勺面積。【例13（難度等級）如右圖，正方形 ABCD勺邊長為6厘米， ABE 4ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.【例14（難度等級）如圖，三角形 ABC被分成了甲（陰影部分）積是乙部分面積的幾分之幾？、乙兩部分，BD=DC=4 BE=3, AE=6,甲部分面【例15

7、（難度等級X）某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對角線AC BD分成四個部分，4AOB面積為1平方平方千米，求人工湖的面積是多少平方千米?D千米，BOC®積為2平方千米，COD勺面積為3平方千米，公園陸地的面積是 6.92【例16（難度等級云）圖中是一個正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米.問：陰影部分的面積是多少平方厘米49A354厘米，求三角形 ABC【作業(yè)】1.如圖，三角形 ABC中，DC=2BD, CE=3AE,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形 ABC的面積是多少?2.如右圖所示,在長方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13, 35, 49.那么圖中陰影部分的面積

8、是多少?3 .右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是的面積。4 .如圖，平行四邊形 ABCD BE=AB CF=2CB GD=3DCHA=4AD平行四邊形 ABCD勺面積是2,求平行四邊形ABCDW四邊形EFGH的面積比.5 .如圖，在 ABC中，延長 BD=AB CE=1 BC, F是AC的中點, 2若 ABC的面積是2,則4 DEF的面積是多少？【例11 （難度等級派）如圖，長方形 ABCD勺面積是56平方厘米，點 E、F、G分別是長方形 ABCD邊上的中點，H 為AD邊上的任意一點，求陰影部分的面積.【分析與解】如右圖，連接 BH HC由E、F、G分別為 AB BG CD三邊的

9、中點有 AE=EB BF=FG CGCD因此S1=S2, S3=S4, S5=S6，而陰影部分面積=S2+S3+S6,空白部分面積=S1+S4+S5.所以陰影部分面積與空白部分面積相等，均為長方形的一半，即陰影部分面積為28.【例2】（難度等級派）如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長是4厘米，BC的長是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米.【分析與解】上排4個陰影三角形的高都等于 BF,底邊之和恰好為 AB,他們的1面積之和為一BFMAB；下排4個三角形的圖都等于 CF,底邊之和恰好為 CD他們的面積 2、11 一一一 一、 .之和為CF m CD = CF m AB.所以陰影部

10、分面積為：221 111 、一，-BF xAB + CF x AB = BCx AB = 父3乂4 = 6（平萬厘米）.2 222【例3】（難度等級X）如圖，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別為AB和AC的中點，那么三角形 EBF的面積是多少平方厘米？【分析與解】、，_1 _ _首先，%bc=1BCmad=24平萬厘米'而F是AC中點，所11 一 1 一以SBF = 一 S&BC .又E是AB中點，所以S莊BF = - S&BF = - S&BC = 6平萬厘米.224【例4】（難度等級派）如圖，在面積為 1的三角形 ABC中，DC=3B

11、D,F是AD的中點，延長 CF交AB邊于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面積之和。【分析與解】連接DE,于是三角形AEF的面積二三角形EFD的面積，所求被轉(zhuǎn)化為三角形 EDC勺面積。因為F是AD中點，所以三角形 AEC勺面積和三角形 EDC的面積相等,設(shè)S ABDE為1份,則S A AEC=SA EDC為3份因此S A ABC 一共7份，每份面積為 所以S EDC占3份為3。77【例5】（難度等級）如右圖BE=| BC, CD= AC,那么三角形 AED的面積是三角形 ABC面積的幾分之幾?【分析與解】上圖中，三角形AECf三角形ABC的高相等，而BE斗BC,于是EC BC,SAEC _

12、2SABC3又由于三角形 AED與三角形 AEC的高相等，而CD=1AC,于是43 Saed 3AD=-AC, AED 二 一4 SAEC 4 3 32所以，三角形AED的面積=-X三角形AEC的面積=X X三角4431形ABC的面積=X二角形ABC的面積2【例6】（難度等級X）如圖所示，四邊形 ABCDf AEG褚B是平行四邊形，請你證明它們的面積相等.【分析與解】連接BEc1c c 1c顯然有 SAbE 2 SaBCD , SaBE 2 SaEGF所以SABCD=SAEGF【例71 （難度等級X）如圖，在長方形 ABCM, Y是BD的中點，Z是DY的中點，如果 AB=24厘米，BC=8厘米

13、,求三角形ZCY的面積.【分析與解】Sabcd = AB父BC = 192平方厘米因為Y是BD中點，Z是DY中點，所以111 r1 /1 Q 、11 CS ZCY - - ( S CDB ) 二二二(二 SABCD )=二 SABCD = 242 22 2 28【例8】（難度等級派）如圖，正方形 ABCD勺邊長為4厘米，EF和BC平行，ECH的面積是7平方厘米，求 EG的 長。【分析與解】1_ 1-X EGX AE + - X EGX EB = 7 平萬厘米rr 1即一X EGX AB=7平萬厘米；EG=3.5厘米2【例10（難度等級云）如圖已知四邊形 ABC的CEFGIB是正方形，且正方形A

14、BCD的邊長為10厘米，那么圖中陰影三角形 BFD的面積為多少平方厘米？【分析與解】連接CF由 ABCB口 CEFGTB是正方形有. BDC =/DCF =45所以 bdLIcf .由平行線間距離相等知三角形BD林口三角形BDCW底等高雨P(guān)l O_ o _ 1 O所以 S.BFD - S, BCD - 2 SABCD二50【例11（難度等級云）如圖，一個長方形被切成 8塊，其中三塊的面積分別為12, 23, 32,則圖中陰影部分的面積為？【分析與解】如右圖，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.【例12（難度等級 派）如圖，平行四邊形 ABC前長為75厘米

15、，以BC為底時高 是14厘米；以CD為底時高是16厘米。求平行四邊形 ABCM面積。【分析與解】BCX 14=CA 16, BC CD=16: 14,BC+CD=75 , BC=75 X 16=202216 14ABCD®積=14X20=280 （平方厘米）【例13（難度等級派）如右圖，正方形 ABCM邊長為6厘米， ABE AADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.【分析與解】因為 ABE AADF與四邊形AECF的面積彼此相等， 所以四邊形 AECF的面積與 ABE ADF的面積都等于正方形面積的三分之 一，也就是：C111_S3邊形 AECF = S>

16、AABE = SAADF =3 6 6 = 12同理DF= 4,因此CE= CF在 ABE中，因為 AB= 6.所以BE= 4, =2,.ECF的面積為 2X 2+2 = 2.所以 Saaef = S四邊形 aecf S/xecf =12 2=10 （平方厘米）【例14（難度等級）如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4BE=3, AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾？【分析與解】1 -由 BD = DC BD=DCT BD = BC ；由 BE = 3 , AE = 6 ,有 B21 小BE = AB.由鳥頭定理有3&法.5-11-15-小Sp = 3

17、 M _2 M SBC = 6 S咨BC，& = S咨BC _ SF 6 SBC，故【例15（難度等級X）某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對角線AC BD分成四個部分，4AOB面積為1平方千米， BOC®積為2平方千米， COD勺面積為3平方千米，公園陸地的面積是 6.92平方千米，求人工湖的面積是多少平方千米？【分析與解】由任意四邊形的蝴蝶定理有S Aob S COD - S.AOD S.BOC所以SAOD =1父3子2 =1.5平方千米，故公園總面積為1+3+2+1.5 = 7.5平方千米，人工湖面積為7.5 6.92= 0.58平方千米【例16（難度等級）圖中是一個正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米.問：陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】如下圖所示，為了方便所敘，將某些點標(biāo)上字母，并連接BG則 ABF的面積為3x,設(shè) AEG的面積為 x,顯然 EBG 4BFG FCG的面積均為 x,1SABF =一父20父10=100即x=，那么正方形內(nèi)空白部分的面積為A 23,4004x =.B3所以原題中陰影部分面積為 20M 20 - 400 = 800 （平方厘米）.33【作業(yè)】1 .如圖，三角形 ABC中，DC=2BD, CE=3AE,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角