點(diǎn)差法的應(yīng)用講義及練習(xí)

1、點(diǎn)差法的應(yīng)用-教師版一.綜述(一)圓錐曲線問題中，與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題 可以考慮用點(diǎn)差法.即：設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，并代入圓錐曲 線的方程，并作差.利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率公式得到一個(gè)等式，進(jìn)而處理問題.利用點(diǎn)差法可以減少很多的計(jì)算，所以在解有關(guān)的問題時(shí)用這種方法比較好(二)注意：點(diǎn)差法在求出直線方程以后，必須將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程，判斷該方程的A和0的關(guān)系.只有A >0,直線才是存在的.(三)點(diǎn)差法常見題型有：求中點(diǎn)弦方程、求(過定點(diǎn)、平行弦)弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線、定值問 題二.例題精講破解規(guī)律x2 y21例1.已知橢圓C:-2十%=1 (a>b

2、>0)的離心率e = ,且過點(diǎn) J3, .ab212 ,(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)P(1,1)的直線與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，當(dāng)P是AB中點(diǎn)時(shí)，求直線 AB方程.規(guī)律總結(jié)：與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題可以考慮用點(diǎn)差法.即：設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，并代入圓錐曲線的方程，并作差.利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率公式得到一個(gè)等式，進(jìn)而處理問題2練習(xí)1：直線x+4y + m = 0交橢圓上 + y2 =1于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則m =()16A -2 B -1C. 1D 222例2.已知橢圓C : "十4=1(a >b>0)的離心率為 二，點(diǎn)(2, J2城C上 a2 b22

3、(1)求C的方程(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn) A, B,線段AB的中點(diǎn)為M .證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.規(guī)律總結(jié)：若線段 AB是橢圓(或雙曲線)的弦，AB中點(diǎn)為 M,則koM kAB=e21，其中e為離心率,且 kOM , kAB均存在.22練習(xí)2:已知雙曲線 上匕=1上有不共線的三點(diǎn) A B、C,且AB、BC、AC的中點(diǎn)分別為 D、E、F ,841 11若OD、OE、OF的斜率之和為-2,則，+，+，=()kAB kBC kACA -4B -25/3C 4D. 62 2_1例3：已知橢圓C ： + =1(a >b >0)經(jīng)過點(diǎn)(0

4、, J3),且離心率為 一.a b2(I)求橢圓C的方程；(II )若一組斜率為2的平行線，當(dāng)它們與橢圓 C相交時(shí)，證明：這組平彳亍線被橢圓 C截得的線段的中點(diǎn) 在同一條直線上.規(guī)律總結(jié)：牽涉到弦中點(diǎn)軌跡方程，垂直平分線問題可以考慮使用點(diǎn)差結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式來處理練習(xí)3:已知橢圓 與+4=1但>b >0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4 ),離心率e =，5 ,直線l交橢圓于M , N兩a b5'點(diǎn)，如果ABMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F ,直線l方程為.第2頁共5頁三.課堂練習(xí)強(qiáng)化技巧1 .橢圓的以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是()AB.CD.2 .過點(diǎn)作斜率為一的直線與橢圓：相交于，兩

5、點(diǎn)，若是線段 的中點(diǎn)，則橢圓 的離心率為.3 .過點(diǎn)(0,2 )的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上且離心率為 2的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=1x過線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓 C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱.2(1)求直線l的方程；(2)求橢圓C的方程.四.課后作業(yè)1.若雙曲線的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(0,-2)是雙曲線的焦點(diǎn)，過 F的直線l與雙曲線相交于 M, N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為P(3,1)則雙曲線的方程為()22A X 22 xA y =1 By =1332y 2.C -x =132.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為2坐標(biāo)為-2,則此雙曲線的方程是32 222A 匚。1 B 二-。13

6、 44322C. ±-工=152y=x-1與其相交于 M N兩點(diǎn)，M時(shí)點(diǎn)的橫),223.已知橢圓 J +=1( a>b>0)的右焦點(diǎn)為a2b2且直線AB的傾斜角為45。，則橢圓方程為(2222xyxyA + - =1B. + - = 1 C9594F,過點(diǎn)F的直線與橢圓交于點(diǎn) A B,若AB中點(diǎn)為(1，)2,2222x4yx2y“+= 1 D += 19999MA - MB =2«,4.已知A(2,0 , B(2,0 ),若在斜率為k的直線l上存在不同的兩點(diǎn) M,N ,滿足:第3頁共5頁NA NB =2j3且線段MN的中點(diǎn)為（6,1）,則k的值為（）1 - 1A

7、 -2B._!C，D.22 25 .已知中心在原點(diǎn)的橢圓 C的右焦點(diǎn)為（1,0）, 一個(gè)頂點(diǎn)為一，若在此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值范圍是A （二二） B （二二）C. （ - -）D.（二二）6 .設(shè)A、B是橢圓3x2+y2 =九上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1,3）是線段AB的中點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與橢圓相 交于C D兩點(diǎn).確定兒的取值范圍，并求直線 AB的方程.227.已知雙曲線C:xy %=1何A0,bA0）的漸近線方程為：y=±J3x,右頂點(diǎn)為（1,0）. a b（I）求雙曲線C的方程；（n）已知直線y=x+m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn) A,B,且線段AB的中點(diǎn)為M（x0,y0）,當(dāng)x0 0 0228 .橢圓Q:x2+，=1 （a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（c,0）,過點(diǎn)F的一動(dòng)直線 m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢 a b'圓于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn).求點(diǎn)P的軌跡H的方程；2+ y2 = 1有兩個(gè)不同的交點(diǎn) P和9 .在直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0, J2)且斜率為k的直線l與橢圓之Q (1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為 A B,是否存在常數(shù)k,使得向量OP + OQ與AB 共線？如果存在，求 k的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由第6頁共5頁210 .橢圓C的中心在原點(diǎn)，并以雙曲線y-