中考必做的36道數(shù)學壓軸題整理版

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上中考必做的36道數(shù)學壓軸題第一題夯實雙基“步步高”，強化條件是“路標”例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐標系O中，拋物線（）與軸交于點A，其對稱軸與軸交于點B（1）求點A，B的坐標；（2）設直線與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式解：（1）當 x 0 時， y 2 . A（0，2）拋物線對稱軸為 x， B（1，0）（2）易得 A 點關于對稱軸的對稱點為 A（2，2）則直線 l 經(jīng)過 A 、 B .沒直線的解析式為 ykxb則解得直線的解析式為 y2x 2

2、（3）拋物線對稱軸為 x 1拋物體在 2 <x<3 這一段與在1<x <0 這一段關于對稱軸對稱，結合圖象可以觀察到拋物線在2<x <1這一段位于直線 l 的上方，在 1< x<0 這一段位于直線 l 的下方拋物線與直線 l 的交點橫坐標為 1 ；當 x1 時， y2x(1)2 4則拋物線過點（1，4）當 x1 時， m2m 24 ， m2拋物線解析為 y2x2 4x2 . 連接（2013江蘇南京，26，9分）已知二次函數(shù)ya（xm）2a（xm）（a、m為常數(shù)，且a0）.（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）設該函

3、數(shù)的圖象的頂點為C.與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D.當ABC的面積等于1時，求a的值；當ABC的面積與ABD的面積相等時，求m的值.【答案】（1）證明：ya（xm）2a（xm）ax2（2ama）xam2am.因為當a0時，（2ama）24a（am2am）a20.所以，方程ax2（2ama）xam2am0有兩個不相等的實數(shù)根.所以，不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點. 3分（2）解：ya（xm）2a（xm）a（x）2，所以，點C的坐標為（，）.當y0時，a（xm）2a（xm）0.解得x1m，x2m1.所以AB1.當ABC的面積等于1時，×1×1.所以&#

4、215;1×（）1，或×1×1.所以a8，或a8.當x0時，yam2am.所以點D的坐標為（0，am2am）.當ABC的面積與ABD的面積相等時，×1××1××1×（）=×1×（am2am），或×1×=×1×（am2am）.所以m，或m，或m.9分變式: （2012北京，23，7分）已知二次函數(shù)在和時的函數(shù)值相等。（1） 求二次函數(shù)的解析式；（2） 若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，求和的值；（3） 設二次函數(shù)的圖象與軸交于點（點在點的左

5、側），將二次函數(shù)的圖象在點間的部分（含點和點）向左平移個單位后得到的圖象記為，同時將（2）中得到的直線向上平移個單位。請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象有公共點時，的取值范圍?！敬鸢浮浚?）方法一：二次函數(shù)在和時的函數(shù)值相等.這個二次函數(shù)的解析式是方法二：由題意可知：二次函數(shù)圖象的對稱軸為則.這個二次函數(shù)的解析式是.（2）二次函數(shù)的圖象過點.又一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3）令解得：由題意知，點B、C間的部分圖象的解析式為，（）.則向左平移后得到圖象G的解析式為：，（）.此時平移后的一次函數(shù)的解析式為.若平移后的直線與平移后的拋物線相切.則有兩個相等的實數(shù)根。即一元二次方程有兩個相等的實數(shù)的根。判

6、別式=解得：與矛盾.平移后的直線與平移后的拋物線不相切.結合圖象可知，如果平移后的直線與圖象G有公共點，則兩個臨界交點為和.則，解得：，解得：第2題“弓形問題”再相逢，“殊途同歸”快突破（例題）（2012湖南湘潭，26，10分） 如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點坐標為.（1）求拋物線的解析式；（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；（3）若點是線段下方的拋物線上一點，求的面積的最大值，并求出此時點的坐標.【答案】解：（1）將B（4，0）代入中，得：拋物線的解析式為：（2）當時，解得，A點坐標為（1，0），則OA=1當x=0時，C點坐標為（0,2），則OC=2在RtA

7、OC與RtCOB中，RtAOCRtCOBACO=CBOACB=ACO+OCB=CBO+OCB=90°那么ABC為直角三角形所以ABC的外接圓的圓心為AB中點，其坐標為（1.5，0）（3）連接OM.設M點坐標為（x，）則 = =當x=2時，MBC的面積有最大值為4，M的坐標為（2，3）變式（2011安徽蕪湖24）面直角坐標系中，ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別為（0，3）、（-1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到A'B'OC'（1）若拋物線過點C，A，A'，求此拋物線的解析式；（2）ABOC和A'B'OC&#

8、39;重疊部分OC'D的周長；（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點M在何處時AMA'的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標第三題“模式識別”記心頭，看似“并列”“遞進”（例題）23（2012河南，23，11分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于A、B兩點，點A在軸上，點B的縱坐標為3點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與A、B重合），過點P作軸的垂線交直線AB與點C，作PDAB于點D（1）求a、b及的值；（2）設點P的橫坐標為m 用含的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值； 連接PB，線段PC把PDB分成兩個三角形，是否存在適合的值，使這

9、兩個三角形的面積之比為9:10?若存在，直接寫出值；若不存在，說明理由第23題圖BCDxOPAy【答案】（1）由，得 由，得經(jīng)過兩點，設直線AB與軸交于點，則軸，.（2）由可知拋物線的解析式為在中， 當時，有最大值存在滿足條件的值，【提示】分別過點D、B作DFPC，BGPC，垂足分別為F、G在中，又當時，解得；當時，解得變式一27（2011江蘇泰州，27，12分）已知：二次函數(shù)y=x2bx3的圖像經(jīng)過點P（2,5）（1）求b的值，并寫出當1x3時y的取值范圍；（2）設點P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在這個二次函數(shù)的圖像上當m=4時，y1、y2、y3能否作為同一個三

10、角形的三邊的長？請說明理由；當m取不小于5的任意實數(shù)時，y1、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由【答案】解：（1）把點P代入二次函數(shù)解析式得5= （2）22b3，解得b=2.當1x3時y的取值范圍為4y0.（2）m=4時，y1、y2、y3的值分別為5、12、21，由于5+1221，不能成為三角形的三邊長當m取不小于5的任意實數(shù)時，y1、y2、y3的值分別為m22m3、m24、m22m3，由于， m22m3m24m22m3，（m2）280，當m不小于5時成立，即y1y2y3成立所以當m取不小于5的任意實數(shù)時，y1、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長，變式二（2013重慶B

11、卷，25，10分）如圖，已知拋物線的圖像與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C(0，5).（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖像上的一動點，過點M作MN/y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖像上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為，ABN的面積為，且，求點P的坐標.yxOCAB【答案】解：（1）設直線BC的解析式為，將B（5，0），C（0，5）代入有： 解得： 所以直線BC的解析式為再將B（5，0），C（0，5）代入拋物線有： 解得：

12、所以拋物線的解析式為：（2）設M的坐標為（x，），則N的坐標為（x，），MN=當時，MN有最大值為MMyxOCABNMQ（3）當時，解得，故A（1,0），B（5,0），所以AB=4由（2）可知，N的坐標為（，）則，那么在y上取點Q(-1，0)，可得故QPBC則直線QP的解析式為 當時，解得，所以P點坐標為（2，），（，），第四題“準線”“焦點”頻現(xiàn)身，“居高臨下”明“結構”（例題）（2012四川資陽，25，9分）拋物線的頂點在直線上，過點F的直線交該拋物線于點M、N兩點（點M在點N的左邊），MA軸于點A，NB軸于點B（1）(3分)先通過配方求拋物線的頂點坐標（坐標可用含的代數(shù)式表示），再求的值

13、；（2）(3分)設點N的橫坐標為，試用含的代數(shù)式表示點N的縱坐標，并說明NFNB；（3）(3分)若射線NM交軸于點P，且PA×PB，求點M的坐標（第25題圖）答案：解（1）頂點坐標為(2 , )頂點在直線上，2+3=，得=2（2）點N在拋物線上，點N的縱坐標為即點N(,)過點F作FCNB于點C，在RtFCN中，F(xiàn)C=+2，NC=NB-CB=,=而=，NF=NB（3）連結AF、BF由NF=NB，得NFB=NBF，由（2）的結論知，MF=MA，MAF=MFA,MA軸，NB軸，MANB,AMF+BNF=180°MAF和NFB的內(nèi)角總和為360°,2MAF+2NBF=18

14、0°，MAF+NBF=90°,MAB+NBA=180°，F(xiàn)BA+FAB=90°又FAB+MAF=90°FBA=MAF=MFA 又FPA=BPF，PFAPBF，= 過點F作FG軸于點G,在RtPFG中，PG=，PO=PG+GO=，P( , 0) 設直線PF：，把點F（2 , 2）、點P( , 0)代入解得=，=，直線PF：解方程，得=3或=2（不合題意，舍去）當=3時，=，M（3 ,）變式一25已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）頂點為C（1，1）且過原點O過拋物線上一點P（x，y）向直線y= 作垂線，垂足為M，連FM（如圖）（1）求字母a，b

15、，c的值；（2）在直線x=1上有一點F(1，)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證明此時PFM為正三角形；（3）對拋物線上任意一點P，是否總存在一點N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在請求出t值，若不存在請說明理由解：（1）拋物線y=ax2+bx+c（a0）頂點為C（1，1）且過原點O，可得-=1，=1，c=0，a=-1，b=2，c=0（2）由（1）知拋物線的解析式為y=-x2+2x，故設P點的坐標為（m，-m2+2m），則M點的坐標（m，），PFM是以PM為底邊的等腰三角形PF=MF，即（m-1）2+（-m2+2m-）2=（m-1）2+（-）2-m2+2m-=或-m2+2

16、m-=-，當-m2+2m-=時，即-4m2+8m-5=0=64-80=-160此式無解當-m2+2m-=-時，即m2-2m=-m=1+或m=1-、當m=1+時，P點的坐標為（1+，），M點的坐標為（1+，）、當m=1-時，P點的坐標為（1-，），M點的坐標為（1-，），經(jīng)過計算可知PF=PM，MPF為正三角形，P點坐標為：（1+，）或（1-，）（3）當t=時，即N與F重合時PM=PN恒成立證明：過P作PH與直線x=1的垂線，垂足為H，在RtPNH中，PN2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2ty+y2，PM2=（-y）2=y2-y+，P是拋物線上的點，y=-x2+2x；PN2

17、=1-y+t2-2ty+y2=y2-y+，1-y+t2-2ty+y2=y2-y+，移項，合并同類項得：-y+2ty+-t2=0，y（2t-）+（-t2）=0對任意y恒成立2t-=0且-t2=0，t=，故t=時，PM=PN恒成立存在這樣的點變式二（2012山東濰坊，24，11分）如圖12，已知拋物線與坐標軸分別交于A（，0）、B（2，0）、C（0，）三點，過坐標原點O的直線與拋物線交于M、N兩點分別過點C、D（0，）作平行于x軸的直線l1、l2（1）求拋物線對應二次函數(shù)的解析式；（2）求證以ON為直徑的圓與直線l1相切；（3）求線段MN的長（用k表示），并證明M、N兩點到直線l2的距離之和等于線

18、段MN的長圖12ABCDOMNl1l2【答案】解：（1）設拋物線對應二次函數(shù)的解析式為，由，解得所以（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），因為點M、N在拋物線上，所以，所以；又=，所以ON=，又因為y2，所以ON=設ON的中點為E，分別過點N、E向直線l1作垂線，垂足為P、F，則EF=，所以ON=2EF，即ON的中點到直線l1的距離等于ON長度的一半，所以以ON為直徑的圓與直線l1相切（3）過點M作MHNP交NP于點H，則=+，又y1=kx1，y2=kx2，所以=，所以；又因為點M、N既在y=kx的圖象上又在拋物線上，所以，即，所以x =2k±，所以=，所以，所以MN=延長NP

19、交l2于點Q，過點M作MSl2于點S，則MS + NQ = =，又=，所以MS + NQ =MN即M、N兩點到直線l2的距離之和等于線段MN的長第24題ABCDOMNl1l2EPQFSH第五題末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向例題（2012浙江寧波，26，12分）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A（1，0），B(2，0)，交y軸于C（0，2），過A，C畫直線(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P在x軸正半軸上，且PA =PC，求OP的長；(3)點M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H若M在y軸右側，且CHM AOC（點C與點A對應），求點M的坐標；若 M的半徑為，求點M的坐標

20、【答案】解：(1)設該二次函數(shù)的解析式為：將x=0，y=2代入，得2= a(0+1)(02)解得a=1拋物線的解析式為，即(2)設OP =x，則 PC=PA =x +1在RtPOC中，由勾股定理，得解得，即(3) CHMAOC，MCH=CAO情形1：如圖，當H在點C下方時，MCH=CAO，CMx軸，解得x=0（舍去），或x=1， M(1，2)情形2：如圖，當H在點C上方時MCH=CAO，由(2)：得，M為直線CP與拋物線的另一交點，設直線CM的解析式為y=kx2把P（，0）的坐標代入，得，解得，由，解得x=0（舍去），或x，此時，在x軸上取一點D，過點D作DEAC于點E，使DECOA=DEA=

21、90°，OAC=EAD，ADEAOC，解得AD=2D(1，0)或D（3，0）過點D作DMAC，交拋物線于M則直線DM的解析式為：或當 2x 6= x2 x2時，方程無實數(shù)解當 2x+2x2 x2時，解得點M的坐標為M或M變式一25如圖，拋物線y=x2+x+3與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，頂點為點D，對稱軸l與直線BC相交于點E，與x軸相交于點F（1）求直線BC的解析式；（2）設點P為該拋物線上的一個動點，以點P為圓心，r為半徑作P當點P運動到點D時，若P與直線BC相交，求r的取值范圍；若r= ，是否存在點P使P與直線BC相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由提

22、示：拋物線y=ax2+bx+x（a0）的頂點坐標（，），對稱軸x=變式二22（2012廣東省，20，9分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC.(1)求AB和OC的長；(2)點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動(點E與點A、B不重合)，過點E作直線l平行于BC，交AC于點D.設AE的長為m，ADE的面積為S，求S關于m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，連接CE，求CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積(結果保留).【答案】(1)當y=0時，解得x1=3，x2=6.AB=|x1x2|=|36|=9.當x=0時，y=9

23、.OC=9.(2)由(1)得A(3,0)，B(6,0)，C(0,9)，直線BC的解析式為y=x9，直線AC的解析式為y=3x9.AE的長為m，E(m3,0).又直線l平行于直線BC，直線l的解析式為y=x.由得，點D(,m).ADE 的面積為：S=·AE·|D縱|=·(m3)·|m|=.(0m9)(3)CDE面積為：SACESADE=()=，當m=3時，CDE面積的最大值為.此時，點E(0,0).如圖，作OFBC于F，OB=6，OC=9，OF=.以點E為圓心，與BC相切的圓的面積為：.第6題 分類討論“程序化”，“分離抗擾”探本質例題（2011貴州遵義，

24、27，14分）已知拋物線經(jīng)過A(3，0), B(4，1)兩點，且與y軸交于點C。（1）求拋物線的函數(shù)關系式及點C的坐標；（2）如圖（1）,連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖（2）,連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標?！敬鸢浮浚?）（2）若PAB=90°，分別過P、B作x軸的垂線，垂足分別為E、F。圖（1）易得APEBAF,且BAF為等腰直角三角形，APE為等腰直角三角形。設PE=a，則

25、P點的坐標為（a，a3）代入解析式3-a= 解得a=0，或a=3（與A重合舍去）P（0,3）若PBA=90°，如下圖，直線與x軸交與點D, 分別過P、B作x軸的垂線，垂足分別為E、F。由圖可得PED、BAD為等腰直角三角形，設PE=a，則DE=a，AB=,所以AD=2，則P點坐標為（5a，a）代入解析式， 解得，a=1，或a=6 （與B重合）是所以P點坐標（1,6）綜上所述P（0,3）或P（1,6）（3）由題意得，CAO=OAF=45°利用同弧所對的圓周角相等，OEF=OAF=45° EFO=EAO=45°EOF為等腰直角三角形，SEOF=。當OE最小時，面積最小。即E為AC中點（變式一（2011山東棗莊，25，10分）如圖，在平面直角坐標系中，把拋物線向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線.所得拋物線與軸交于兩點（點在點的左邊），與