2016年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版)

1、2016年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版）2016年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1 .設(shè)全集U=R,集合A=x|Ovxv2,B=x|xv1,則集合（？UA）nB=（）A.（-8,0）B.（-8,0C.+8）D.2,+8）2,若復(fù)數(shù)z滿足z+z?i=2+3i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3 .在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin（A+B）=1,a=3,c=4,則sinA=（）A.等B.iC.總D.片4 .某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為（）I

2、N/I.jfi'iI_-.i._Z._r.I*ZX1i1工l門tjIns例1"）荏用A.2B.小C.3D,2/25.aa,b,c,d成等差數(shù)列"是"a+d=b+c"的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6.某市家庭煤氣的使用量x（m3）和煤氣費(fèi)f行取包,已知某家庭今年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如表月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為（）A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元7.如圖，點(diǎn)A,B在函數(shù)y=log2x+2的

3、圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y=log2x的圖象上，若4ABC為等邊三角形，且直線BCIIy軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m,n）,則m=（）殳1一叱A.2B.3C.正D.例8.設(shè)直線l:3x+4y+a=0,圓C：(x-2)2+y2=2,若在圓C上存在兩點(diǎn)P,Q,在直線l上存在一點(diǎn)M,使得/PMQ=90。，則a的取值范圍是()A.18,6B.656，6+5&C.-16,4D,-6-5+-6+啊二、填空題(共6小題，每小題5分，滿分30分)9 .在二項(xiàng)式&弓J的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于10 .設(shè)x,y滿足約束條件3人則z=x+3y的最大值是.11 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為u1*M/前:HS

4、/工口12 .設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為y=±苧X,則其離心率為;若點(diǎn)（4,2）在C上，則雙曲線C的方程為.13 .如圖，4ABC為圓內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD/AC,過點(diǎn)A做圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F,若AB=AC=4,BD=5,貝慘;AE=.14 .在某中學(xué)的“校園微電影節(jié)”活動(dòng)中，學(xué)校將從微電影的“點(diǎn)播量”和“專家評(píng)分”兩個(gè)角度來(lái)進(jìn)行評(píng)優(yōu).若A電影的“點(diǎn)播量”和“專家評(píng)分”中至少有一項(xiàng)高于B電影，則稱A電影不亞于B電影，已知共有10部微電影參展，如果某部電影不亞于其他9部，就稱此部電影為優(yōu)秀影片，那么在這10部微電影中，最多可能有部?jī)?yōu)秀

5、影片.三、解答題(共6小題，滿分80分)15 .已知函數(shù)f(x)=(1+tanx)cos2x.(1)若a為第二象限角，且sina等，求f(a)的值；(2)求函數(shù)f(x)的定義域和值域.16 .某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))分為5組：0,10),10,20),20,30),30,40),40,50,并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)寫出a的值;(2)試估計(jì)該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小

6、于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；(3)從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，并用X表示其中初中生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E,F分別為BC,DA的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿著線段EF折起，使得/DFA=60°,設(shè)G為AF的中占(1)求證：DGLEF;(2)求直線GA與平面BCF所成角的正弦值；(3)設(shè)P,Q分別為線段DG,CF上一點(diǎn)，且PQ/平面ABEF,求線段PQ長(zhǎng)度的最小值.fi£2119.已知橢圓C：f+3=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形，且其周長(zhǎng)為(1)求橢圓C的方程；(2

7、)設(shè)過點(diǎn)B(0,m)(m>0)的直線l與橢圓C相交于E,F兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D,若點(diǎn)D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi)，求m的取值范圍.20.已知任意的正整數(shù)n都可唯一表示為n=a0?2k+a/"1+-+ak-i'21+ak?20,其中a0=1,a1,a2,，aK0,1,kGN.對(duì)于nGN*,數(shù)歹！Jbn滿足：當(dāng)a。，a1,，ak中有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，m=0；否則8=1,如數(shù)5可以唯一表示為5=1X22+0X21+1X2°,則b5=0.(1)寫出數(shù)列bn的前8項(xiàng)；(2)求證：數(shù)列bn中連續(xù)為1的項(xiàng)不超過2項(xiàng)；(3)記數(shù)列Jbn的前n項(xiàng)和為吩,求滿足&=1

8、026的所有n的值.(結(jié)論不要求證明)2016年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題(共8小題，每小題5分，滿分40分)1.設(shè)全集U=R)集合A=x|0vxv2)B=x|x<1,則集合(？UA)nB=()A.(一°°)0)B.(一°°)0C.(2)+8)D.2,+8)【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【分析】根據(jù)全集U=R求出A的補(bǔ)集，再求A的補(bǔ)集與B的交集即可.【解答】解：:.全集U=R,集合A=x|0vxv2=(0,2),B=x|x<1=(-°°51).？uA=(-00)0U2)+°

9、°);.(?uA)AB=(-00,0.故選：B.2 .若復(fù)數(shù)z滿足z+z?i=2+3i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】由z+z?i=2+3i,得召，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求.【解答】解：由z+z?i=2+3i,用|2+3L12電)力,L彳寸z1H=(1+i)(1-i)-2折，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：戲，上)，位于第一象限.故選：A.3 .在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin(A+B)=1,a=3,c=4,則sinA

10、=()A.等B.iC.總D.旨【考點(diǎn)】正弦定理.【分析】由內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式知sin(A+B)=sinC=氏再利用正弦定理求解.【解答】解：.A+B+C=it,.sin(A+B)=sinC=g,又a=3)c=4)smAsinC）*A即品#:，sinA=1,故選B.4.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為（）I門1.1睨陽(yáng)保yl陽(yáng)期愕賽國(guó)A.2B.乘C.3D,2【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度、判斷出位置關(guān)系，由直觀圖求出該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng).【解答】解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)四棱錐，底面是一個(gè)直角梯形，ADLAB

11、、AD/BC,AD=AB=2、BC=1,PAL底面ABCD,且PA=2,該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為PC=Vpa2+ac2=J22+22+i2=3,故選：C.5 ."a,b,c,d成等差數(shù)列"是"a+d=b+c”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】由a,b,c,d成等差數(shù)列，可得：a+d=b+c,反之不成立：例如a=0,d=5,b=1,c=4.即可判斷出結(jié)論.【解答】解：由a,b,c,d成等差數(shù)列，可得：a+d=b+c,反之不成立：例如a=0,d=5,b=1,c=4.“

12、a,b,c,d成等差數(shù)列”是“a+d=b+c”的充分不必要條件.故選：A.6 .某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)=；b：，Ma，已知某家庭今年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如表月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元【考點(diǎn)】函數(shù)的值.【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求出A、B、C的值，求出f(x)的表達(dá)式，從而求出f(20)的值即可.【解答】解：由題意得：C=4,將(25,14),(35,19)代入f(x)=4+B(x-A),得：f4+B(25-A)=

13、14，口儼=5解得,%0<x<5，f(x)=4號(hào)(l5),故x=20時(shí)：f(20)=11.5,故選：A.7 .如圖，點(diǎn)A,B在函數(shù)y=log2x+2的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y=log2x的圖象上，若AABC為等邊三角形，且直線BC/y軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,n)則m=()A.2B.3C.退D,g【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).【分析】根據(jù)題意，設(shè)出A、B、C的坐標(biāo)，由線段BC/y軸，ABC是等邊三角形，得出AB、AC與BC的關(guān)系，求出m、n的值，計(jì)算出結(jié)果.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)B(xo,2+log2x0),A(m,n),C(xo)log2x0) 線段BC/y軸，AABC是等邊三角形，

14、BC=2)2+log2m=n, .m=2n2,.4m=2n；又x。m二行，.m=x。一氣 =x0=m+E；又2+log2x。-n=1) .log2x0=n-1,x0=2n1;，m+/3=2n1；2m+2=2n=4m)/.m=V35故選：D.8.設(shè)直線l:3x+4y+a=0,圓C:(x2)2+y2=2,若在圓C上存在兩點(diǎn)P,Q,在直線l上存在一點(diǎn)M,使得/PMQ=90。，則a的取值范圍是()A.18,6B,65萬(wàn),6+56C,16,4D.65叫6+5碼【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】由切線的對(duì)稱性和圓的知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為C(2,0)到直線l的距離小于或等于2,再由點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于a的

15、不等式求解.【解答】解：圓C:(x2)2+y2=2,圓心為：(2,0),半徑為在圓C上存在兩點(diǎn)P,Q,在直線l上存在一點(diǎn)M,使得/PMQ=90°,在直線l上存在一點(diǎn)M,使得M到C(2,0)的距離等于2,只需C(2,0)到直線l的距離小于或等于2,r./,-|3X2+4X04a|立rytzt/心.故-Vg+ie&2,斛佝-16&a<4,故選：C.二、填空題(共6小題，每小題5分，滿分30分)9 .在二項(xiàng)式K)'的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于一160.【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.【分析】展開式的通項(xiàng)為丁田纖-崢要求常數(shù)項(xiàng)，只要令6-2r=0可得r,代入即可求【解答】解：展開

16、式的通項(xiàng)為(1，4?=令6-2r=0可得r=3常數(shù)項(xiàng)為2=160故答案為：16010 .設(shè)x,y滿足約束條件什1）則z=x+3y的y+l>0最大值是孑.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象求出z的最大值即可.【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示:由匕蓑，解得A力由z=x+3y得：y=-x+y,顯然直線過A時(shí)，z最大，z的最大值是z4+3xH,故答案為：i.11 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為一5rT.JI!【考點(diǎn)】程序框圖.【分析】根據(jù)所給數(shù)值執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句，然后判定是否滿足判斷框中的條件，一旦滿足條件就退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【解答

17、】解：模擬執(zhí)行程序，可得i=2,S=1S=3,i=3滿足條件i<10,執(zhí)行循環(huán)體，i=5,S=h需=|,i=6滿足條件i<10,執(zhí)行循環(huán)體，i=11,Sx11-15.ii+i=而）i=12不滿足條件i<10,退出循環(huán)，輸出S的值為翁.故答案為：乳12 .設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為爐嗎x,則其離心率為J;若點(diǎn)（4,2）I22在C上，則雙曲線C的方程為年-（二】,【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)雙曲線漸近線和a,b的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可求出離心率的大小，利用待定系數(shù)法求入，即可得到結(jié)論.【解答】解：二.雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為y=土當(dāng)x,=

18、63;即5H寧=e2-1卷則e2嘲,則e=r,設(shè)雙曲線方程為9-y2=入，入0,若點(diǎn)（4,2）在C上,人=y22=8-4=4,即雙曲線方程為v-y2=4,暗一91,故答案為：當(dāng)召江13 .如圖，4ABC為圓內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD/AC,過點(diǎn)A做圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F,若AB=AC=4,BD=5,則黑=;AE=6Z_:L【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段.【分析】利用平行線的性質(zhì)，求出噲；利用弦切角定理、切割線定理，求AE.【解答】解：7BD/AC,AC=4,BD=5.AF_AC_AFD=ED=5由弦切角定理得/EAB=/ACB,又因?yàn)?，AB=AC,所以/EAB=/

19、ABC,所以直線AE/直線BC,又因?yàn)锳C/BE,所以是平行四邊形.所以BE=AC=4.由切割線定理，可得AE2=EB?ED=4X(4+5)二36,所以AE=6.故答案為：2；6.14 .在某中學(xué)的“校園微電影節(jié)”活動(dòng)中，學(xué)校將從微電影的“點(diǎn)播量”和“專家評(píng)分”兩個(gè)角度來(lái)進(jìn)行評(píng)優(yōu).若A電影的“點(diǎn)播量”和“專家評(píng)分”中至少有一項(xiàng)高于B電影，則稱A電影不亞于B電影，已知共有10部微電影參展，如果某部電影不亞于其他9部，就稱此部電影為優(yōu)秀影片，那么在這10部微電影中，最多可能有10部?jī)?yōu)秀影片.【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.【分析】記這10部微電影為A-A7設(shè)這10部微電影為先退到兩部電影的情形，若A1

20、的點(diǎn)播量A2的點(diǎn)播量，且A2的專家評(píng)分A1的專家評(píng)分，則優(yōu)秀影片最多可能有2部，以此類推可知：這10部微電影中，優(yōu)秀影片最多可能有10部.【解答】解：記這10部微電影為A1-A10,設(shè)這10部微電影為先退到兩部電影的情形，若A1的點(diǎn)播量A2的點(diǎn)播量，且A2的專家評(píng)分A1的專家評(píng)分，則優(yōu)秀影片最多可能有2部；再考慮3部電影的情形，若A1的點(diǎn)播量A2的點(diǎn)播量A3的點(diǎn)播量，且A3的專家評(píng)分A2的專家評(píng)分A1的專家評(píng)分，則優(yōu)秀影片最多可能有3部.以此類推可知：這10部微電影中，優(yōu)秀影片最多可能有10部.故答案為：10.三、解答題(共6小題，滿分80分)15 .已知函數(shù)f(x)=(1+tanx)cos2

21、x.(1)若a為第二象限角，且sina=,求f(a)的值；(2)求函數(shù)f(x)的定義域和值域.【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的定義域和值域.【分析】(1)由a為第二象限角及sina的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosa及tana的值，再代入f(a)中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)f(x)解析式利用二倍角和輔助角公式將f(x)化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍，即可得到函數(shù)值域.【解答】解：為第二象限角，且sina=F,cosa=-吼tana=-a/5.f(a)=(1+6tana)coga=3(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x#kTt+)kGZ,化簡(jiǎn)f(x)=sin(X+r)+,

22、x#k7t+SkGZITV卬兀 .2x+,2kTt+-kGZ兀，-Ksin(2x+r)w1 *f(x).f(x)的值域?yàn)?6.某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))分為5組：0,10),10,20),20,30),30,40),40,50,并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)寫出a的值；(2)試估計(jì)該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；(3)從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中

23、隨機(jī)抽取3人，并用X表示其中初中生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；古典概型及其概率計(jì)算公式；離散型隨機(jī)變量的期望與方差.【分析】(1)根據(jù)頻率頻率直方圖的性質(zhì)，可求得a的值；(2)由分層抽樣，求得初中生有60名，高中有40名，分別求得初高中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率及人數(shù)，求和；(3)分別求得，初高中生中閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，寫出X的取值及概率，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望.【解答】解：(1)由頻率直方圖的性質(zhì)，(0.005+0.02+a+0.04+0.005)X10=1,a=0.03,(2)由分層抽樣可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，初

24、中生中，閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率為(0.03+0.005)X10=0.25,，所有的初中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生約有0.25X1800=450人，同理，高中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率為(0.03+0.005)X10=0.035,學(xué)生人數(shù)約為0.35X1200=420人，所有的學(xué)生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生約有450+420=870,(3)初中生中閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生的頻率為0.005X10=0.05,樣本人數(shù)為0.05X60=3人，同理，高中生中閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生的頻率為0.005X10X40=2,故X的可能取值為：1,2,3,，卜田3jC宗C；3

25、P(X=1)=甘=而，P(X=2)=TT=P(X=3)p3C31=碣二元).X的分布列為：X123P.三：3319，E(X)=1XIF+2XM+3X崗=區(qū).17.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E,F分別為BC,DA的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿著線段EF折起，使得/DFA=60°,設(shè)G為AF的中占(1)求證：DGLEF;(2)求直線GA與平面BCF所成角的正弦值；(3)設(shè)P,Q分別為線段DG,CF上一點(diǎn)，且PQ/平面ABEF,求線段PQ長(zhǎng)度的最小值./:-/【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的性質(zhì)；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.【分析】(1)由矩形性質(zhì)得出EFXDF,EFXAF,故E

26、FL平面AFD,得出EFXDG;(2)證明DGL平面ABEF,以G為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出前和平面BCF的法向量7的坐標(biāo)，則GA與平面BCF所成角的正弦值為|cosv盛，n>|(3)設(shè)P(0,0,k)(0wkw4),而二人前(0入01),求出國(guó)的坐標(biāo)，令而而=0得出k與入的關(guān)系，得出|畫關(guān)于人的函數(shù)，根據(jù)人的范圍求出函數(shù)的最小值.【解答】(1)證明：.E,F分別正方形ABCD的邊BC,DA的中點(diǎn)，EFXDF,EFXAF,又DF?平面ADF,AF?平面ADF,DFHAF=F,.EFL平面ADF,DG?平面ADF,DGXEF.DF=AF,/DFA=60°,.ADF是等邊三角形

27、，.G是AF的中點(diǎn)，.DGXAF.又EFXDG,EF,AF?平面ABEF,AFnEF=F,.DG,平面ABEF.設(shè)BE中點(diǎn)為H,連結(jié)GH,則GA,GD,GH兩兩垂直，以G為原點(diǎn)，以GA,GH,GD為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則G(0,0,0),A(1,0,0),B(1,4,0).C(0,4,，F(xiàn)(1,0,0).，房=（1）0）0）氤=（1）0）6）麗=（一2）-4,0）.設(shè)平面BCF的法向量為的（x）yz）則鳴:-。-2算一 4y=0令 z=2 得口=（2工2).，.=2 ；11；| = i | =1./. COSV 1；GA > =2后19 直線GA與平面BCF所成角的正弦值為吟（

28、3）設(shè)P（0,0,k）（0WkwM）,而=入標(biāo)（0w入w1）,則而=（1,0,k）,辰二（1,4,痛），.,.而=（入）4入，仍入）, 笆二麗-祚=（入1,4入，也入k）.DGL平面ABEF,，而=（0,0,6）為平面ABEF的一個(gè)法向量. .PQ/平面ABEF,.而工瓦，.麗而=（6人一片）二0,.二k=6入.|=1'-二1W一告）黨.，當(dāng)入=今時(shí)，|畫取得最小值誓.18.設(shè)aGR,函數(shù)f(x)=.(1)若函數(shù)f(x)在(0,f(0)處的切線與直線y=3x-2平行，求a的值；(2)若對(duì)于定義域內(nèi)的任意xi,總存在X2使得f(x2)vf(x1),求a的取值范圍.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最

29、小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a的值；(2)對(duì)于定義域內(nèi)的任意，總存在x2使得f(x2)vf(x1),即為f(x)在xw-a不存在最小值，討論a=0,a>0,a<0,求得單調(diào)區(qū)間和極值，即可得到a的范圍.丫m【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=疊干的導(dǎo)數(shù)為y3a.lx(x)=7，x*a,可得函數(shù)f(x)在(0,f(0)處的切線斜率為由題意可得洋3,解得a=±1；(2)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x1,總存在X2使得f(X2)vf(x1),即為f(x)在XW-a不存在最小值，a=0時(shí)，f(x)4無(wú)最小值，顯然

30、成立；a>0時(shí)，f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=丁亍,可得f(x)在(-oo,-a)遞減；在(-a,3a)遞增，在(3a,+8)遞減，即有f(x)在x=3a處取得極大值，當(dāng)x>a時(shí))f(x)>0;x<a時(shí))f(x)<0.取x1va,x2#a即可)當(dāng)x1<-a時(shí))f(x)在(-a)遞減)且x1vx1*|x1+a|v-a,f(x1)>f(x1+x1+a。故存在x2=x1尚x1+a|,使得f(x2)Vf(x1);同理當(dāng)-a<x1va時(shí)，令x2=x1-|x1+a|,使得f(x2)vf(x1)也符合；則有當(dāng)a>0時(shí)，f(x2)vf(x1)成立;當(dāng)

31、a<0時(shí)，f(x)在(-巴3a)遞減；在(3a,a)遞增，在(-a,+°°)遞減，即有f(x)在x=3a處取得極小值，當(dāng)x>a時(shí))f(x)>0;xva時(shí))f(x)<0.f(x)min=f(3a)當(dāng)x1=3a時(shí))不存在x2,使得f(x2)<f(x1).綜上可得，a的范圍是0,+8).19.已知橢圓C:4+4=1(a>b>0)的兩個(gè)a.D焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形，且其周長(zhǎng)為4叵.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)B(0,m)(m>0)的直線l與橢圓C相交于E,F兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D,若點(diǎn)D總在以線段E

32、F為直徑的圓內(nèi)，求m的取值范圍.【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】(1)由題意列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=0,|EF|=2,點(diǎn)B在橢圓內(nèi)，由叵/得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、由此能求出m我取值范圍.【解答】解：(1)由題意，得憶又a2=b2+c2,解得a=&，b=1,c=1,橢圓C的方程為(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由題意知l的方程為x=0,此時(shí)，E,F為橢圓的上下頂點(diǎn)，且|EF|=2,點(diǎn)D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi)，且m>0,0vmv

33、1,點(diǎn)B在橢圓內(nèi)，由方程組3+2得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,I27"直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，.=(4km)2-4(2k2+1)(2m22)>0,-4km9th2-2設(shè)E(X1,y1),F(X2,y2),則3工嚴(yán)示“上用禾T，設(shè)EF的中點(diǎn)GO,y»IIIo2kz+l-2kmmG(2k2+l?2k2+l)腐4r+12k加,1.|DG|=乙氏1XZ.XL1J.|EF|=也斗士詞（工14立）2-4町2持1卬2Zk2+1，| DG| V吟對(duì)于k G R恒成立,.4kJizJ+d. 2k.i2k2+l點(diǎn)D總位于以線段EF為直徑的圓內(nèi),化簡(jiǎn)，得2m2k2+7m2k2+3m2v2k4+3k2+1,整理，得-2<jC±lIII JkS3而 g (k)k'+3=1 2k2+3當(dāng)且僅當(dāng)m2號(hào)）k=0時(shí)，等號(hào)成立，由m>0）.解得0vmv與.m的取值范圍是（020.已知任意的正整數(shù)n都可唯一表示為a?,akG0,1,kGN.n=a0?2k+a -111+a 5M+ak?2其中a0=1對(duì)于nGN*,數(shù)歹Ubn滿足：當(dāng)a。，a<）ak中有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，bn=0；否則b=1,如數(shù)5可以唯一表示為5=1X22+0X2+1X2°,則b5=0.（1