分形幾何簡介

1、2021/3/91分形幾何簡介2021/3/92分形的概念 1973年，曼德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。 曼德勃羅（1986年）對分形幾何的定義是：分形是指由于各個部分組成的形態(tài)，每個部分以某種形式與整體相似。2021/3/93分形的特點 按照分形幾何的觀點理解，一個復(fù)雜對象雖然是雜亂無章的，但他們具有無標(biāo)度性或相似性。 無標(biāo)度性是一個圖像經(jīng)過放大或縮小，它具有形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則性等均不發(fā)生變化的特性。 自相似性與無標(biāo)度性有相同之處。它具有一個對象的局部與整體在形狀、結(jié)構(gòu)或功能等方面成比例縮小的性質(zhì)。2021/3/942021/3

2、/95分維的計算 在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以梢加推廣，認(rèn)為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論把維數(shù)視為分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。2021/3/96 我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的線度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若干個相似的圖形。其線段、正方形、立方體

3、分別被等分為21、22和23個相似的子圖形，其中的指數(shù)1、2、3，正好等于與圖形相應(yīng)的經(jīng)驗維數(shù)。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為r的相似的N個圖形所組成，有： (1/r) D=N, D=lnN/ln(1/r) 的關(guān)系成立，則指數(shù)D稱為相似性維數(shù)，D可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。 2021/3/972021/3/98 2021/3/992021/3/9102021/3/9112021/3/912-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.52021/3/913自然界中的分形 自然界中的許多研究對象在形態(tài)、功能和信息三方面或其中某一方面具有相似性，就認(rèn)為該對象具有分形特征。 自然界中的分形具有兩個明顯的特征： 一、自然界中的分形僅在一定尺度范圍，一定層次中才表現(xiàn)出分形特征。二、自然界的分形行為只有有限層次的嵌套，且是具有自相似分布特征的隨機對象，必須從統(tǒng)計的角度考慮、分析和處理。2021/3/9142021/3/9152021/3/9162021/3/9172021/3/9182021/3/9192021/3/9202021/3/9212021/3/9222021/3/9232021/3/9242021/3/925 著名理論物理學(xué)家惠勒說過這樣的話：在過去，一個人如果不懂得“熵”是什么，就不能說是科學(xué)上有教養(yǎng)的人；在將來，一個人如果不能同樣熟悉分形，他就不能