初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)+配套練習(xí)

1、第一講數(shù)與式的運(yùn)算在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實(shí)數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式.代數(shù)式中有整式多項(xiàng)式、單項(xiàng)式、分式、根式.它們具有 實(shí)數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式平方差公式與完全平方公式，并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡便.由于在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過被開方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)接觸到被開方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)充.基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分

2、式"等有關(guān)內(nèi)容.、乘法公式2 2 2 2【公式 1 】(a b c) a b c 2ab 2bc 2ca證明：(a b c)22(a b) c2(a b) 2(a b)ca2 2abb22ac 2bc等式成立【例1】計(jì)算：(x22x解：原式=x2(2x)(x2)2 (2x)2x4 2 2x3 8x2($2 2 1x392x2(2)x 2x2、2x)說明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降幕或升幕排列.【公式2 (a b)(a2 ab b2) a3 b3(立方和公式)證明：(a b)(a2 ab b2) a3 a2bab2a2b ab2b3a3b3說明：請(qǐng)同學(xué)用文字語言表述公式2.2

3、【例2】計(jì)算：(a b)(a abb2)解：原式=a ( b) a2 a( b) ( b)2a333(b) ab3我們得到：【公式3 (a b)(a2 ab b2) a3 b3(立方差公式)1、2、3均稱為乘法公式.請(qǐng)同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式【例3計(jì)算:1(4m)(1(6 4mm2)2J(m1n)(1 2 m1mn1 2、n )52251043(a2)(a2)(a44a216) 4(x22xy2 2y )(x2xy y)2解：1原式=33:4 m64m32原式=J 、3 (m)(1n)313m1 n35212583原式=(a24)(a44a242)(a2)3 436 a64

4、4原式=(x y)2(x22 2xy y )(xy)(x2xy2 2y ),33、26 小336(x y ) x 2x y y說明：12【例4】x2在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公 式的結(jié)構(gòu).為了更好地使用乘法公式，記住4、10的立方數(shù)，求x33x 11、 2、 3、 4、是非常有好處的.13的值.x、20的平方數(shù)和1、2、3、解：x2 3x 1 01 2原式=(x )(xx(x-3x1)(x 丄)23x x3(323)18說明：此題假設(shè)先從方程x2 3x0中解出x的值后,再代入代數(shù)式求值,那么計(jì)算較煩瑣.此題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡

5、化了計(jì)算.請(qǐng)注意整體代換法.此題的解法，表達(dá)了“正難那么反'的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明 智之舉.【例5】a b c 0，求1 1 a(-b c)b(-c1 1 c()的值a b解： a b c 0, a bc,bca,ca bb c , aca b原式=abcbcacaba( a)b( b)c( c)2 ab22c bcacababca3 b3 (ab)(ab)23abc(c23ab)c3 3abca3b3c33abc，把代入得原式3abc門=3abc說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用.引申：同學(xué)可以探求并證明：2 . 2 2abc 3abc (a b c)(a b c ab

6、bc ca)、根式式子、aa 0叫做二次根式，其性質(zhì)如下:a2 |a |b % 0,b 0)a . a【例6】化簡以下各式:(3 2)2( 3 1)2 (1 x)2,(2 x)2 (x 1)解：原式=| ,32| 31|原式=|x 1| |x 2|(x(x1) (x 2)1) (x 2)2x 3 (x 2)1 (1 x 2)要對(duì)字說明：請(qǐng)注意性質(zhì).a2|a|的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí),母的取值分類討論.【例7】計(jì)算沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù):(1) 2解: (1)原式=3(2.3)3(2.3)3(23)(2.3)223原式打b 航ab2ab原式=2：22；K莎xx

7、2辦3五被說明：1二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來；分母中有根式2二次根式的化簡常見類型有以下兩種：被開方數(shù)是整數(shù)或整式化簡時(shí)，先將它分解 女口 一或被開方2.3數(shù)有分母如12 這時(shí)可將其化為扌a形式如可化為扌孑，轉(zhuǎn)化為分母中有根式“的情況化簡時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡.如一3 化為32一!3一，其中23與2 .3叫做互為有理化因式2 V32 <32 “3【例8】計(jì)算:(1) (.a ,b1)(1 ab) ( ab)2(2)*!a.aba .

8、 ab解：(1)原式=(1 .b)2(.a)2 (a 2 abb) 2a2 . ab2 b 1aa11(2)原式=a(. ab)a(. ab)a . ba(. a b) ( a b) 2 a (.a , b)( a 、b) a b說明：有理數(shù)的運(yùn)算法那么都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法公式、分式二次根式的運(yùn)算.【例 9】設(shè) x -3 , y -_，求 x3 y3的值.232、3解：2 、3x(23)27 4 3,y743x y14, xy 12、3223原式=(x y)(x2xyy2)(x y)(xy)23xy14(1423)2702說明:有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(

9、2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡化計(jì)算量.三、分式AA當(dāng)分式A的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，-就叫做繁分式，繁分式的化簡常用BB以下兩種方法：(1)利用除法法那么；(2)利用分式的根本性質(zhì).【例10】化簡一x一1 x x1x x解法一：原式=2 xx1xx(1x) xxxr xx(1 X)X(x 1)(x 1)x-2x x xx 1x(x 1) x 1xx(1 x)x21解法二：原式=-x/1、(x 一)xx說明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，法二那么是利用分式的根本性質(zhì)- 乞衛(wèi) 進(jìn)行化簡.B B mx(x 1)2x x x采

10、取通分的方式逐步脫掉繁分式,般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩種方法.2x 3x 96x解：原式=x 116x 1(x 3)(x23x 9)x(9 x2)2(3 x) x 3(x 3)(x 3)2(x 3)2(x 3) 12 (x 1)(x+3)x232(x 3)(x 3)2(x3)(x 3)說明：(1)分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分【例11】化簡x2 3x 96x9x x2x 16 2x解再進(jìn)行約分化簡；(2)分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式.第二講因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形.在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要

11、的作用是一種重要的根本技能.因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等.一、公式法(立方和、立方差公式)在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：(ab)(a2abb2)a3b3(立方和公式)(ab)(a2abb2)a3b3(立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和).運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.【例1

12、】用立方和或立方差公式分解以下各多項(xiàng)式：(1) 8 x3(2) 0.125 27b3分析：(1)中，8 23,中 0.1250.53,27b3 (3b)3 .解：(1) 8 x323 x3(2x)(4 2x x2)33322(2) 0.125 27b0.5(3b)(0.53b)0.50.5 3b (3b)2(0.53b)(0.251.5b 9b )說明：(1)在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用幕的運(yùn)算法那么，如333n8a3b3(2ab)3，這里逆用了法那么(ab)nanbn ； (2)在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí),定要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的符旦【例2】分解因式：號(hào).(1) 3a3b

13、81b4ab6分析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解;中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)a6b6,可看著是(a3)2 (b3)2或(a2)3 (b2)3.解： 3a3b 81b4 3b(a327b3)3b(a2 23b)(a 3ab 9b ).7.6/ 6 . 6、/ 3(2) a aba(ab ) a(a.333b )(a b )a(aa(a2b)(a ab2 22 2b)(a ab b )(a2 2 2b)(a b)(a ab b )(a abb2)b2)二、分組分解法 從前面可以看出， 四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式， 可以先將多項(xiàng)式分組處理. 這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法. 關(guān)鍵在于如何分組

14、.1分組后能提取公因式主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式.能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，如ma mb na nb既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.分組分解法的而對(duì)于因此,【例3】把2ax 10ay 5by bx分解因式.分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x的降幕排列，然后從兩組分別提出公因式 2a與b，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是 x 5y，這樣可以繼續(xù)提取 公因式.解：2ax 10ay 5by bx 2a(x 5y) b(x 5y) (x 5y)(2 a b)說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法此題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組

15、，同學(xué)不妨一試.2 2 2 2【例4】把a(bǔ)b(c d ) (a b )cd分解因式.分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號(hào)翻開后重新分組，然后再分解因 式.解: ab(c2 d2) (a2 b2)cd abc2 abd2 a2cd b2cd2 2 2 2(abc a cd) (b cd abd )ac(bc ad) bd(bc ad) (bc ad)(ac bd)說明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了 加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律.由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中 所起的作用.2 分組后能直接運(yùn)用公式2 2【例5】把x y ax

16、 ay分解因式.分析：把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒有公因式， 但可以運(yùn)用平方差公式分解因式， 其中一個(gè)因式是 x y ;把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式a后，另一個(gè)因式也是 x y.22解：x y ax ay (x y)(x y) a(x y) (x y)(x y a)【例6】把2x2 4xy 2y2 8z2分解因式.2 2 2分析：先將系數(shù)2提出后，得到x 2xy y 4z，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式.解：2x2 4xy 2y2 8z2 2(x2 2xy y2 4z2)2 22(x y) (2z) 2(x y 2z)(x y 2z

17、)說明：從例5、例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后， 它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來分解因式.三、十字相乘法21. x (p q)x pq型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1; (2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3) 次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之 和.2 2x (p q)x pq x px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q)因此，:x2 (p q)x pq(xp)(xq)運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式【例7】把以

18、下各式因式分解：(1)x2 7x 62(2) x 13x 36解：(1)- 6 ( 1) ( 6),(1)(6)7x2 7x 6 x('1)x(6) (x 1)(x6).t 364 9,4913x213x36 (x 4)(x9)說明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng) 系數(shù)的符號(hào)相同.【例8】把以下各式因式分解:(1) x2 5x 242(2) x2x15解：(1) /24( 3)8,( 3) 852x 5x 24x ( 3)(x 8) (x3)(x8)(2) /15( 5)3,( 5) 32x2 2x 15x ( 5)(x 3) (x5)(x3)說

19、明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.【例9】把以下各式因式分解：2 2 2 2 2(1) x xy 6y(2) (x x) 8(x x) 12分析：(1)把x xy 6y看成x的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是6y，一次項(xiàng)系數(shù)是y，把 6y2分解成3y與2y的積，而3y ( 2y) y，正好是一次項(xiàng)系數(shù).2(2) 由換元思想，只要把 xx整體看作一個(gè)字母 a，可不必寫出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式a2 8a 12 .解： x2 xy 6y2 x2 yx 62 (x 3y)(x 2y)2 2 2 2 2(2) (x x) 8(x x) 12 (

20、x x 6)(xx 2)(x 3)(x2)( x 2)( x 1)22.一般二次三項(xiàng)式 ax bx c型的因式分解大豕矢卩道，(xC|)(a? xC2)a? x(C2a2C1) xg C2.反過來，就得到：(aC2 a2&)x gq(ax G)(a2X C2)我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成，常數(shù)項(xiàng)c分解成C1C2，把a(bǔ)1,a2,G,C2寫成31 ° , a? C2這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2 a2G，如果它正好等于ax2 bx c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax bx c就可以分解成(x C1)(a2x q)，其中 位于上一行，a2,q位于下一行.這種借助畫十字交叉線分解

21、系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過屢次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解.【例10】把以下各式因式分解:2(1) 12x 5x 22 2 5x 6xy 8y32解: (1) 12x25x2(3x 2)(4 x 1)412212y(2) 5x6xy8y (x 2y)(5x 4y)54y說明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，假設(shè)原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法"湊"， 看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)， 否那么用加法'

22、;湊"， 先'湊'絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào).四、其它因式分解的方法1.配方法【例11】分解因式X 6x解：x2 6x 16 x22162 2 2 2x 3 3316 (x 3)5(x 3 5)( x 3 5) (x 8)(x 2)說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解當(dāng)然，此題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn).2.拆、添項(xiàng)法【例12】分解因式x3 3x24分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行.細(xì)查式中無一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0

23、了，可考慮通過添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決.解：32A.32x 3x 4 (x 1)(3x3)(x 1)(x2x1) 3(x1)(x 1) (x 1)(x2 x1)3(x 1)(x 1)( x2 4x4) (x1)(x 2)2說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件.此題還可以將3x2拆成x24y2，將多項(xiàng)式分成兩組(x3 x2)和 4x24 .一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照以下步驟進(jìn)行：(1)如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試

24、用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解；(4)分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述.元二次方程的根的判別式元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)，用配方法將其變形為:(x2ab2 4ac4a2(1)當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:b i b2 4acx :2a(2)當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，右端是

25、零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x,22a2因此，把b 4ac叫 當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)數(shù)根.由于可以用b2 4ac的取值情況來判定一元二次方程的根的情況.做一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的根的判別式，表示為：b2 4ac【例1】不解方程，判斷以下方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：(1)2x2 3x 10(2)4y22912y(3) 5(x3) 6x 0解:(1)( 3)24 21 10,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.原方程可化為：4y212y902丁(12)4 490,二原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.原方程可化為：5x26x150丁(6)24 5152640 ,原方程沒有

26、實(shí)數(shù)根.說明：在求判別式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式.【例2】關(guān)于x的一元二次方程3x2 2x k 0 ,根據(jù)以下條件，分別求出k的范圍:(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3) 方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無實(shí)數(shù)根.解：2(2)24 3 k 4 12k(1)4 12k10 k34112k0 k3(3)4 12k10 k3412k10 k3【例3】實(shí)數(shù)x、y滿足x2y2xy2xy10 ,試求x、y的值解：可以把所給方程看作為關(guān)于 x的方程，整理得：2 2x (y 2)x y y 10由于x是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：2 2 2(y 2)4(yy1)

27、3y 0y 0，代入原方程得：x2 2x10x1 .綜上知：x 1,y0一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系2一元二次方程ax bx c 0( a 0)的兩個(gè)根為:所以：捲X2b2ab vP4ac b yjb4acx,x2ab .b2 4ac b2aa '.b2 4ac ( b)2 ( .b2 4ac)2 4ac c2ab b2 4ac bx1 x222 一2a2a(2 a)24a2a定理：如果一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根為xj ,x2，那么：bcX-|x2,X1X2aa說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為'韋達(dá)

28、定理'.上述定理成立的前提是0 .【例4】假設(shè)x,x2是方程x2 2x 2007 0的兩個(gè)根，試求以下各式的值： | X1X2 I .2 2 11(1) x1x2 ；(2)；(3) (x5)(X25)；x-1x2再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算.這分析：此題假設(shè)直接用求根公式求出方程的兩根, 里，可以利用韋達(dá)定理來解答.解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1 x22,x1x220072 2(1)捲X2(X1x2)2 2x1x2(2)22( 2007)4018(X15)( x25) x,x25(x1 x2)2520075( 2)251972|X1X2 |(X1 X2)2 (X1 X2f 4

29、XX2(2)24( 2007)2 20224,502說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形:2X2X2(X1X2)2C11X1 X2/、2 /、2 ,2X1X2 , (X1 X2)(X1 X2)4X1X2 ,X1 X2X1 x2|X1X21.(X1X2)24%x2 , X22n2X2NX2(X1X2),33X2(為X2)33X1X2(X1 X2)等等.韋達(dá)定理表達(dá)了整體思想.11XiX2X-Ix2X-|X2200720071【例5】關(guān)于X的方程X2 (k 1)x -k2 1 0,根據(jù)以下條件，分別求出k的值.4(1)方程兩實(shí)根的積為 5; (2)方程的兩實(shí)根x1,x2滿足|為|

30、X 分析：由韋達(dá)定理即可求之；(2)有兩種可能，一是 x-i x2 0 ,二是 x1 x2 ,所以要分類討論.解：(1) T方程兩實(shí)根的積為 52 1 2 (k 1)24(： k2 1)4x,x2 Ik21524所以，當(dāng)k 4時(shí)，方程兩實(shí)根的積為 5.(2)由 | X1 | X2 得知：當(dāng)X10時(shí)，X1X2，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故30 k-2當(dāng)X10時(shí)，X1Xx-ix20 k 10k1，由于0k3故k1不合題意，舍去.2綜上可得，k 3時(shí)，方程的兩實(shí)根滿足|為| x2 .2說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足0 .k 10

31、的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1 X2)(x, 2x2)i成立？假設(shè)存在，求出k的值;【例6】x1, x?是一元二次方程4kx2 4kx假設(shè)不存在，請(qǐng)您說明理由.4k 0(4k)24 4k(k 1)16k0 k 0,X1 x2求使丄 2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù) k的整數(shù)值.X2X1解:3(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使(2x1 x2 )(x1 2x2)成立./ 一元二次方程4kx2 4kx k 10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(2x1 X2)(X1 2x2)4k不存在實(shí)數(shù)k,使(2x1%2)任2x2)3 成立X1X2X2X122為X2(X1X2 )24x1x2%x24kk 1要使其值是整數(shù)，只需k 1能被4整除

32、，故k 11, 2, 4 ,注意到k 0,又X|, x2是一元二次方程 4kx2 4kx k 10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x-ix21x1x22 2 22(X1X2 ) 5x1X2 2(x1 X2)9x1X29，但 k 0 5x1x2要使2 2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù) k的整數(shù)值為2, 3, 5 x2x1說明：(1)存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，假設(shè)能求出，那么 說明存在，否那么即不存在.4(2)此題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對(duì)為整數(shù)的分析方法.k 1第四講二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)y ax2 bx c (a 0)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要根底.在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)a 0時(shí),b4ac b2b函數(shù)在x亦處取得最小值，無最大值；當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)在x習(xí)處取得4ac b2最大值，無最小值.本節(jié)我們將在這個(gè)根底上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí) 函數(shù)的最值問題同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中的簡單應(yīng)用.【例1】當(dāng)2 x 2時(shí)，求函數(shù)y x22x 3的最大值和最小值.分析：作出函數(shù)及其對(duì)稱軸在所給