[推薦學(xué)習(xí)]高中數(shù)學(xué)第一章解三角形.應(yīng)用舉例..解決有關(guān)三角形計(jì)算的問題教案新人教A必修

1、生活的色彩就是學(xué)習(xí)1.2.4解決有關(guān)三角形計(jì)算的問題工程內(nèi)容課題 1.2.4解決有關(guān)三角形計(jì)算的問題修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問題;2.掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用二、過程與方法1.本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型;2.本節(jié)課的證明題表達(dá)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)三、情感態(tài)度與

2、價(jià)值觀1.讓學(xué)生進(jìn)一步穩(wěn)固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；2進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)成功的愉悅.教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目.教學(xué)難點(diǎn) 利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題.教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過程導(dǎo)入新課 設(shè)置情境師 以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式在ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為hA、hB、hC，那么它們?nèi)绾斡眠吅徒潜硎荆可鷋A=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=BsinA.師 根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式,應(yīng)用以上求出的

3、高的公式如hA=bsinC代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式：，大家能推出其他的幾個(gè)公式嗎？生 同理，可得,.師 除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？生 如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解.推進(jìn)新課【例1】 在ABC中，根據(jù)以下條件，求三角形的面積S精確到0.1 cm2.1A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5°2B=62.7°,C =65.8°,B =3.16 cm;3三邊的長分別為A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.師 這是一道在不同條件下求三角形的面

4、積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面積生口答，師書寫過程解：1應(yīng)用，得 S=×14.8×23.5×sin148.5°90.9(cm2).(2)根據(jù)正弦定理，,.A = 180°-(B + C)= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,4.0(cm2).(3)根據(jù)余弦定理的推論，得0.769 7,0.638 4,應(yīng)用得S=×41.4×38.7×0.638 4511.4(cm2

5、).生 正弦定理和余弦定理的運(yùn)用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會(huì)公式變形的技巧以及公式的常規(guī)變形方向，并進(jìn)一步推出新的三角形面積公式【例2】在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長分別為68 m,88 m,127 m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？精確到0.1 cm2？師 你能把這一實(shí)際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？生 此題可轉(zhuǎn)化為三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)解：設(shè)A=68 m,B=88 m,C=127m,根據(jù)余弦定理的推論，0.753 2,0.657 8,應(yīng)用S= acsi

6、nB,S=×68×127×0.657 82 840.38(m2).答：這個(gè)區(qū)域的面積是2 840.38 m2【例3】在ABC中，求證：1;2a2+b2+c2=2bccosA+cacosB+abcosC. 合作探究師 這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊有什么樣的特點(diǎn)?生等式左邊是三邊的平方關(guān)系，而等式的右邊是三個(gè)角的正弦的平方關(guān)系，可以聯(lián)想到用正弦定理來證明.師 等式兩邊分別是邊和角，所以我們可以選正弦定理來證明，這樣我們可以把一邊的邊或角都轉(zhuǎn)化成兩邊一樣的邊或角，即“化邊為角或“化角為邊，這也是我們在證明三角恒等式時(shí)經(jīng)常用的方法證明：1根

7、據(jù)正弦定理，可設(shè),顯然 k0，所以左邊=右邊.師 那對(duì)于第二小題又該怎么化呢？生 等式左邊仍然是三邊的平方關(guān)系，而等式的右邊既有角又有邊，而且是兩邊和兩邊夾角的余弦的積的關(guān)系，所以聯(lián)想到用余弦定理來證明.師 很好，哪位來板演一下？生 證明：2根據(jù)余弦定理的推論，右邊=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左邊.1.在ABC中，B=30°,B=6,C=6,求A及ABC的面積S.提示：解有關(guān)兩邊和其中一邊對(duì)角的問題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)同時(shí)解有關(guān)三角形的題目還要注意討論最終解是否符合規(guī)律，防止丟解或增解，養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣,但應(yīng)用余弦定理會(huì)免

8、去討論.答案：A=6,S=9;A=12,S=18.2.判斷滿足以下條件的三角形形狀，(1)acosA = bcosB;(2)sinC =.提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角或“化角為邊，正弦定理和余弦定理的運(yùn)用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會(huì)公式變形的技巧以及公式的常規(guī)變形方向.(1)師 大家嘗試分別用兩個(gè)定理進(jìn)行證明生余弦定理得,c2(a2-b2)=a4-b4=(a2+b2)(a2-b2).a2=b2或c2=a2+b2.根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形.生正弦定理得sinAcosA=sinBcosB.sin2A=sin2B.2A=2B.A=B.根據(jù)角的關(guān)系易得是等腰三角形

9、.師 根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請(qǐng)大家思考，誰的正確呢？生 第一位同學(xué)的正確第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因?yàn)閟in2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個(gè)角互補(bǔ)，即2A+2B=180°，A+B=90°.(2)解略直角三角形. 知識(shí)拓展如圖，在四邊形ABCD中，ADB=BCD=75°，ACB=BDC=45°，DC =，求：(1)AB的長;(2)四邊形ABCD的面積.略解：1因?yàn)锽CD=75°,ACB=45°，所以ACD=30°.又因?yàn)锽DC=45°，所以DAC=180°

10、;-75°+ 45°+ 30°=30°.所以AD=DC =.在BCD中，CBD=180°-75°+ 45°=60°，所以.在ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°= 5,所以,得AB=.(2)SABD=×AD×BD×sin75°=.同理，SBCD=.所以四邊形ABCD的面積.課堂練習(xí)課本第21頁練習(xí)第1、2題.課堂小結(jié)利用正弦定理或余弦定理將條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系

11、，從而確定三角形的形狀特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用正弦定理和余弦定理的運(yùn)用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會(huì)公式變形的技巧以及公式的常規(guī)變形方向，并進(jìn)一步推出新的三角形面積公式解有關(guān)兩邊和其中一邊對(duì)角的問題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)同時(shí)解有關(guān)三角形的題目還要注意討論最終解是否符合規(guī)律，防止丟解或增解，養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣布置作業(yè)課本第22頁習(xí)題1.2第12、14、15題.板書設(shè)計(jì)解決有關(guān)三角形計(jì)算的問題例1例2例3 變題1補(bǔ)充練習(xí): 變題2教學(xué)反思本節(jié)的例7和例8說明了在不同條件下三角形面積問題的常見解法，即在不同條件下求三角形面積的問題，與解三角形有密切的關(guān)系.我們可以應(yīng)用解三角形的知識(shí),求出需要的元素,從而求出三角