電磁學(xué)計(jì)算題

1、計(jì)算題1、一半徑為R的半圓細(xì)環(huán)上均勻地分布正電荷Q,求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。一 Q解：在弧線上取線兀 dl，其帶電量dq dl，可視為點(diǎn)電荷。因圓環(huán)上電荷對(duì)Y軸呈對(duì)nR稱分布，電場(chǎng)分布也是軸對(duì)稱的。則有：l dEx =0E0智 Qdl,而dl 二 RdrL4二；0 R2 二 R統(tǒng)一積分變量后，有：E _ 二 Q sin 記Q0 _ " 04二 2 ；0R2 _ _2二2 ；0r2方向沿Y軸負(fù)方向。2.如圖，用一均勻帶電的玻璃細(xì)棒，彎成直徑為 q = -5.6 10"8庫(kù)侖。求圓心 O處電場(chǎng)強(qiáng)度。2米的圓弧，兩端空隙d =0.5米，電量解：看作一個(gè)帶負(fù)電圓環(huán)和一帶正電的長(zhǎng)為O處的

2、場(chǎng)強(qiáng)為零。d的圓弧在 O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)之和，而帶電環(huán)在 d VV R可視為點(diǎn)電荷，設(shè)其電量為q ，則:q24 二；oR5.6 10$2 二 1-0.5 100.5 10= 0.45 10 40 庫(kù) E =9 109 0.45 10 “/12=0.4 (伏咪)3. 一半徑為R的帶電球，其電荷體密度為 p= P（1-；）， P為一常量，r為空間某點(diǎn)至球心的距離。試求：（1）球內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。（2） r為多大時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)最大？該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)Emax=?解:由咼斯定理II Es.送qdS =，選擇半徑為r的球面為高斯面(1)貝VE 二r2 =/ q1 r 2 ' q4二r dr$0% 0r - R 時(shí),

3、4R ；or - R 時(shí), dr 二R3 訂3.E -12 名°r-J匚(2) 由=0 得drR處E最大，且Emax31 - R9 ；0x=0)的長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒，每單位長(zhǎng)度的電荷分布為入=kx, k為常數(shù)，取無(wú)限遠(yuǎn)處電位為零，求y軸上點(diǎn)P (0,位。解：由點(diǎn)電荷電位公式及疊加原理：4、沿軸放置一端在原點(diǎn)(y)的電5、kxdxUp= 0224隔嚀y +xk4 二;0 0 y2xdxx2k ( 一 y2L2 -y)4 二；o長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓柱形電容器，半徑分別為Ri和R2,兩導(dǎo)體間充滿相對(duì)介電常數(shù)為均勻電介質(zhì)，沿軸線放一單位長(zhǎng)度上帶有正的自由電荷'的直導(dǎo)線。設(shè)L只2，試求:(1)介質(zhì)中的

4、D、E及兩導(dǎo)體間的電勢(shì)差U 。(2)電容器單位長(zhǎng)度的電容。解：(1 )介質(zhì)中的D、E及兩導(dǎo)體間的電勢(shì)差U :因?yàn)殡姾煞植季哂休S對(duì)稱性，因此電場(chǎng)也具有軸對(duì)稱性。由介質(zhì)中的高斯定理得:E二二？方向沿矢徑方向由電勢(shì)的定義U二k。R22二；0；rRi（2）由電容的定義 C=QL U，電容器單位長(zhǎng)度的電容：C二2R2In -Ri6、球形電容器由內(nèi)半徑為 R的導(dǎo)體球和外半徑為 R2 （ R2>R ）的導(dǎo)體球殼組成，電容器 內(nèi)部充滿均勻電介質(zhì)，其絕對(duì)介電常數(shù)為；設(shè)內(nèi)球帶電Q,外球帶電-Q,求：（1）兩球面之間距圓心為 r處的電場(chǎng)強(qiáng)度的大??；（2）此球形電容器的電容 C。（3 ）此球形電容器的靜電能 W

5、e。解：（1）使用高斯定理求解，需要作文字說(shuō)明（電場(chǎng)的分布，高斯面的選擇）2j：D.ds = D.4二 r =Q-sD> E4二 r2-1 Q _E2? 或者用文字說(shuō)明方向。4 二；（2）使用定義式求電容 C二Q/UQ11、 QR2 - R4聴IRR2丿4陽(yáng)R|R2R2 1-二 R Eg所以：C=Q/U =4 尺只2。R? R.1wJq2= -CU2 =丄4 腮 R,R2，Z Q& r/2 C2 2< R2 _ R1 丿(4殆R1R2 （3）電容器的靜電能為Q2 R - R8二；R1R27、圖中：；。=20V , ro = 1" , R1= 6",門=1

6、 'JIo = 1A , 2A。求：三 1、 N、Uab。解：Uab = ；o -lo(R1 r。)=20 _1 (6 1)=13(V)設(shè)1、 ；2方向如圖，11 =丨2-1。=1AR2= 4 1 ,2= 1 I 】,R3= 2 I 1 ,則 1 h(R2 j)二Uab ；2 '1 2 ( R3r2 ) = U ab；1 -(14) =13 ,；1=18 (V)22 (2 - 1) =13；2=7 (V)8、兩個(gè)電源向負(fù)載供電,1 = 220V, ；2 二 200V,R1 = R2 = 101, R3 = 451,忽略電源內(nèi)阻,如圖所示，求各支路上的電流。解：設(shè)各支路電流分別為

7、 I1 ,|2, I對(duì)于節(jié)點(diǎn)|1 I I對(duì)于回路色 _s= IR_ I2r2,=I2R2+I3r3工 |聯(lián)立求解得：h =3.1( A),丨2 =1.1( A),I3 =4.2(A)9、兩同軸銅質(zhì)圓柱套管，長(zhǎng)為 L,內(nèi)圓柱的半徑為 a，外圓柱半徑為b,兩圓柱間充以電阻 率為p的石墨，如圖所示，若從內(nèi)圓筒作為一電極，外圓筒作為另一電極，求石墨的電阻。解法1:由歐姆定律可求電阻。由于銅的電阻率非常小，兩個(gè)同軸銅管可以分別作為一個(gè)等K勢(shì)面，電流沿著徑向由一個(gè)圓筒流向另一個(gè)圓筒。根據(jù)對(duì)稱性，石墨中電流密度是軸距離r的函數(shù)，通過(guò)半徑為 r、長(zhǎng)度L的圓拄的電流：根據(jù)穩(wěn)恒電流的閉合性，通過(guò)各柱面的電流是相等

8、的，由此得:兩極間的電勢(shì)差為:弒鏟陰弐盞A于是電阻為：解法2：由電阻定律可求電阻。當(dāng)截面不均勻時(shí)有:所以內(nèi)外筒間的電阻為:10如圖所示，半徑為 r=0.1米的圓環(huán)，由長(zhǎng)為丨和21的兩段導(dǎo)線組成，兩段導(dǎo)線的截面積 分別等于2S和S。如果從無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線沿半徑方向通到環(huán)上的電流為1=5安，求圓環(huán)中心處的磁感強(qiáng)度。(已知 =4二10-7TM/A )21 12S解：設(shè)上下兩段的電流分別為|1, |2,電阻分別為R1, R2貝y, R1, R2 ：即 R二 4R?;得 411 二 12 = 4（A）；由畢奧-薩伐爾定律可得：上段導(dǎo)線在圓環(huán)中心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為：V方向?yàn)橹奔埫嫦蚶?；? 分）下段導(dǎo)線在圓環(huán)

9、中心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為:B2匹，方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲狻?r則圓環(huán)中心處的磁感強(qiáng)度B = B2 - B_!=3r= 4.2 10p）11、在半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)金屬圓柱內(nèi)部挖去一半徑為r的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體兩柱體軸線平行軸間距離a,今在此空心導(dǎo)體上通以電流I ,電流沿截面均勻分布，求此導(dǎo)體空心部分軸線上任何一點(diǎn)的Bo （題中各量均為國(guó)際單位）解：由迭加原理可知，空心部分軸線上任一點(diǎn) 0的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B等于 半徑為R的載流圓柱在 0點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B!與通反向電流半徑為r的圓柱在0點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B2的矢量和：B = Bi + B2由安培環(huán)路定理求 Bi , L為半徑等于a的圓:lB *dl =L B

10、ldl =gl Tia2Bi =也la2二（R2 -r2）Bi的方向：與I成右手螺旋關(guān)系由于對(duì)稱性分析其在 0產(chǎn)求B2 :以r為半徑的小圓柱體以相同電流密度反向通過(guò)其上時(shí)生的B2 = 0所以：B = Bi + B2 = Bi12、電纜由一導(dǎo)體圓柱和一同軸導(dǎo)體圓筒構(gòu)成，使用時(shí)電流I從一導(dǎo)體流去 ，從另一導(dǎo)體流回，電流都是均勻地分布在橫截面上，設(shè)圓柱的半徑為r1 ,圓筒的半徑分別為 Q和r3 （見(jiàn)圖），求磁感應(yīng)強(qiáng)度E的分布。解：據(jù)安培環(huán)路定理，當(dāng) r > g時(shí)，有：B2 n r = 0B = 0當(dāng)r2< r< g時(shí)，據(jù)安培環(huán)路定理有：-B dl 二 &(I - I )由于

11、內(nèi)圓柱與外圓筒電流流向相反，故：I12 nN -)Mr - r )2 2B2心 &0(| |) B-嚴(yán)(與二)d - j2 nr $ - r當(dāng) ri< r<2 時(shí)，據(jù)：: B dl - '' 0|B2 nr = &lB = ( & I)/(2 nr)當(dāng)0< r< ri時(shí)：j 二 I/( nr，)1 二 jiS 二(I nr2)/( nr，)-B dl二&丄&(I)/F 取L的環(huán)繞方向與I /成右手螺旋關(guān)系&IrB -,2 nriI，電流按橫截面均勻分布。（1）求13、如圖所示，半徑為 a的無(wú)限長(zhǎng)載流直圓柱通

12、有電流電流I所激發(fā)的磁場(chǎng)的空間分布；（2）有一個(gè)矩形面的尺寸為2a b，如圖，其一邊過(guò)圓柱的軸線00；求穿過(guò)該面的磁通量。解：（1）根據(jù)安培環(huán)路定理求解電流所激發(fā)的磁場(chǎng)的分布規(guī)律。當(dāng)r :a時(shí),I 2當(dāng)r a時(shí),Bd 二，得到：B2二r 二 廠r，解得 LaB dl f 二01，得到：B2二 r =亠01 ,解得 BL（2 ）求解該面的磁通要取豎向窄條，而且積分時(shí)要分成兩部分。_-a > I2a cl二 B ds0 2 r bdrbdrs0 2 二 a2a 2二 r%bla%bl 2a10 2 rdr0dr2 二 a2 02 二a r%bl d Ol1 2ln a4-：上式就是穿過(guò)該面的

13、磁通量。14、一具有動(dòng)能為K的電子束，從加速器管末端的“窗口”射出，另有一金屬極板與這窗 口的距離為d，并與電子束方向垂直，如圖所示，試證：如果在電子束前進(jìn)的路上施加一個(gè) 磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B _ （2mK/e2d2）1/2的磁場(chǎng)，電子束就打不到極板上（式中 m和e為電子的質(zhì)量和電荷），并在圖上標(biāo)明B的方向。解:（ 1）B的方向如圖所示（若B垂直紙面向外，回旋方向向上, 也對(duì)）（2） 只要電子在磁場(chǎng)中的圓周軌道半徑R滿足以下條件R乞d，則電子束打不到極板上。（3）設(shè)電子從窗口射出速度為 V，則有下式：B=mVeR所以B =(2mK 2/ e R代入條件R乞d 得15、設(shè)密繞長(zhǎng)直螺線管單位長(zhǎng)度的匝數(shù)

14、為n管內(nèi)充滿相對(duì)磁導(dǎo)率為卩r的磁介質(zhì)，導(dǎo)線中的電流為I，用安培環(huán)路定理計(jì)算載流長(zhǎng)直螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)。（已知管內(nèi)磁場(chǎng)均勻）解：根據(jù)對(duì)稱性分析，螺旋管內(nèi)為均勻場(chǎng)，方向沿軸向，外部磁感強(qiáng)度趨于零，因此可做右圖的矩形回路。根據(jù)安培環(huán)路定理：bcdefa "-B dl B dl B dl B dl B dl B dl B dlLab'cde- f即：B (ab) = m n(ab)IB 二 nl 二nl16、一無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線載有電流I，在它旁邊有一段直導(dǎo)線AB , AB與I垂直，并且在同一平面內(nèi)，以速度 v平行于電流I運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知 l=10A , v=5.0m/s, a=1.0c

15、m, b=20.0cm。求這段導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，哪端電勢(shì)高?解：根據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的定義b - anIV兀0 2-dBX-VBiA-電動(dòng)勢(shì)的萬(wàn)向?yàn)閂 B方向，即A端電勢(shì)高。17、如圖所示，一很長(zhǎng)的直導(dǎo)線載有交變電流i = 10 sin cot它旁邊有一長(zhǎng)方形線圈ABCD,長(zhǎng)為I,寬為(b-a),線圈和導(dǎo)線在同一平面內(nèi)，求 ：(1)穿過(guò)回路ABCD的磁通量 ；(2 )回路ABCD中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：由畢-薩定律知，直線電流i產(chǎn)生的磁場(chǎng)B為:(1)又d>B dS 二2xdSdS 二 Idx(2)由法拉第定律Joillnbdtdt 2 二In-)(i = I0sin t)18、一平行的金屬導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬桿，導(dǎo)軌間距為 L。一端用電阻R相R上所發(fā)出的焦耳熱。連接，均勻磁場(chǎng) B垂直于導(dǎo)軌所在平面(如圖所示)，若桿以初速度 V。向右滑動(dòng)，假定導(dǎo)軌是光滑的，忽略導(dǎo)軌的金屬桿的電阻，求：(1)金屬桿移動(dòng)的最大距離；(2)在這過(guò)程中電阻解(1)當(dāng)桿A、B以V。速度向右運(yùn)動(dòng)，要產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)， 由于它與電阻R組成閉合回路，有感應(yīng)電流，即：