時(shí)　余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時(shí)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)用“五點(diǎn)法”“圖象變換法”作余弦函數(shù)和yAcos(x)的圖象(重點(diǎn))2.理解余弦函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求余弦函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間及最值(重點(diǎn)、難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1余弦函數(shù)的圖象把正弦函數(shù)ysin x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度就得到余弦函數(shù)ycos x的圖象，該圖象叫做余弦曲線圖1­3­72余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)ycos x定義域R值域1,1奇偶性偶函數(shù)周期性以2k為周期(kZ，k0)，2為最小正周期單調(diào)性當(dāng)x2k，2k2(kZ)時(shí)，遞增；當(dāng)x2k，2k(kZ)時(shí)，遞減最大值與最小值當(dāng)x2k(

2、kZ)時(shí)，最大值為1；當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，最小值為13.余弦型函數(shù)yAcos(x)(xR)(其中A，為常數(shù)，且A0，0)的周期T.思考：在0,2上畫余弦函數(shù)圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是什么？提示畫余弦曲線的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是(0,1)，(，1)，(2，1)基礎(chǔ)自測(cè)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)余弦函數(shù)ycos x是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸有無數(shù)多條()(2)余弦函數(shù)ycos x的圖象是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形()(3)在區(qū)間0,3上，函數(shù)ycos x僅在x0時(shí)取得最大值1.()(4)函數(shù)ycos x在上是減函數(shù)()解析由余弦函數(shù)ycos x的圖象與性質(zhì)可知(1)(2)(

3、4)都正確，ycos x在x0,3上，在x0和x2時(shí)取最大值1，故(3)錯(cuò)誤答案(1)(2)(3)×(4)2用“五點(diǎn)法”作函數(shù)ycos 2x，xR的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()A0，2B0，C0，2，3，4 D0，B令2x0，和2，得x0，故選B.3使cos x1m有意義的m的值為()Am0 B0m2C1<m<1 Dm<1或m>1B1cos x1，11m1，解得0m2.故選B.4比較大?。?1)cos 15°_cos 35°；(2)cos_cos.解析(1)ycos x在0°，180°上為減函數(shù)，并且0

4、76;<15°<35°<180°，所以cos 15°>cos 35°.(2)coscos ，coscos ，并且ycos x在x0，上為減函數(shù)，又0<<<，cos >cos ，即cos<cos.答案(1)>(2)< 合 作 探 究·攻 重 難用“五點(diǎn)法”作余弦型函數(shù)的圖象用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y2cos x，x0,2的簡(jiǎn)圖思路探究在0,2上找出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，用平滑的曲線連接即可解列表：x02cos x101012cos x32123描點(diǎn)連線，如圖規(guī)律方法1“五點(diǎn)法”是作三角函

5、數(shù)圖象的常用方法，“五點(diǎn)”即函數(shù)圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)2列表、描點(diǎn)、連線是“五點(diǎn)法”作圖過程中的三個(gè)基本環(huán)節(jié)，注意用平滑的曲線連接五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y32cos x，x0,2的簡(jiǎn)圖解按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表、描點(diǎn)畫出圖象(如圖)x02cos x10101y32cos x13531求余弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)ycos的單調(diào)遞減區(qū)間思路探究本題中自變量的系數(shù)為負(fù)，故首先利用誘導(dǎo)公式，將ycos化為ycos形式，故只需求ycos的單調(diào)遞減區(qū)間即可解ycoscos，令zx，則ycos z，即2kz2k，kZ，2kx2k，kZ，2kx2k，kZ.故函數(shù)ycos的單調(diào)遞減區(qū)間為2k，

6、2k，kZ.規(guī)律方法1求形如yAcos(x)b(其中A0，>0，b為常數(shù))的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以借助于余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過解不等式求得2具體求解時(shí)注意兩點(diǎn)：要把x看作一個(gè)整體，若<0，先用誘導(dǎo)公式將式子變形，將x的系數(shù)化為正；在A>0，>0時(shí)，將“x”代入余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以解得與之單調(diào)性一致的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)A<0，>0時(shí)同樣方法可以求得與余弦函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)間跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)y2的單調(diào)遞增區(qū)間解y22.結(jié)合y|cos x|的圖象由kxk(kZ)得kxk(kZ)所以函數(shù)y2的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k(kZ)有關(guān)三角函數(shù)的最值問題已知函數(shù)y1abcos

7、 x的最大值是，最小值是，求函數(shù)y4asin 3bx的最大值思路探究欲求函數(shù)y的最大值，須先求出a，b，為此可利用函數(shù)y1的最大、最小值，結(jié)合分類討論求解解函數(shù)y1的最大值是，最小值是，當(dāng)b>0時(shí)，由題意得當(dāng)b<0時(shí)，由題意得因此y2sin 3x或y2sin 3x.函數(shù)的最大值均為2.規(guī)律方法1對(duì)于求形如yacos xb的函數(shù)值域問題，一般情況下只要注意到余弦函數(shù)的性質(zhì)“有界性”即可解決注意當(dāng)x有具體范圍限制時(shí)，需考慮cos x的范圍2求解此類問題時(shí)，要先求三角函數(shù)值的范圍，然后再根據(jù)其系數(shù)的正負(fù)性質(zhì)求解跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)ysin2xcos x的值域?yàn)開解析設(shè)cos xt，因?yàn)閤，則t

8、，所以y1cos2xcos x2，t，故當(dāng)t，即x±時(shí)，ymax；當(dāng)t1，即x0時(shí)，ymin1.所以函數(shù)的值域?yàn)?答案正、余弦函數(shù)的對(duì)稱性探究問題1觀察正弦曲線和余弦曲線的對(duì)稱性，你有何發(fā)現(xiàn)？提示正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形2正弦曲線、余弦曲線的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸分別是什么？提示正弦曲線的對(duì)稱中心坐標(biāo)為(k，0)，(kZ)，其對(duì)稱軸方程為xk，(kZ)余弦曲線的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，(kZ)，對(duì)稱軸方程為xk，(kZ)3如何求yAcos(x)的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸方程？提示只需令xk即可求得其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)令xk，可求得其對(duì)稱軸方程已知函數(shù)y2co

9、s.(1)在該函數(shù)的對(duì)稱軸中，求離y軸距離最近的那條對(duì)稱軸的方程；(2)把該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的最小正值解(1)令2xk，kZ，解得x(kZ)令k0，x；令k1，x.函數(shù)y2cos的對(duì)稱軸中離y軸最近的一條對(duì)稱軸的方程是x.(2)設(shè)該函數(shù)向右平移個(gè)單位后解析式為yf(x)，則f(x)2cos2cos.yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，f(0)2cos0.2k，kZ.解得(kZ)令k0，得.的最小正值是.規(guī)律方法關(guān)于正、余弦函數(shù)的對(duì)稱性有以下重要結(jié)論：(1)f(x)Asin(x)(或Acos(x)的圖象關(guān)于xx0對(duì)稱f(x0)A或A.(2)f(x)Asin(x

10、)(或Acos(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(x0，0)中心對(duì)稱f(x0)0.跟蹤訓(xùn)練4把函數(shù)ycos的圖象向右平移個(gè)單位，正好關(guān)于y軸對(duì)稱，求的最小正值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402024】解由題意平移后的函數(shù)為ycos，它是偶函數(shù)，因此，當(dāng)x0時(shí)，cos取得最大值1或最小值1，故2n或(2n1)(nZ)，即k(kZ)k(kZ)，當(dāng)k1時(shí)，取最小正值.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1函數(shù)ycos x與函數(shù)ycos x的圖象()A關(guān)于直線x1對(duì)稱B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C關(guān)于x軸對(duì)稱 D關(guān)于y軸對(duì)稱C作出函數(shù)ycos x與函數(shù)ycos x的簡(jiǎn)圖(略)，易知它們關(guān)于x軸對(duì)稱，故選C.2下列函數(shù)中，周期為的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos 4xDT，4.3函數(shù)ysin是()A奇函數(shù) B偶