數學蘇教版選修11作業(yè)242 拋物線的幾何性質

1、基礎達標1設拋物線y2mx的準線與直線x1的距離為3，則拋物線的方程為_解析：當m>0時，準線方程為x2，m8，此時拋物線方程為y28x；當m<0時，準線方程為x4，m16，此時拋物線方程為y216x.所求拋物線方程為y28x或y216x.答案：y28x或y216x2已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為_解析：設拋物線方程為y22px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy2p(x1x2)，即·(y1y2)2p2p1×4p2.故y24x.答案：y24x3設O是坐標原點，F是

2、拋物線y22px(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正向的夾角為60°，則|_.解析：如圖，過A作ADx軸于D. 在RtAFD中，AFD60°.令FDm，則FA2m.ADm.根據拋物線的定義可知pm2m.mp.| p.答案：p4若拋物線y22x上的一點M到坐標原點O的距離為，則M到該拋物線焦點的距離為_解析：依題意，設點M(x，y)，其中x>0，則有，由此解得x1，又該拋物線的準線方程為x，結合拋物線的定義，點M到該拋物線的焦點的距離等于1.答案：5直線yx3與拋物線y24x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQ

3、B的面積為_解析：直線yx3與拋物線y24x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，聯立方程組得，消元得x210x90，解得，和，AP10，BQ2，PQ8，梯形APQB的面積為48.答案：486. 如圖，圓形花壇水池中央有一噴泉，水管OP1 m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點后落下，若最高點距水面2 m，P距拋物線對稱軸1 m，則為使水不落到池外，水池直徑最小為_m.解析：如圖，建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x22py(p>0)，則P(1，1)，代入拋物線方程得p，拋物線x2y，代入點(x，2)，得x，即水池半徑最小為r(1)m，水池直徑最小為

4、2r(22)m.答案：227已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過點F且垂直于x軸，l與拋物線交于A、B兩點，O為坐標原點，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標準方程解：由題意，拋物線方程為y22px(p0)，焦點F，直線l：x，A、B兩點坐標為，AB2|p|.OAB的面積為4，··2|p|4，p±2.拋物線的標準方程為y2±4x.8. 如圖，過拋物線y2x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值證明：設kABk(k0)，直線AB，AC的傾斜角互補，kACk(k0)，直線AB的方程是yk(x4)2.

5、由方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解4·xB，即xB，以k代換xB中的k，得xC，kBC，直線BC的斜率為定值能力提升1等腰直角三角形OAB內接于拋物線y22px(p>0)，O是拋物線的頂點，OAOB，則OAB的面積為_解析：設等腰直角三角形OAB的頂點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y212px1，y222px2，由OAOB，則xyxy，xx2px12px20，即(x1x2)(x1x22p)0，x1>0，x2>0,2p>0，x1x2，即A、B關于x軸對稱故直線OA的方程為：

6、yxtan 45°，即yx.由，解得，(舍)或，故AB4p，等腰三角形OAB的面積為×2p×4p4p2.答案：4p22對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上；拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為(2,1)其中能得出拋物線方程為y210x的條件是_(要求填寫合適條件的序號)解析：在兩個條件中，應選擇，則由題意，可設拋物線方程為y22px(p>0)；對于，由焦半徑公式r16，p10，此時y220x，不符合條件；對于，2p5，此時y25x，不符合題意；對于，設焦點為，則

7、由題意，滿足·1.解得p5，此時y210x，所以能使拋物線方程為y210x.答案：3某河上有座拋物線形拱橋，當水面距頂5 m時，水面寬為8 m，一木船寬4 m高2 m，載貨后木船露在水面上的部分高為 m，問水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？解：如圖所示建立直角坐標系xOy，設拋物線方程為x22py(p>0)，過點(4，5)，162p(5)，2p，拋物線方程為x2y，x2時，y，相距為2時不能通行4(創(chuàng)新題)A，B為拋物線y22px(p>0)上兩點，O為原點，若OAOB，求證：直線AB過定點證明：設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y2px1，y2px2.因為OAOB，所以x1x2y1y20，則yy2px1·2px24p2x1x24p2y1y2，所以y1y24p2.因為yy(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，若x1x2，則，所以直線AB的方程為yy1(xx1)因為y2px1，所以yy