相似三角形中證明技巧

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形中的輔助線添加和相似三角形證明技巧在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：一、作平行線例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使ADAE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證： 證明：過點(diǎn)C作CG/FD交AB于G 小結(jié)：本題關(guān)鍵在于ADAE這個(gè)條件怎樣使用。由這道題還可以增加一種證明線段相等的方法：相似、成比例。例2. 如圖，ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點(diǎn)F

2、，證明：AB·DF=AC·EF。 分析：證明等積式問題常?；癁楸壤剑偻ㄟ^相似三角形對應(yīng)邊成比例來證明。不相似，因而要通過兩組三角形相似，運(yùn)用中間比代換得到，為構(gòu)造相似三角形，需添加平行線。 方法一：過E作EM/AB，交BC于點(diǎn)M，則EMCABC（兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似）。 方法二：如圖，過D作DN/EC交BC于N 二、作垂線3. 如圖從 ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：。證明：過B作BMAC于M，過D作DNAC于N （1） 又 （2） （1）+（2） 又 AN=CM 三、作延長線例5. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上

3、的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF解析：欲證式即 由“三點(diǎn)定形”，BFG與CFG會(huì)相似嗎？顯然不可能。（因?yàn)锽FG為Rt），但由E為CD的中點(diǎn)，可設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與BFG相似的三角形來求解。 不妨延長GF與AC的延長線交于H則 又ED=EC FG=FH 又易證RtCFHRtGFB FG·FH=CF·BF FG=FH FG2=CF·BF四、作中線例6 如圖，中，ABAC，AEBC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取BC的中點(diǎn)M，連AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC 又 DC=1 MC=B

4、C （1） 又 又 EC=1 （2） 由（1）（2）得， 小結(jié)：利用等腰三角形有公共底角，則這兩個(gè)三角形相似，取BC中點(diǎn)M，構(gòu)造與相似是解題關(guān)鍵練習(xí)題 1、在ABC中，D為AC上的一點(diǎn)，E為CB延長線上的一點(diǎn)，BE=AD，DE交AB于F。求證：EF×BC=AC×DF2、中，AC=BC，P是AB上一點(diǎn)，Q是PC上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），MN過Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求證：。例1： 已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D求證： BC22CD·AC 證法一（構(gòu)造2CD）：如圖，在AC截取DEDC，BDAC于D，BD是線段CE的垂直平分線，BC=BE，C=BE

5、C，又 ABAC，C=ABC BCEACB， BC22CD·AC證法二（構(gòu)造2AC）：如圖，在CA的延長線上截取AEAC，連結(jié)BE， ABAC， ABAC=AEEBC=90°，又BDACEBC=BDC=EDB=90°，E=DBC，EBCBDC即BC22CD·AC證法三（構(gòu)造） ：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則EC=又AB=AC，AEBC，ACE=CAEC=BDC=90°ACEBCD即BC22CD·AC證法四（構(gòu)造）：如圖，取BC中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則CE= BDAC，BE=EC=EB，EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDC

6、J即BC22CD·AC 例2已知梯形中，是腰上的一點(diǎn)，連結(jié)（1）如果，求的度數(shù)；（2）設(shè)和四邊形的面積分別為和，且，試求的值（1）設(shè)，則解法1如圖，延長、交于點(diǎn)， ，為的中點(diǎn)又 ，又 為等邊三角形 故 解法2如圖作分別交、于點(diǎn)、則，得平行四邊形同解法1可證得為等邊三角形故解法3如圖作交于，交的延長線于作，分別交、于點(diǎn)、則，得矩形 ，又 ，故為、的中點(diǎn)以下同解法1可得是等邊三角形故解法4如圖，作，交于，作，交于，得平行四邊形，且讀者可自行證得是等邊三角形，故解法5如圖延長、交于點(diǎn)，作，分別交、于點(diǎn)、，得平行四邊形可證得為的中點(diǎn)，則，故得為等邊三角形，故解法6如圖（補(bǔ)形法），讀者可自行證

7、明是等邊三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等）（2）設(shè)，則解法1（補(bǔ)形法）如圖補(bǔ)成平行四邊形，連結(jié)，則設(shè)，則，由得， ， 解法2（補(bǔ)形法）如圖，延長、交于點(diǎn)，又設(shè)，則，解法3（補(bǔ)形法）如圖連結(jié)，作交延長線于點(diǎn)連結(jié)則，故（1），故（2）由（1）、（2）兩式得即解法4（割補(bǔ)法）如圖連結(jié)與的中點(diǎn)并延長交延長線于點(diǎn)，如圖，過、分別作高、，則且，又，故說明 本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形. 例3如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，連E、F交AC于G求AG：AC的值 解法1： 延長FE交CB

8、的延長線于H， 四邊形ABCD是平行四邊形， ， H=AFE，DAB=HBE又AE=EB， AEFBEH，即AF=BH， ， ，即 ADCH，AGF=CGH，AFG=BHE， AFGCGH AG：GC=AF：CH， AG：GC=1：4， AG：AC=1：5解法2： 如圖42，延長EF與CD的延長線交于M，由平行四邊形ABCD可知，即ABMC， AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC ， AF：FD=1：2， AE：MD=1：2 AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4， AG：AC=1：5例4、如圖45，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=_.解析：取CF的中點(diǎn)G，連接BG

9、B為AC的中點(diǎn)， BG：AF=1：2，且BGAF，又E為BD的中點(diǎn)， F為DG的中點(diǎn) EF：BG=1：2故EF：AF=1：4， AF：AE=4：3例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長解法1： 過O點(diǎn)作OMCB交AB于M， O是AC中點(diǎn)，OMCB， M是AB的中點(diǎn)，即， OM是ABC的中位線，且OMBC，EFB=EOM，EBF=EMO BEFMOE，即，.解法2： 如圖4-8，延長EO與AD交于點(diǎn)G，則可得AOGCOF，  AG=FC=b-BF， BFAG，即， .解法3：

10、 延長EO與CD的延長線相交于N，則BEF與CNF的對應(yīng)邊成比例，即解得.例6、已知在ABC中，AD是BAC的平分線求證：分析1 比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問題，常應(yīng)注意平行線的作用，在沒有平行線時(shí)，可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生此題中AD為ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過定點(diǎn)作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段，再比較所證的比例式與這個(gè)比例式的關(guān)系，去探求問題的解決證法1： 如圖49，過C點(diǎn)作CEAD，交BA的延長線于E在BCE中， DACE， 又 CEAD， 1=3，2=4，且AD平分BAC， 1=2，于是3

11、=4， AC=AE代入式得分析2 由于BD、CD是點(diǎn)D分BC而得，故可過分點(diǎn)D作平行線證法2： 如圖410，過D作DEAC交AB于E，則2=3  1=2， 1=3于是EA=ED又， ， .分析3 欲證式子左邊為AB：AC，而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置證法3： 如圖411，過B作BEAC，交AD的延長線于E，則2=E  1=2， 1=E，AB=BE又， .分析4 由于AD是BAC的平分線，故可過D分別作AB、AC的平行線，構(gòu)造相似三角形求證證法4 如圖412，過D點(diǎn)作DEAC交AB于E，DFAB交AC于F 易證四邊形AED

12、F是菱形則 DE=DF由BDEDFC，得又 ， .一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則AGD 。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36°，BD是角平分線，求證：ABCBCD例3：已知，如圖，D為ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求證：DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上

13、截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：已知：如圖，在ABC中，BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DMBC于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)D。求證：（1）MA2=MDME；（2）例7：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：AEF=FBD例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線， 求證：SQAB，RPBC例10、已知A、C、E和B、F、D分別是O的兩邊上的點(diǎn)，且ABED，B

14、CFE，求證：AFCD例11、直角三角形ABC中，ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)GAC交AB于G，求證：FC=FG例12、RtABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF1、 判定相似三角形的基本思路:1. 找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系：兩個(gè)三角形的三個(gè)對應(yīng)頂點(diǎn)、三個(gè)對應(yīng)角、三條對應(yīng)邊不能隨便寫，一般說來，相等的角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角。2. 記住五個(gè)判定定理：判定相似三角形依據(jù)是五個(gè)定理，即預(yù)備定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。2、 相似形的應(yīng)用：1. 證比例式；2.

15、證等積式；3. 證直線平行；4. 證直線垂直；5. 證面積相等；3、 經(jīng)典例題：例1.如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC延長線上任意一點(diǎn)，連接DE與AB交于F，與過A平行于BC的直線交于G。求證：.變式1：如圖，在ABC中，與互余，CDAB，DE/BC，交AC于點(diǎn)E，求證：AD:AC=CE:BD.例2：如圖：已知梯形ABCD中，AD/BC，且BDCD于D。求證：；例3.如圖，在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，DMBC交BA的延長線于D，交AC于E。求證：例4.已知：在ABC中，AD是的平分線，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在AD的延長線上，且求證：BE/FC。例5.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為

16、AB、AC上一點(diǎn)，切BE=BF，BPCE，垂足為P。 求證：PDPF.例6.在ABC的中線AD,BE相交于G。求證：AGB的面積等于四邊形CEGD。ABCD1.如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，連接（1）要使，還需要補(bǔ)充一個(gè)條件是 （只要求填一個(gè)）（2）若，且，求的長2. 如圖，在平行四邊形ABCD中，R在BC的延長線上，AR交CD于Q，若DQCQ43，求AQQR的值。 3.如圖，梯形中，且，分別是，的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)（1）求證：；（2）若，求4.如圖，ABC中AB=BD，AD為中線，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)。求證：（1） ABECBE； （2）求證：AC=2AE5. 如圖，點(diǎn)，分別在的邊，上，四邊形是等腰梯形

17、，與交于點(diǎn)，且（1）試問：成立嗎？說明理由；（2）若，求證：是等腰三角形6、已知：如圖，AD是ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長線于點(diǎn)F,求證：7、已知：如圖，四邊形ABCD中，A=BCD=900,過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點(diǎn)E、F。求證：8、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AEBC于E，AFCD于F.(1)ABE與ADF相似嗎？說明理由.(2)AEF與ABC相似嗎？說說你的理由.9、已知：A=60°，BD、CE是ABC的高。（1）ADE與ABC相似嗎？說明理由。（2）圖中共有幾對相似三角形？思考：去掉A=60°條件以上結(jié)論還成立嗎？10.M為線

18、段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于C，DME=A=B=，且DM交AC于F，ME交BC于G。（1）寫出圖中相似三角形；（2）連接FG，若=45°，AB=，AF=3，求FG的長。1、如圖，ABC中，三條內(nèi)角平分線交于D，過D作AD垂線，分別交AB、AC于M、N，請寫出圖中相似的三角形，并說明其中兩對相似的正確性。2、如圖，AD為ABC的高，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F，試判斷ADF與AEF的大小，并說明明理由，3、如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，且CAD=ADE=B，AC：BC=1：2，設(shè)EBD、ADC、ABC的周長分別為m1 、m2、m3，求的值，4、如圖，已知ABC中

19、，D為BC中點(diǎn)，AD=AC，DEBC，DE與AB交于E，EC與AD相交于點(diǎn)F，（1）ABC與FCD相似嗎？請說明理由；（2）若S =5，BD=10，求DE的長。6、已知:如圖，在PAB中,APB=120O,M、N是AB上兩點(diǎn)，且PMN是等邊三角形。求證: BM·PA=PN·BP7、已知：如圖，D是ABC的邊AC上一點(diǎn)，且CD=2AD，AEBC于E, 若BC=13, BDC的面積是39, 求AE的長。     8、已知：如圖，在ABC中，AB=15，AC=12，AD是BAC的外角平分線且AD交BC的延長線于點(diǎn)D，DEAB交AC

20、的延長線于點(diǎn)E。9、已知: 如圖，四邊形ABCD中，CBBA于B，DABA于A，BC=2AD，DECD交AB于E，連結(jié)CE，求證：DE2=AECE10、如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DFAE于F.(1)ABE與ADF相似嗎？請說明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的長.11、如圖：三角形ABC是一快銳角三角形余料，邊BC120mm,高AD 80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長是多少？12、已知：如圖：FGHI為矩形，ADBC于D，BC36cm,AD12cm 。求：矩形FGNI的周長。13、已知:

21、如圖,DEBC,AFFB=AGGE。求證:AFGAED。14、己知:如圖,ABCD,AF=FB,CE=EB. 求證:GC2=GF·GD.15、如圖,在正方形ABCD中,E是CD的中點(diǎn),EFAE. 求證:AE2=AD×AF.提示：延長AE、BC交于G，先證ADEGCE，GCEAEF16、如圖,ADC=ACB=900,1=B,AC=5,AB=6,求AD的長17、如圖,正方形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),DMCE,AB=6,求DM的長。18、己知:如圖,AD是ABC的角平分線,EF垂直平分AD交BC的延長線于F.求證:FD2=FB·FC. 提示:連結(jié)AF19、已知:如圖,

22、ABC中,ACB=900,F為AB的中點(diǎn),EFAB.求證:CDFECF.20、已知:如圖,ABC中,CEAB,BFAC.求證:AEFACB.21、已知:如圖,DEBC,AD2=AF·AB。求證:AEFACD。22、已知:如圖,ABC中,ACB=900,CDAB,DEBC,AC=6,DE=4,求CD和AB的長23、已知:如圖,ABC中,ABC=2C,BD平分ABC.求證:AB·BC=AC·CD.24、已知:如圖,CE是RtABC的斜邊AB上的高,BGAP. 求證:CE2=ED·EP.25、已知:如圖,ABC中,AD=DB,1=2.求證:ABCEAD.26、

23、已知:如圖,1=2,3=4. 求證:DBEABC.27、如圖，B=900，AB=BE=EF=FC=1。求證：AEFCEA.28、如圖，在梯形ABCD中，ABBC，BAD=90°，對角線BDDC。 （1）ABD與DCB相似嗎？請說明理由。 （2）如果AD=4，BC=9，求BD的長。29、已知，如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，ADQ與QCP是否相似？為什么？30、已知：如圖所示，D是AC上一點(diǎn)，BE/AC，BE=AD，AE分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，1=2。則BF是FG、EF的比例中項(xiàng)嗎？請說明理由31、如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，B

24、AC的平分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，AC·AE=AF·AB嗎？說明理由。32、如圖，AD是RtABC斜邊BC上的高，DEDF，且DE和DF分別交AB、45°AEFBC33、如圖,已知ABC中，ACB=90°，AC=BC,點(diǎn)E、F在AB上,ECF=45°.（1）求證:ACFBEC；（2）設(shè)ABC的面積為S，求證:AF·BE=2S.ACEFDB34、如圖，在ABCD中,過點(diǎn)B作BECD,垂足為E,連結(jié)AE,F為AE上一點(diǎn),且BFE=C.（1）求證:ABFEAD；（2）若AB=4,BAE=30°，求AE的長；（3）在（1）（2

25、）的條件下,若AD=3,求BF的長.AFEMCDGB第5題圖35、將正方形ABCD折疊,使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合,折線交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC交于點(diǎn)G,（1）如果M為CD的中點(diǎn),求證:DEDMEM=345.（2）如果M為CD上任一點(diǎn),設(shè)AB=2a，問CMG的周長是否與點(diǎn)M的位置有關(guān)?若有關(guān),請把CMG的周長用含DM的長x（即DM=x）的代數(shù)式表示；若無關(guān),請說明理由.ADCM圖BADC圖B36、某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元,計(jì)劃在一塊上、下底分別為10米,20米的梯形空地上種植花木如圖，（1）他們在AMD和BMC地帶上種植太陽花,單價(jià)為8元/，當(dāng)AMD地帶種滿花后（

26、圖中陰影部分）共花了160元,請計(jì)算種滿BMC地帶所需費(fèi)用.（2）若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉兩種花木可供選擇,單價(jià)分別為12元/和10元/，應(yīng)選擇哪種花木,剛好用完所籌集的資金.（3）若梯形ABCD為等腰梯形,面積不變（如圖）請你設(shè)計(jì)一種花壇圖案,即在梯形內(nèi)找到一點(diǎn)P,使得APBDPC,且SAPD=SBPC，并說明你的理由.37、如圖,正方形ABCD的邊長為2,AE=EB,MN=1,線段MN的兩端在BC、CD上,若AED與以M、N、C為頂點(diǎn)的三角形相似,求CM的長.BCDMNEAAPQBCMAPQBC38、如圖,已知ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQAB,P點(diǎn)在AC上（與A、C不重

27、合），Q在BC上.（1）當(dāng)PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí),求CP的長.（2）當(dāng)PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時(shí),求CP的長.（3）試問:在AB上是否存在一點(diǎn)M,使得PQM為等腰直角三角形,若不存在,請簡要說明理由；若存在,請求出PQ的長.40、如圖,在ABC中,AB=AC,ADBC,DEAC,M為DE的中點(diǎn),AM與BE相交于N,AD與BE相交于F.ADBFENMC求證:（1）=；（2）BCEADM；（3）AM與BE互相垂直.AQPDCB41、如圖,在矩形ABCD中,AB=12，BC=6,點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1/s的速度

28、移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā),用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0t6）,那么（1）當(dāng)t為何值時(shí),QAP為等腰直角三角形；（2）求四邊形QAPC的面積,提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似?ADCEB42、如圖,已知點(diǎn)E是四邊形ABCD的對角線BD上一點(diǎn),且BAC=BDC=DAE.（1）求證:BE·AD=CD·AE；（2）根據(jù)圖形特點(diǎn),猜想可能等于哪兩條線段的比（只需寫出圖形中已有線段的一組比即可），并證明你的結(jié)論.ABCEDMHK43、如圖,在RtABC中,ACB=90°,CDAB,M是CD上的點(diǎn),DHBM于H,DH的延

29、長線交AC的延長線于E.求證:（1）AEDCBM；（2）AE·CM=AC·CD.44、如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,D為CB延長線上一點(diǎn),E為BC延長線上點(diǎn),且滿足AB2=DB·CE.（1）求證:ADBEAC；（2）若BAC=40°，求DAE的度數(shù)ABCEDABPDQC45、如圖,P為正方形ABCD的邊BC上的點(diǎn),BP=3PC,Q是CD中點(diǎn),（1）求證:ADQQCP；（2）在現(xiàn)在的條件下,請?jiān)賹懗鲆粋€(gè)正確結(jié)論.46、如圖,在ABC中,BAC=90°D為BC的中點(diǎn),AEAD,AE交CB的延長線于點(diǎn)E.（1）求證:EABECA；（2）ABE

30、和ADC是否一定相似?如果相似,加以說明,如果不相似,那么增加一個(gè)怎樣的條件, ABE和ADC一定相似.ABDEC47、已知,如圖,在ABC中,D是BC的中點(diǎn),且AD=AC,DEBC交AB于點(diǎn)E,ABDECFEC與AD相交于點(diǎn)F.（1）求證:ABCFCD；（2）若SFCD=5,BC=10,求DE的長.48、已知,梯形ABCD中,ADBC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.（1）P為AD上一點(diǎn),滿足BPC=A,求證:ABPDPC；（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足BPE=A,BCDAPEQPE交直線BC于點(diǎn)E,同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q,那么,當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí),設(shè)AP=x，CQ=y，求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.BCDAPAQBEPFC49、已知,如圖,等邊三角形ABC中,AB=2,點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,但不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PEBC于E,過點(diǎn)E作EFAC于F,過點(diǎn)F作FQAB于點(diǎn)Q,設(shè)BP=x，AQ=y.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（2）當(dāng)BP的長等于多少時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；（3）當(dāng)線段PE、FQ相交時(shí),寫出線段PE、EF、FQ所圍成三角形的周長的取值范圍.