線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)

1、 矩陣矩陣 矩陣是線性代數(shù)的核心，矩陣的概念、運(yùn)算及理論貫穿線性代數(shù)的始終，對(duì)矩陣的理解與掌握要扎實(shí)深入。 理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，以及它們的性質(zhì)。掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。正確理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，正確理解矩陣的秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。了解分塊矩陣及其運(yùn)算。必須會(huì)解矩陣方程?？倧?fù)習(xí)總復(fù)習(xí)概念特殊矩陣 mn個(gè)數(shù)a

2、ij (i = 1,2,m ; j =1,2,n) 構(gòu)成的數(shù)表單位矩陣: 主對(duì)角線元素都是1,其余元素都是零的 n 階方陣 E對(duì)角矩陣:主對(duì)角元素是 其余元素都是零的n階方陣 對(duì)稱矩陣:一、矩陣主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖一、矩陣主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖12n, ，AT = A反對(duì)稱矩陣: AT = A矩陣運(yùn)算A+B = ( aij + bij)kA= ( kaij )AB = C 其中其中A與B同型的第 i 行是 A 的第 i 列.|A|= detA , A必須是方陣.伴隨矩陣 n 階行列式的 |A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣1nijikkj ,mssnmnkcabA, B,C AT: AT1121112222

3、12nnnnnnAAAAAAAAA A 逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆， B是A的逆矩陣.用定義用伴隨矩陣分塊對(duì)角矩陣|A| 0 , A可逆 .|A| = 0 , A不可逆 .AB = E , A與B互逆.反證法.11AAA 1110000AABB 1110000ABBA 二、重要定理二、重要定理1、設(shè)A、B是n階矩陣，則|AB|=|A|B|。2、若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣惟一。3、n階矩陣A可逆 |A| 0 R(A)=n A為滿秩矩陣。 4、若AB = E( 或BA =E ), 則B = A-1 。5、若A為對(duì)稱矩陣，則AT A 。6、若A為反對(duì)稱矩陣，則ATA 。三、重要

4、公式、法則三、重要公式、法則。1、矩陣的加法與數(shù)乘 A + B = B + A ; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。2、矩陣的乘法(AB)C = A ( BC ) ; (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (3) (kA)(lB) = (kl)AB; (4) AO =OA = O.3、矩陣的轉(zhuǎn)置(AT

5、)T = A; (2) (A+B)T = AT+BT;(3)(kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT.4、矩陣的逆(A-1)-1 = A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1 ;(3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T .5、伴隨矩陣 AA* = A*A = |A|E ; (2) (kA)* =kn-1A* ;(3) (A*)-1 = (A-1)*= |A|-1A; (4) (AT)* = (A*)T .6、n階方陣的行列式|AT| = |A|; (2) |kA| = kn|A| ;(3) |AB| = |A|B| ; (4) |A

6、-1| = |A|-1 ;(5) |A*| = |A|n-1 .四、典型例題四、典型例題1、方陣的冪運(yùn)算2、求逆矩陣3、解矩陣方程4、A*題 方陣的行列式方陣的行列式 行列式是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，在代數(shù)學(xué)中有較多的應(yīng)用。 應(yīng)當(dāng)在正確理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練地計(jì)算3階、4階行列式，也要會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式。還要會(huì)運(yùn)用行列式求解n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的n元一次線性方程組。 計(jì)算行列式的基本方法是用按行（列）展開(kāi)定理，通過(guò)降階來(lái)實(shí)現(xiàn)，但在展開(kāi)之前往往先運(yùn)用行列式的性質(zhì)，對(duì)行列式作恒等變形，以期有較多零或公因式，這樣可簡(jiǎn)化計(jì)算。要熟練運(yùn)用計(jì)算行列式的典型的計(jì)算方法和計(jì)算技巧。一

7、、行列式主要知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖一、行列式主要知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般項(xiàng)是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和. D = DT互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)。某行有公因子可以提到行列式的外面。若行列式中某一行(列)的所有元素均為兩元素之和，則 該行列式可拆成兩個(gè)行列式.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。行列式知識(shí)點(diǎn)性質(zhì)nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212222111211) 1(展開(kāi)計(jì)算行展開(kāi)列展開(kāi)10nkikjkDija Aij10nikjkkDija Aij定義法遞推法加邊法數(shù)學(xué)歸納法公式法拆項(xiàng)法乘積法齊次線性方程組有非零解的充要條件克

8、拉默法則應(yīng)用二、主要定理二、主要定理1、行列式的展開(kāi)定理。111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa= ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i= 1,2,n )= a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj2、行列式展開(kāi)定理的推論。 ai1 Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 ( i j ) a1jA1k+ a2jA2k + + anjAnk = 0 ( j k ) 3、非齊次線性方程組克拉默法則。11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xb a xa xa xb其中D

9、j ( j = 1,2,n )是把系數(shù)行列式D 中的第j 列的元素用方程組的常數(shù)項(xiàng)替換后得到的n階行列式。1212,nnDDDxx x = .DDD的系數(shù)行列式D 0 ， 原方程組有惟一解11 1122121 122221 1220,0,00,nnnnnnnnna xa xa xa xa xa x a xa xa xD的系數(shù)行列式則方程組沒(méi)有非零解。4、齊次線性方程組的克拉默法則。 若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。三、重要公式三、重要公式121 21;、對(duì)角行列式nn D= 1(1)221 2( 1).n nnn D= 111211122221221211222000000.

10、nnnnnnnnnn aaaaaaaa D=aaaa = a aa、上、下三角行列式。1111212122122111(1)21211000000( 1).nnnnnnnnnnn nnnnaaaaaaaa D=aaaa = a aa300ABAA BBm n D=、設(shè) 是階方陣， 是 階方陣，則；0( 1)0AA BB mn D=。12222121111124111()nnijn ijn-n-n-n xxx xxxxxxxx 、范德蒙得行列式。四、典型例題四、典型例題1、34階的行列式2、簡(jiǎn)單的n階行列式3、用公式 可逆矩陣與初等變換可逆矩陣與初等變換 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算

11、，他在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸计鸬搅耸种匾淖饔谩?熟練掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和等價(jià)矩陣的概念，理解矩陣秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解齊次線性方程組有非零解充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。深刻理解線性方程組通解的概念，掌握用初等變換求解線性方程組的方法。矩陣的初等變換與線性方程組 矩陣的初等變換初 等 方 陣矩 陣 的 秩線 性 方 程 組概 念1.對(duì)換矩陣的i, j兩行（列）.2.用k0乘矩陣的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去.性 質(zhì)1.初等變換不改變矩陣的秩.2.對(duì)A經(jīng)過(guò)有

12、限次初等變換得到B，則A等價(jià)B. 用 途求逆， 11AEEAAEEA列行求矩陣A的秩、最簡(jiǎn)型、標(biāo)準(zhǔn)形.求線性方程組的解.性 質(zhì)初等方陣都是可逆矩陣，其逆仍然是同種的初等矩陣.對(duì)Amn矩陣實(shí)施一次行初等變換，相當(dāng)于對(duì)A左乘一個(gè)相應(yīng)的 m 階初等方陣；對(duì)A實(shí)施一次列初等變換，相當(dāng)于對(duì)A右乘一個(gè)相應(yīng)的 n 階初等方陣.任何可逆矩陣都可以表為若干個(gè)初等方陣的乘積.概 念對(duì)單位矩陣實(shí)施一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等方陣. 概 念k階子式.秩：矩陣非零子式的最高階數(shù). 性 質(zhì)零矩陣的秩為零.r(A)=r(AT)若B可逆，則r(AB)=r(A).r(A+B) r(A)+r(B

13、)r(AB) minr(A), r(B)r(AB) r(A)+r(B)n若AB=0, 則r(A)+r(B) nAxOAx O 有非零解 r(A)n.求 解1.化系數(shù)矩陣為最簡(jiǎn)形.2.找等價(jià)的方程組.3.寫(xiě)通解.bAx bAx 有解 r(A)=r(B).求 解1.把增廣矩陣B化為最簡(jiǎn)形.2. 找等價(jià)的方程組.3.寫(xiě)通解.二、重要定理二、重要定理1、若A 與B等價(jià)，則r(A) = r(B). 2、初等矩陣左（右）乘矩陣A，其結(jié)果就相當(dāng)于對(duì)A作相應(yīng)的初等行（列）變換。 3、初等方陣均可逆，且其逆仍是同種的初等方陣。 4、若A 與B等價(jià)，則存在可逆矩陣P和Q,使PAQ = B.5、若A可逆，則存在有限

14、個(gè)初等方陣P1,P2,Pl,使 A P1P2Pl 。 6、n 元齊次線性方程組Amnx = 0 有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩r(A) n 。 7、n 元非齊次線性方程組Amnx = b 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩r(A) 等于增廣矩陣r(A，b) 的秩。三、重要公式三、重要公式1、矩陣的秩 r(A) = r(AT) ; r(A+B) r(A) + r(B) r(AB) min r(A) r(B) 若P、 Q可逆，則r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)= r(A) r(A), k 0 , (5) r(kA) = 0 , k = 0; A 0(6) r = r(A) + r(

15、B)。(1) 0 B2、用初等變換求逆1()AEEA行變換（）3、用初等行變換求A-1B1AB EA B行變換1AEEA列變換1AECCA列變換四、典型例題四、典型例題1、用初等變換求逆和求秩。2、用初等變換求解線性方程組。3、用初等變換求A-1B。 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 向量組的線性相關(guān)性是代數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的概念，對(duì)討論線性方程組解的存在性和解的結(jié)構(gòu)起到了至關(guān)重要的作用。 本章要求理解向量的線性組合和線性表示的概念，深刻理解向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義，會(huì)用向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。了解向量組的極大無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩

16、。了解向量組等價(jià)的概念，以及向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。了解n 維向量空間、子空間、基、維數(shù)、坐標(biāo)等概念。掌握線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，正確理解非齊次線性方程組和它所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解之間的關(guān)系，深刻理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解、解空間的概念，熟練求解線性方程組的通解。一、向量組的線性相關(guān)性主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖一、向量組的線性相關(guān)性主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖向量組的線性相關(guān)性n維向量運(yùn)算線性表示概念判定線性相關(guān)概念判定線性無(wú)關(guān)概念判定充要條件充分條件充要條件充分條件極大無(wú)關(guān)組概念求法向量空間概念向量空間的基線性方程組Ax = 0初 等行變換階梯形有解判定總 有 解r(A)r(B)無(wú)解 r(A)=r(B

17、)有解r(A)=n僅有零解r(A) 0 （2）用順序主子式全大于零； （3）用n個(gè)特征值全大于零； （4）用正慣性指數(shù)p = n； （5）存在可逆矩陣C，使A = CTC 。三、典型例題三、典型例題1、求方陣的特征值、特征向量。2、方陣對(duì)角化。3、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。4、二次型及矩陣正定性的判定。 線性空間線性空間 線性空間是線性代數(shù)中比較抽象的部分。概念的抽象性、理論的概括性固然增加了學(xué)習(xí)的難度，但是，只要掌握了抽象思維與論證的規(guī)律，我們就可以在更高的視點(diǎn)上觀察并解決某些理論與實(shí)際方面的問(wèn)題。 它研究的內(nèi)容包括數(shù)及其運(yùn)算、多項(xiàng)式及其運(yùn)算、矩陣（向量）及其運(yùn)算等。研究的方法是針對(duì)每一種具體對(duì)象探

18、索它們運(yùn)算所滿足的各種性質(zhì)，并用以解決本系統(tǒng)內(nèi)的相應(yīng)問(wèn)題。線性空間線性空間基本性質(zhì)基本性質(zhì)子空間子空間一、主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖一、主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖集合、數(shù)域、運(yùn)算律集合、數(shù)域、運(yùn)算律常用結(jié)論常用結(jié)論基底基底維數(shù)維數(shù)基向量的個(gè)數(shù)基向量的個(gè)數(shù)基不惟一基不惟一n維空間維空間中任意中任意n個(gè)線性無(wú)個(gè)線性無(wú)關(guān)向量。關(guān)向量。L(1 1，2 2，, ,s)=1siiik 定義定義坐標(biāo)與坐標(biāo)變換坐標(biāo)與坐標(biāo)變換坐標(biāo)定義坐標(biāo)定義向量與其坐標(biāo)向量與其坐標(biāo)過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式1212( ,)( ,) .Ann A保持加法數(shù)乘關(guān)系保持加法數(shù)乘關(guān)系保持線性相關(guān)保持線性相關(guān)（或無(wú)關(guān)）的一致性（或無(wú)關(guān)）的一致性

19、設(shè)V是一個(gè)非空集合,F是一個(gè)數(shù)域.如果能定義一種V的元素間的運(yùn)算,叫做加法加法:對(duì)于V中任意兩個(gè)元素, ,都有V中惟一的元素 之對(duì)應(yīng); 稱為 與 的和和,記為 = + .另外,還能定義一種數(shù)域F的數(shù)與集合V的元素間的運(yùn)算,叫做數(shù)乘數(shù)乘: :對(duì)于數(shù)域F中任一數(shù)k及集合V中任一元素 ,都有V中惟一的元素與之對(duì)應(yīng); 稱為k與的數(shù)積數(shù)積,記為= k.并且,集合V在以上兩種運(yùn)算下具有如下性質(zhì):對(duì)于任意, , V 及 k,l F,1) + = + ; 2)( + )+ = +( + );3)V中存在零元素零元素,通常記為0,對(duì)于任何,恒有 +0= ;4) 對(duì)于V,都有的負(fù)元素負(fù)元素V,使+ =0; 5) l = ;6) k(l)=(kl ) (式中是通常的數(shù)的乘法) ; 7)(k + l) = k + l (式中是通常的數(shù)的乘法) ;8) k( + )= k + k ;則稱V為數(shù)域F上的一個(gè)線性空間線性空間.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 線性空間的基本性質(zhì)線性空間的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 線性空間的零元素惟一。 性質(zhì)性質(zhì)2 線性空間中任一元素的負(fù)元素惟一。 性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，則對(duì)任何 V及k F ，總有：（i）0 =0； （ii） k0 =0； (iii)當(dāng)k0且 0時(shí)，定有k 0 . 性質(zhì)性質(zhì)4 設(shè)V 數(shù)域F上的線性空間，則對(duì)任何kF及V， 總有()()(). kk