等腰三角形提高知識(shí)講解

1、等腰三角形（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個(gè)角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直2. 掌握等腰三角形，等邊三角形的判定定理3. 熟練運(yùn)用等腰三角形，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計(jì)算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形1.等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中，ABAC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B、C是底角要點(diǎn)詮釋：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為

2、鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.A1802B，BC .2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）3.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等4.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸5.等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證

3、明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.要點(diǎn)二、等邊三角形1.等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形也就是說等腰三角形包括等邊三角形2.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60.3.等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形【典型例題】類型一、等腰三角形中的分類討論1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則頂角的度數(shù)

4、為( ) A60 B120 C60或150 D60或120【答案】D；【解析】由等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角，然而題目沒說是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答(1)頂角為銳角如圖，按題意頂角的度數(shù)為60； (2)頂角為直角，一腰上的高是另一腰，夾角為0不符合題意； (3)頂角為鈍角如圖，則頂角度數(shù)為120，故此題應(yīng)選D【總結(jié)升華】這是等腰三角形按頂角分類問題，對(duì)于等腰三角形按頂角分：等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形，故解此題按分類畫出相應(yīng)的圖形再作答.舉一反三：【變式】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為13，一邊長(zhǎng)為3，求其余各邊【答

5、案】 解：(1)3為腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)也為3，底邊長(zhǎng)13337； (2)3為底邊長(zhǎng)時(shí)，則兩個(gè)腰長(zhǎng)的和13310，則一腰長(zhǎng) 這樣得兩組：3，3，7 5，5，3 而由構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：337，故不能組成三角形，應(yīng)舍去 等腰三角形的周長(zhǎng)為13，一邊長(zhǎng)為3，其余各邊長(zhǎng)為5，5類型二、等腰三角形的操作題2、根據(jù)給出的下列兩種情況，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把ABC恰好分割成兩個(gè)等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡，在圖中標(biāo)注分割后的角度）；并根據(jù)每種情況分別猜想：A與B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)才能完成以上作圖？（1）如圖ABC中，C90，A24；猜想：（2）如圖ABC中，C84，A

6、24；猜想：【思路點(diǎn)撥】在等腰三角形中，“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”，本題應(yīng)從角度入手進(jìn)行考慮.【答案與解析】（1）作圖：猜想：AB90，（2）作圖：猜想：B3A. 【總結(jié)升華】對(duì)圖形進(jìn)行分割是近年來出現(xiàn)的一類新題型，主要考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況以及動(dòng)手實(shí)踐能力，本類題目的答案有時(shí)不唯一.舉一反三：【變式】直角三角形紙片ABC中，ACB90，ACBC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D，設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、F，探究：如果折疊后的CDF與BDE均為等腰三角形，那么紙片中的B的度數(shù)是多少？寫出你的計(jì)算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形【答案】解：若CDF

7、是等腰三角形，則一定是等腰直角三角形.設(shè)B為度 145，2A90當(dāng)BDBE時(shí) 3 ，4590180，30 . 經(jīng)計(jì)算EDEB不成立.當(dāng)DEDB時(shí)3180245901802180，45.綜上所述，B30或45.類型三、等腰三角形性質(zhì)判定綜合應(yīng)用3、（2015春威海期末）如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點(diǎn)E，EHAB，垂足是H在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接ME求證：MEBC【思路點(diǎn)撥】根據(jù)EHAB于H，得到BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到HEM

8、是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可【答案與解析】證明：BAC=90，AB=AC，B=C=45，EHAB于H，BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC【總結(jié)升華】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并證明出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求證：ACBF【答案】 證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DGA

9、D，連接BG.ABCDEFG類型四、等邊三角形4、已知：如圖，B、C、E三點(diǎn)共線，都是等邊三角形，連結(jié)AE、BD分別交CD、AC于N、M，連結(jié)MN.求證：AEBD，MNBE.【答案與解析】證明：，都是等邊三角形BCAC，CECD，1360123180260在和中（已證）BCDACE （SAS）BDAE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）在和中（已證）BMCANC（ASA）MCNC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）260MCN是等邊三角形（有一個(gè)角為60的等腰三角形是等邊三角形）660，61MNBE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【總結(jié)升華】本題應(yīng)從等邊三角形的性質(zhì)出發(fā)，利用三角形全等證明AEBD；為證明MNBE，可先證明MNC為等邊三角形，再利用角去轉(zhuǎn)化證明.舉一反三：【變式】（2015春鄄城）如圖，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若ABC為60度，