王劃一版41根跡法

1、1第四章第四章 根軌跡法根軌跡法主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 1）根軌跡的概念）根軌跡的概念 2）繪制根軌跡的基本條件）繪制根軌跡的基本條件 3）根軌跡的繪制規(guī)則）根軌跡的繪制規(guī)則 4) 廣義根軌跡廣義根軌跡2第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-1 根軌跡根軌跡4-2 繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則4-3 廣義根軌跡廣義根軌跡學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)34.1.1. 4.1.1. 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳函。只要求解反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳函。只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的根，系統(tǒng)的響應(yīng)就迎刃而解。但是對(duì)于出閉環(huán)系統(tǒng)的根，系統(tǒng)的響應(yīng)就迎刃而解。但是對(duì)于3階

2、以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個(gè)可階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個(gè)可變參數(shù)時(shí)，求根更困難了。變參數(shù)時(shí)，求根更困難了。 1948年，伊凡思提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根年，伊凡思提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法的圖解法根軌跡法。在已知開環(huán)零極點(diǎn)分布的基根軌跡法。在已知開環(huán)零極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)確定閉環(huán)極點(diǎn)的一種簡(jiǎn)單的礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)確定閉環(huán)極點(diǎn)的一種簡(jiǎn)單的圖解方法。圖解方法。當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0 時(shí)，時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s 平面上的變化軌跡，就稱作系統(tǒng)平面上的變化軌跡，就稱作系統(tǒng)根軌跡。一般取開環(huán)傳

3、遞系數(shù)作為可變參數(shù)。根軌跡。一般取開環(huán)傳遞系數(shù)作為可變參數(shù)。4式中，式中，K為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。 Kg = 2K 稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。開環(huán)根軌跡增益。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：KssKs222)(2 )2()2(2)15 . 0( ssKssKssKsGg 舉例說(shuō)明：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析舉例說(shuō)明：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析0 K ，閉環(huán)特征根在閉環(huán)特征根在s平面上的移動(dòng)路徑及其特征。平面上的移動(dòng)路徑及其特征。 Ks(0.5s+1)+R(s)C(s) 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為5系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

4、為： s2 + 2s + 2K = 0用解析法求得系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根為：用解析法求得系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根為：Ks2112, 1 (1) K= 0：s1 = 0，s2 = 2，是根跡的起點(diǎn)，用，是根跡的起點(diǎn)，用“ ”表表示。示。 2 j 0 1(2) 0 K 0.5：1212, 1 KjsK= 0K= 0K=0.5KK67二階系統(tǒng)有兩個(gè)特征根，它的軌跡有兩條分支。因此：二階系統(tǒng)有兩個(gè)特征根，它的軌跡有兩條分支。因此： （1）n階系統(tǒng)有階系統(tǒng)有n條分支條分支 ； （2）每條分支的起點(diǎn)）每條分支的起點(diǎn)(K= 0)位于開環(huán)極點(diǎn)處；位于開環(huán)極點(diǎn)處； （3）各分支的終點(diǎn)）各分支的終點(diǎn)(K)或?yàn)殚_環(huán)零點(diǎn)處

5、或?yàn)闊o(wú)限或?yàn)殚_環(huán)零點(diǎn)處或?yàn)闊o(wú)限點(diǎn)；點(diǎn)； （4）( 1，j0)點(diǎn)有重根，稱為分離點(diǎn)。點(diǎn)有重根，稱為分離點(diǎn)。81. 1. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 當(dāng)當(dāng)K從從0 時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入s右半平面，因此二階系統(tǒng)對(duì)所有的右半平面，因此二階系統(tǒng)對(duì)所有的K值都是穩(wěn)定的。值都是穩(wěn)定的。4.1.2 根軌跡與系統(tǒng)性能根軌跡與系統(tǒng)性能 2 j 0 1K= 0K= 0K=0.5KK9 如果高階系統(tǒng)的根如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進(jìn)入軌跡有可能進(jìn)入s 右半右半平面，此時(shí)根跡與虛軸平面，此時(shí)根跡與虛軸交點(diǎn)處的交點(diǎn)處的K 值，就是臨值，就是臨界開環(huán)增益。界開環(huán)增益。2.2.穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能 開

6、環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于1 型系型系統(tǒng)，因而根跡上的統(tǒng)，因而根跡上的K 值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。如果。如果給定系統(tǒng)給定系統(tǒng)ess 的要求，則由根跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位的要求，則由根跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。置的容許范圍。當(dāng)當(dāng)K Kg* 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 0j Kg Kg Kg Kg*103. 3. 動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能 由圖可見，當(dāng)由圖可見，當(dāng)0 K 0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。應(yīng)為阻尼

7、振蕩過程。K p% ，但但是是 ts不變不變114.1.3 4.1.3 根軌跡方程根軌跡方程 研究下圖所示負(fù)反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。研究下圖所示負(fù)反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)+H(s)該系統(tǒng)的特征方程為該系統(tǒng)的特征方程為: D(s) = 1 + G(s)H(s) = 0或或 G(s)H(s) = 1上式稱之為系統(tǒng)的根軌跡方程。上式稱之為系統(tǒng)的根軌跡方程。12 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫成

8、如下形式寫成如下形式式中式中Kg為系統(tǒng)的根跡增益，為系統(tǒng)的根跡增益， zi 為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)，為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)，pj為為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。此時(shí)稱為常規(guī)（系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。此時(shí)稱為常規(guī)（180 ）根軌跡，根）根軌跡，根軌跡方程又可寫為：軌跡方程又可寫為：gnjjmiiKpszs1)()(11 13根軌跡的相角方程：根軌跡的相角方程： )12()()(11 kpszsnjjmii式中，式中，k=0，1，2，（全部整數(shù)）。（全部整數(shù)）。 根據(jù)這兩個(gè)條件，可完全確定根據(jù)這兩個(gè)條件，可完全確定s平面上根軌跡及根平面上根軌跡及根軌跡上對(duì)應(yīng)的軌跡上對(duì)應(yīng)的Kg值。值。是確定是確定s平面上根軌跡的平面上根軌跡的充要

9、條件充要條件，這就是說(shuō)，繪制根軌跡時(shí)，只需要使用相，這就是說(shuō)，繪制根軌跡時(shí)，只需要使用相角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的Kg值時(shí)，才使值時(shí)，才使用幅值條件。用幅值條件。gnjjmiiKpszs111 根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程：14 下面看看怎樣按上式表示的幅值條件和相角條件繪下面看看怎樣按上式表示的幅值條件和相角條件繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖。制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖。已知開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖示。已知開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖示。p2p3 j 0p1z1s1 1 1 2 3 在在s平面找一點(diǎn)平面找一點(diǎn)s1 ，畫出各開環(huán)零、極點(diǎn)到畫出各開環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量。點(diǎn)的

10、向量。 檢驗(yàn)檢驗(yàn)s1是否滿足相角條件：是否滿足相角條件： (s1 z1) (s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3) = 1 1 2 3 = (2k+1) ？ 如果如果s1點(diǎn)滿足相角條件，則是根軌跡上的一點(diǎn)。點(diǎn)滿足相角條件，則是根軌跡上的一點(diǎn)。尋找尋找15在在s 平面內(nèi)滿足相角條件的所有平面內(nèi)滿足相角條件的所有s1 點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。 在在19481948年，伊凡思提出了用圖解法繪制根跡的一年，伊凡思提出了用圖解法繪制根跡的一些基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根跡，在些基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略

11、根跡，在概略根跡的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可用相角條件使其精確化，概略根跡的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可用相角條件使其精確化，從而使整個(gè)根跡的繪制過程大為簡(jiǎn)化。從而使整個(gè)根跡的繪制過程大為簡(jiǎn)化。164.2.1 4.2.1 繪制繪制180180根軌跡的基本法則根軌跡的基本法則 ：根軌：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，跡起始于開環(huán)極點(diǎn)， 終止于開環(huán)零點(diǎn)。終止于開環(huán)零點(diǎn)。 證明：證明： njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(0)()(11 njmiigjzsKps1 + G(s)H(s) = 017 當(dāng)當(dāng) Kg= 0 時(shí)，有時(shí)，有 s = pj ( j =1, 2, , n) 上式說(shuō)明上式說(shuō)明Kg

12、= 0時(shí)，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點(diǎn)。時(shí)，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點(diǎn)。 將特征方程改寫為：將特征方程改寫為： 當(dāng)當(dāng) Kg 時(shí)，有時(shí)，有 s = zi ( i =1, 2, , m) 所以根軌跡必終于開環(huán)零點(diǎn)。所以根軌跡必終于開環(huán)零點(diǎn)。 在實(shí)際系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中在實(shí)際系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中 m n ，有，有m 條根軌跡終條根軌跡終點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)處，有點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)處，有n m條根軌跡的終點(diǎn)將在無(wú)窮遠(yuǎn)處。條根軌跡的終點(diǎn)將在無(wú)窮遠(yuǎn)處。 0)()(111 njmiijgzspsK18 如果把有限數(shù)值的零點(diǎn)稱為有限零點(diǎn)，而把無(wú)窮遠(yuǎn)如果把有限數(shù)值的零點(diǎn)稱為有限零點(diǎn)，而把無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱為無(wú)限零點(diǎn)，那么根軌跡必

13、終于開環(huán)零點(diǎn)。處的零點(diǎn)稱為無(wú)限零點(diǎn)，那么根軌跡必終于開環(huán)零點(diǎn)。 ：系統(tǒng)根軌跡的分：系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù) m 和有限極點(diǎn)數(shù)和有限極點(diǎn)數(shù) n 中的大者相中的大者相等，根軌跡是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。等，根軌跡是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。 證明：證明： 1 + G(s)H(s) = 0 mnsmiinjjsgszspsKlim)()(lim110)()(11 njmiigjzsKps19特征方程式的階數(shù)特征方程式的階數(shù) = maxn，m 特征根的個(gè)數(shù)特征根的個(gè)數(shù) = 方程的階數(shù)方程的階數(shù) = 根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù) = maxn，m 由于閉環(huán)特征方程中的某些系數(shù)是根

14、跡增益的函由于閉環(huán)特征方程中的某些系數(shù)是根跡增益的函數(shù)，所以當(dāng)數(shù)，所以當(dāng)Kg 從從0 連續(xù)變化時(shí)，特征方程的某些系連續(xù)變化時(shí)，特征方程的某些系數(shù)也隨之而連續(xù)變化，因而特征方程根的變化也必然數(shù)也隨之而連續(xù)變化，因而特征方程根的變化也必然是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。 因?yàn)殚]環(huán)傳函為有理分式，所以閉環(huán)特征方程的因?yàn)殚]環(huán)傳函為有理分式，所以閉環(huán)特征方程的根只有實(shí)根和復(fù)根兩種，實(shí)根本身位于實(shí)軸上，復(fù)根根只有實(shí)根和復(fù)根兩種，實(shí)根本身位于實(shí)軸上，復(fù)根必成對(duì)共軛出現(xiàn)，而根軌跡是根的集合，所以必然對(duì)必成對(duì)共軛出現(xiàn)，而根軌跡是根的集合，所以必然對(duì)稱于實(shí)軸。稱于實(shí)軸。 20 j 0K

15、= 0K= 0KK 0j 0j Kg Kg Kg 21 0 j 0 j -1-2 j122 ：當(dāng)開環(huán)傳函中：當(dāng)開環(huán)傳函中m 0 91 4K 0 K 00 K 22.75當(dāng)當(dāng) K= 22.75時(shí)，時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 (70 2K)/7s2 + K = 0 s = j2.55 s4 + 7s3 +10s2 + 2Ks + K= 0 勞斯表勞斯表572(12 )( )(2)(5)KsG ssss 58 0 j -1-5-2j2.55 K=22.75 0 j -1 -4 -2 j1 當(dāng)當(dāng)H(s) =1+2s時(shí)（微分負(fù)反饋）時(shí)（微分負(fù)反饋）或系統(tǒng)串聯(lián)或系統(tǒng)串聯(lián)PD調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)器器，使系統(tǒng)由結(jié)構(gòu)

16、不穩(wěn)定變?yōu)闂l件穩(wěn)定的系統(tǒng)，改善，使系統(tǒng)由結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定變?yōu)闂l件穩(wěn)定的系統(tǒng)，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。59解：解： s2 + 4s + a =(s + 2)2 + a 4 一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根 a = 45 , 135 例例4-94-9 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。2( ) 4(4)(4)KG sas sssa04242424ajaja 4 011110424245dddjadja 602242(2)0(4)4ddd ddda2(d + 2)2d2 + 4d + a = 0 d1 = 22,3864882284

17、42ada 討論討論：1）4 a 8 一個(gè)實(shí)數(shù)分離點(diǎn)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)一個(gè)實(shí)數(shù)分離點(diǎn)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)分離點(diǎn)。分離點(diǎn)。61 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s4 + 8s3 + (16 + a)s2 + 4as + K= 0 勞斯表勞斯表s4 1 16 + a Ks3 8 4as2 16 +0.5a Ks1 (2a2+64a 8K)/(16 +0.5a)s0 K令令s1的系數(shù)為零的系數(shù)為零(32) 42a aaKsj 62 0 j -1 -4 -2 j12( ) 4(4)(4)KG sas sssaa 8s2 + 4s + a =(s + 2)2 + a 4d1 = 22,32282dja

18、(32) 42a aaKsj 63 0 j -1 -4 -2 j1a = 8s2 + 4s + a =(s + 2)2 + a 4d1 = 2(32) 42a aaKsj 64 0 j -1 -4 -2 j14 a 8 s2 + 4s + a =(s + 2)2 + a 4d1 = 22,32282da (32) 42a aaKsj 652( ) 4(4)(4)KG sas sssaa=5662( ) 4(4)(4)KG sas sssaa=867a=202( ) 4(4)(4)KG sas sssa68a=22( ) 4(4)(4)KG sas sssa694.3.1 04.3.1 0 根軌

19、跡的基本法則根軌跡的基本法則 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(gnjjmiiKpszs1)()(11 此時(shí)的根軌跡稱為此時(shí)的根軌跡稱為0 根軌跡。根軌跡。此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為 D(s) = 1 G(s)H(s) = 0或或廣義廣義70根軌跡的相角方程：根軌跡的相角方程： kpszsnjjmii2)()(11 gnjjmiiKpszs111 根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程： ：根軌跡：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，起始于開環(huán)極點(diǎn)， 終止于開環(huán)零點(diǎn)。終止于開環(huán)零點(diǎn)。 ：系統(tǒng)根軌跡的分：系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)與開

20、環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù) m 和有限極點(diǎn)數(shù)和有限極點(diǎn)數(shù) n 中的大者相等，中的大者相等，根軌跡是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。根軌跡是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。71 * ：當(dāng)開環(huán)傳函中：當(dāng)開環(huán)傳函中m n 時(shí)，時(shí)，有有n m 條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為 a ，交點(diǎn)為，交點(diǎn)為 a 的的一組漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有：一組漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有：mnzpmiinjja 11 mnka 2(k = 0,1, , n m 1) ：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為，則該區(qū)域必是根，則該區(qū)域必是根軌跡。軌跡

21、。72 ： nxjjjxmiixpppzpx, 11)()( njjxmxiiixzpzzzx1, 1)()( njjmiipdzd1111：73：若根軌跡與虛軸相交，：若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的坐標(biāo)可按下述兩種方法求出：則交點(diǎn)上的坐標(biāo)可按下述兩種方法求出： 方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s) = 0中，令中，令s = j，D(j) = 0的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。 方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。：若開環(huán)傳函分母階次：若開環(huán)傳函分母階次n比分子比分子階次階次m高高2次或次或2次以上，即次以上，即n m 2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之，

22、則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于其開環(huán)極點(diǎn)之和。和等于其開環(huán)極點(diǎn)之和。 1）根的分量之和是一個(gè)與）根的分量之和是一個(gè)與Kg 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 2）各分支要保持總和平衡，走向左右對(duì)稱。）各分支要保持總和平衡，走向左右對(duì)稱。74 例例 4-10 設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。)4)(2() 1()(sssKsGg解解: 單位正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為單位正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為0)4)(2() 1()(1)(sssKsGsDg系統(tǒng)根軌跡需按系統(tǒng)根軌跡需按0根軌跡的繪制法則繪制。根軌跡的繪制法則繪制。1)4)(2()

23、1(sssKg即系統(tǒng)的根軌跡方程為即系統(tǒng)的根軌跡方程為75： 4， 2 1， 在在( ( 4， 2)和和( (1，) )存在分離點(diǎn)。存在分離點(diǎn)。 114121ddd312, 1d系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 s 2 + (6 Kg ) s + 8 Kg = 0令令s = j ，得，得( j )2 + (6 Kg ) ( j ) + 8 Kg = 0分別令實(shí)部和虛部為零，得分別令實(shí)部和虛部為零，得 2 + 8 Kg = 06 Kg = 0 = 1.414，Kg = 6 76 0 j -1-4 -2 j1 1 2.730.73)4)(2() 1()(sssKsGg當(dāng)當(dāng)Kg 6時(shí)，正反饋閉環(huán)

24、系統(tǒng)是穩(wěn)定的。時(shí)，正反饋閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果此系統(tǒng)為負(fù)反饋系統(tǒng)，則系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。如果此系統(tǒng)為負(fù)反饋系統(tǒng)，則系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。774.3.2 4.3.2 參變量系統(tǒng)的根軌跡參變量系統(tǒng)的根軌跡 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s) = GH(s , A) A為系統(tǒng)的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可表示為為系統(tǒng)的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可表示為D(s)= 1 G(s)H(s) = 1 GH(s, A) = 0可整理為可整理為式中，式中，GH (s)為系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)。此時(shí)根軌跡為系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)。此時(shí)根軌跡可以化為常規(guī)根軌跡或可以化為常規(guī)根軌跡或0 根軌跡。

25、根軌跡。)()(1)(1sQsPAsHG 78 例例4-114-11 已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制參數(shù)試?yán)L制參數(shù)a從零變化到正無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。從零變化到正無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。)1()(25. 0)()(2 ssassHsG 解解: 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3 + s2 + 0.25s + 0.25a = 0系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為sssasHG25. 025. 01)(123 sssasHG25. 025. 0)(23 把把a(bǔ)視為根跡增益，可繪制出視為根跡增益，可繪制出a 變化時(shí)系統(tǒng)的常規(guī)根軌

26、跡。變化時(shí)系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。79 0 j 0.5 1漸近線：漸近線：a= 1/3 a= /3，5/3，。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn): a =1 s = j/2sssasHG25. 025. 0)(23 a j0.5 a = 1分離點(diǎn)：分離點(diǎn)： d1= 1/6 , d2= 1/2。a80(1)( )( )(1)(2)KTsG s H ss ss 例例4-124-12 已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中開環(huán)根跡增益其中開環(huán)根跡增益K可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù)可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù)T對(duì)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。系統(tǒng)性能的影響。 解解: 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)

27、的閉環(huán)特征方程為 s (s +1 ) (s + 2 ) + K (1 + T s) = 0或改寫為或改寫為s (s +1 ) (s + 2 ) + K + KT s = 0系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為11( )( )(1)(2)KTsG s H ss ssK等效開環(huán)極點(diǎn)為等效開環(huán)極點(diǎn)為s (s +1 ) (s + 2 ) + K = 0的根，也就是的根，也就是當(dāng)當(dāng)T = 0，以，以K為可變參數(shù)的閉環(huán)極點(diǎn)。為可變參數(shù)的閉環(huán)極點(diǎn)。81 0 j K=6 ( j1.414)K=20 (0.425 + j2.235)K=3 (-0.165+ j1.047)K=20-3.85-3 K=6K

28、=3-2.672( )( )(1)(2)KG s H ss ss8211( )( )(1)(2)KTsG s H ss ssK 0 j K=6 (T=0)K=20 (T=0)K=3 (T=0)K=20-3.85K=6K=3-2.672-3漸近線：漸近線：有有2條漸近線條漸近線 a = 1.5 a = /2，3 /2。不論不論K為何值，根軌跡的為何值，根軌跡的漸近線都是一樣的。漸近線都是一樣的。83 1.基本要求基本要求 通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)做到：通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)做到： （1）掌握開環(huán)根軌跡增益）掌握開環(huán)根軌跡增益Kg變化時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)變化時(shí)系統(tǒng)閉環(huán) 根軌跡根軌跡的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會(huì)利用幅的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會(huì)利用幅值