向量的概念及其線性運算

1、平面向量的概念及其線性運算數(shù)學：安送杰一、教學目標：1 、知識與技能：掌握平面向量的相關(guān)概念，線性運算的規(guī)律與幾何意義，理解并熟練運用共線向量進行解題，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法；2 、過程與方法：在復習回憶之前學習的知識點的同時，通過習題鞏固知識，加強理解，掌握運用知識的技巧與方法；3 、情感、態(tài)度與價值觀：通過對一些實際問題的解答，體會知識與生活的緊密聯(lián)系，學習與生活是密不可分的。二、重點與難點：重點難點 了解向量的實際背景； 理解平面向量的基本概念和幾何表示；理解向量相等的含義 .運用向量加、減法、數(shù)乘運算 掌握向量加、減法和數(shù)乘運算，進行解題，以及兩個向量共線的充理解其幾何意義；理解向

2、量共線定要條件的運用 .理. 了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義三、教學設(shè)計：1、知識點回顧：（ 1）、向量的概念及表示；（ 2）、和向量相關(guān)的一些概念：、向量的模；、零向量；、單位向量；、平行向量（共線向量） ；、相等向量和相反向量；、一個規(guī)定；（ 3）、向量的線性運算：、向量的加法運算；、向量的減法運算；、向量的數(shù)乘運算；2、復習知識，練習鞏固：（ 1）、向量的概念及表示：、定義：既有大小，又有方向的量叫向量。與數(shù)量相比，數(shù)量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，無法比較大小。、向量的表示方法：A、幾何表示法：用有向線段表示向量，三個要素：起點、方向和長度；B、字母表示法：手寫使用AB

3、 或a, b, c ，印刷使用黑體小寫字母。（2）、和向量相關(guān)的一些概念：、向量的模：向量AB 的模（或長度），就是向量 AB 的大小，記作：AB ，向量的?？梢员容^大小；、零向量：長度為0 的向量叫做零向量，記作：0 ，其方向是任意的；、單位向量：長度等于1 的向量叫做單位向量；、平行向量（共線向量） ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也稱為共線向量；、相等向量和相反向量：長度相等方向相同的向量叫做相等向量，長度相同方向相反的向量叫做相反向量；、一個規(guī)定：零向量與任一向量平行；習題一：1、給出下列六個命題： 兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； 若兩向量 |a| |b| ，則 ab

4、； 若向量 AB=DC,則 A、B、C、D構(gòu)成平行四邊形；在平行四邊形ABCD中，一定有向量AB=DC；若向量 m=n，n=p，則 m=p；若向量 a/b ，b/c ，則 a/c ；其中錯誤的命題為：（）解析：對而言，起點相同，終點相同的兩個向量肯定相等，但反之不一定；對而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一樣；對而言，向量相等可能會共線，共線則不能構(gòu)成平行；對而言，若向量b 為零向量，則不成立；2、設(shè) a 為單位向量，判斷下列命題為假命題的個數(shù)（3）若 b 為平面內(nèi)的某個向量，則b|b| · a；若 b 與 a 平行，則 b|b| ·a；若 b 與 a 平行且 |b|

5、 1，則 ba。注意：向量的方向，兩向量平行可同向也可異向。（3）、向量的線性運算：1、向量的加法：、定義：求兩個向量的和的運算叫做向量的加法；、運算法則：三角形法則與平行四邊形法則；、運算律：交換律與結(jié)合律(1) 、a+b=b+a;(2) 、a+b+c=a+(b+c)2、向量的減法：、相反向量：我們規(guī)定，與向量a 長度相等，方向相反的向量，叫做向量a 的相反向量，記作 -a 。即有 :a=-(-a),a+(-a)=(-a)+a=0、向量的減法：我們定義 a-b=a+(-b) ，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量。ab、幾何意義：已知向量a 與向量 b，b則 a-b 可以表示為從向量b

6、 的終點指aba向向量 a 的終點的向量。3、向量的數(shù)乘運算：、定義：我們規(guī)定實數(shù)與向量 a 的積仍是向量，這種運算稱為向量的數(shù)乘運算，記作 a, 它的長度與方向規(guī)定為：長度： | a| | |a|；方向：當 >0 時，向量 a 的方向與的方向相同；當<0 時，向量 a 的方向與向量 a 的方向相反；當 =0 時， a=0。、向量數(shù)乘的運算律：結(jié)合律與分配律；(1) ( a) ( )a(2)( )a a a(3) (a b) a b、向量共線：向量a 與 b 共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使b=a。向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。習題二：1、在 ABC中， E、F 分別

7、為 AC、AB的中點， BE與 CF相交于 G點，設(shè)向量 AB=a，向量 AC=b，試使用 a、b 表示向量 AG。解法一： 1 AG ABBG ABBE AB2 (BA BC)2AB2 (ACAB) (1 )AB 2 AC(1 ) a 2 b.m 又AGACCGAC mCFAC2(CACB)m m a b， (1 m)AC 2AB 2 (1 m)m1 2，解得2m3，1m2，11 AG 3a3b.1解法二：點 G為重心，所以AG=（AB+AC）; 3如圖，在四邊形中，和相交于點，設(shè)a，b，若 ，2.ABCDACBDOADABAB2DC則 用向量 a 和 b 表示AO _()2 1答案： 3a

8、3b解析：因為 1a1b，AC AD DC AD 2AB2又 ，所以 22 a1b 2a1bAB2DCAO3AC3233.3、已知點 P 在 ABC所在的平面內(nèi)，若2PA3PB4PC3AB，則 PAB與 PBC的面積的比值為 _4答案： 5解析：由 2PA3PB4PC3AB，得 2PA4PC3AB3BP， 2PA 4PC3AP，即 4PC5AP.SPAB|AP| 4|AP| 4 5，5.|PC|PC|S PBC4. 已知點 G是 ABO的重心， M是 AB邊的中點求；(1)GA GB GO11(2) 若 PQ過 ABO的重心 G，且 OAa，OBb，OPma，OQ nb，求證： mn3.(1)解：因為 GAGB2GM，又 2GM GO，所以 GAGBGO GOGO0.(2) 證明：解法一：1 21因為 OM2( ab) ，且 G 是 ABO的重心，所以 OG3OM3( ab) 由 P、G、Q 1三點共線，得PGGQ，所以有且只有一個實數(shù)，使PG GQ. 又PGOGOP3( a11 1111 b) ma 3ma3b，GQOQOG nb3( ab) 3a