哈工大控制系統(tǒng)設計大作業(yè)——直線一級倒立擺控制器設計

1、絡需甫,衣大厚 HarbinInstituteofTechnology 課程設計說明書論文 課程名稱：限制系統(tǒng)設計課程設計 設計題目： 直線一級倒立撰捽制器設計院系： 航天學院捽制科學與工程系班級： 設計者： 學號： 指導教師：型晶 設計時間：2021.8.272021.9.9 哈爾濱工業(yè)大學教務處 哈爾濱工業(yè)大學課程設計任務書 姓名：張盛博院(系)：航天學院限制科學與工程系 專業(yè)：探測制導與限制技術班號：09042010904201 任務起至日期：20212021 年 8 8 月 2727 日至 20212021 年 9 9 月 9 9 日 課程設計題目：直線一級倒立擺限制器設計 技術參數(shù)和

2、設計要求： 本課程設計的被控對象采用固高公司的直線一級倒立擺系統(tǒng) GIPGIP- -100100- -L L. 系統(tǒng)內部各相關參數(shù)為： 小車質量 0.5Kg0.5Kg;擺桿質量 0.2Kg0.2Kg;小車摩擦系數(shù) 0.1N/m/sec0.1N/m/sec; ;l擺桿轉動軸心到桿質心的長度 0.3m0.3m; ;I擺桿慣量0.006kg*m*m0.006kg*m*m; ;T采樣時間 0.0050.005 秒. 設計要求： 1 1 . .推導出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程.用 MatlabMatlab 進行階躍輸入仿真,驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 2 2 . .設計 PIDPID 限制器,使得當在小車上施

3、加 0.1N0.1N 的脈沖信號時,閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為： 3 3 1)1)穩(wěn)定時間小于 5 5 秒； 4 4 2)2)穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于 0.10.1 弧度. 3.3.設計狀態(tài)空間極點配置限制器,使得當在小車上施加 0.2m0.2m 的階躍信號時,閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為:(1)(1)擺桿角度和小車位移 x x 的穩(wěn)定時間小于 3 3 秒 (2)(2)x x 的上升時間小于 1 1 秒 (3)(3)的超調量小于 2020 度( (0.350.35 弧度) (4)(4)穩(wěn)態(tài)誤差小于 2%2%. 工作量： 1 1 . .建立直線一級倒立擺的線性化數(shù)學模型； 2 2 . .倒立擺系統(tǒng)的

4、 PIDPID 限制器設計、MATLABMATLAB 仿真及實物調試； 3 3 . .倒立擺系統(tǒng)的極點配置限制器設計、MATLABMATLAB 仿真及實物調試. 工作方案安排： 第 3 3 周(1)(1)建立直線一級倒立擺的線性化數(shù)學模型； (2)(2)倒立擺系統(tǒng)的 PIDPID 限制器設計、MATLABMATLAB 仿真； (3)(3)倒立擺系統(tǒng)的極點配置限制器設計、MATLABMATLAB 仿真. 第 4 4 周(1)(1)實物調試； (2)(2)撰寫課程設計論文. 同組設計者及分工: 各項工作獨立完成.指導教師簽字 年月日 教研室主任意見： 教研室主任簽字 年月日 *注：此任務書由課程設

5、計指導教師填寫.圖 1 1a a 本系統(tǒng)相關參數(shù)定義如下： M M: :小車質量 m m b b: :小車摩擦系數(shù) l l I:I:擺桿慣量 F F x x: :小車位置 小車隔離受力圖b b擺桿隔離受力圖 :擺桿質量 :擺桿轉動軸心到桿質心的長度 :加在小車上的力 4 4：擺桿與垂直向上方向的夾角 .：擺桿與垂直向下方向的夾角考慮到擺桿初始位置為豎直向下 注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定圖示方向為矢量正方向. 分析小車水平方向所受的合力,可以得到以下方程： ,因而矢量方向定義如下圖, 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： d2m- dt2 lsin 即N

6、mX&ml&cosml&sin 把這個等式代入上式中,就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： MmX&baml&cosml&sinF 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程,我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析,可以得到下面方程: 一、直線一級倒立擺數(shù)學模型的推導及建立 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N： 機理建模和實驗建模.實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號,鼓勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出,應用數(shù)學手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關系.這里面包括輸入信號的設計選取,輸出信號的精確檢測,數(shù)學算法的研究等等內容. 機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)

7、律根底上,通過物理、化學的知識和數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內部的輸入狀態(tài)關系. 對于倒立擺系統(tǒng),由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng),實驗建模存在一定的困難.但是經(jīng)過小心的假設忽略掉一些次要的因素后,倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng),可以在慣性坐標系內應用經(jīng)典力學理論建立系統(tǒng)的動力學方程.下面我們采用其中的牛頓-歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型. 1.1、微分方程的推導 在忽略了空氣阻力,各種摩擦之后,可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng).下 圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖.其中,N N 和 P P 為小車與擺桿水平和垂直方向的分量. d2 m2lcos dt2 Pmgml&am

8、p;sinml&cos 力矩平衡方程如下：PlsinNlcosI旅 號. 合并這兩個方程,約去 P P 和 N N, ,得到第二個運動方程： Iml2amglsinmb2cos 1、微分方程模型 設&=(辦是擺桿與垂直向上方向之間的夾角),假設與 1 1(單位是弧度)相比很小,艮瞪冢 1 1, , d、2c一“ 那么可以進仃近似處理：cos1,sin,()0.用 u u 來代表被控對象的輸入力F,線性 dt 化后兩個運動方程如下： MmX&b&ml&u Iml2戰(zhàn)mglm齦 2、傳遞函數(shù) 對以上微分方程組進行拉普拉斯變換,得到 MmX(s)s2bX(s)

9、ml(s)s2U(s) Iml2(s)s2mgl(s)mlX(s)s2 注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為 0 0. 由于輸出為角度為求解方程組上述方程組的第一個方程,可以得到 或者 (s)mls2 X(s)Iml2s2mgl 如果令題那么有X(s) Iml2 ml Pmg 注意：此方程中力矩的方向,由于 ,coscos,sin sin,故等式前面有負 (1(1- -12)12) (s)ml V(s)Iml2s2mgl 把上式代入 1010 式,那么有: Iml2 g Iml2 g ,、,、2,、 (QryiI(QI1( b 2 ( )ml(s)s (s) ml s ml s ( (1 1-

10、-13)13) Mm (1(1- -14)14) 整理: (s) ml2 s q 其中q U(s) s4 ml2 s3 mmgls2 3、狀態(tài)空間數(shù)學模型 AX bmgl q (1(1- -15)15) ml2 ml CX Bu ,可得狀態(tài)方程 Du x& Iml2b 2)& IMmMml2 2I2 mgl 2 IMmMml2 mlb x&x& mglMm 2 mlbmlb 2 IMmMmlIMmMml mlbmlb 2 MmlMml 00100010 Mml 22 mglmgl 2 MmlMml mglMmglM 2 IMmMmlIMmMml M m Mml2

11、 ml 1M m Mml2 0 0 I I 2 mlml IMIM m m 2 MmlMml u u 0 0 mlml IMIM m m 2 MmlMml u I x x & & & & I Iml2 直線一級倒立擺 PID 限制器設計 2.1、 PID 限制器各個校正環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響 簡單來說,PID,PID 限制器各個校正環(huán)節(jié)的作用如下： (1)(1)比例環(huán)節(jié)：成比例的反響限制系統(tǒng)的偏差信號 e(t)e(t), ,偏差一旦產(chǎn)生,限制器立即產(chǎn)生限制作用, 以減少偏差. (2)(2)積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差,提升系統(tǒng)的型別.積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)

12、 T1T1 越大,積分作用越弱,反之那么越強. (3)(3)微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢(變化速率),并能在偏差信號值變得太大之前,在系統(tǒng)中 引入一個有效的早期修正信號,從而加快系統(tǒng)的動作速度,減小調節(jié)時間. 2. 2、PID 限制器的設計及 MATLA 防真 對于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度,它的平衡位置為垂直向上.系構框圖如下: 圖 3 3 直線一級倒立擺 PIDPID 限制系統(tǒng)框 圖中 KD(s)KD(s)是限制器傳遞函數(shù),G(s)G(s)是被控對象傳遞函數(shù). 考慮到輸入 r(s)=0r(s)=0, ,結構圖可以很容易的變換成 該系統(tǒng)的輸出為 (denPID)(den)(numPID

13、)(num) 其中,numnum- -被控對象傳遞函數(shù)的分子項 denden被控對象傳遞函數(shù)的分母項 numPIDnumPIDPIDPID 限制器傳遞函數(shù)的分子項denPIDPIDdenPIDPID 限制器傳遞函數(shù)的分母項 被控對象的傳遞函數(shù)是 T1,T1, 首先, y(s) G(s) KD(s)G(s) F(s) num ,亙,、F(s) (numPID)(num) (denPID)(den) num(denPID) F(s) 2 其中：qMmIml PIDPID 限制器的傳遞函數(shù)為 .一2 KDsKPsKlnumPID sdenPID 需仔細調節(jié) PIDPID 限制器的參數(shù),以得到滿意的限

14、制效果. 前面的討論只考慮了擺桿角度,那么,在我們施加限制的過程中,小車位置如何變化呢?考慮小車位置,得到改良的系統(tǒng)框圖如下： 其中,GNGGNG 是擺桿傳遞函數(shù),是小車傳遞函數(shù). 由于輸入信號 r(s)=0r(s)=0,所以可以把結構圖轉換成: 圖 5 5 直線一級倒立擺 PIDPID 限制簡化后改良系統(tǒng)框圖其中,反響環(huán)代表我們前面設計的限制器. 小車位置輸出為： num2 x(s)GsF(0denF(s) 1KD(s)G1(s)1(numPID)(numi) (denPID)(deR|) (num2)(denPID)(den1) (denPID)(der1)(den2)(numPID)(n

15、um1)(den2) 其中,num,dennum,deni,numa,den,numa,den2分別代表被控對象 1 1 和被控對象 2 2 傳遞函數(shù)的分子和分母.numPIDFnumPIDF 口 denPIDdenPID 代表 PIDPID 限制器傳遞函數(shù)的分子和分母. 下面我們來求 G(s)G(s), ,根據(jù)前面的推導：Gi(s) (s) U(s) ml2 s q 4blml23Mmmgl2bmgl ssss qqq numden 2 ml KD(s)KDsKP KI s F(s) FlaritE工 圖 5 5 直線一級倒立擺 PIDPID 限制改良系統(tǒng)框圖 可以推出小車位置的傳遞函數(shù)為

16、(denPID)(den)k(numPID)(numi) 2.3、 PID 限制器參數(shù)的調節(jié) 按題目要求,施加 0.1N0.1N 的脈沖信號,觀察指標.脈沖信號仿真源程序為: M=0.5; m=0.2; b=0.1; I=0.006; g=9.8; l=0.3; numi=m*l; deni=(I+m*lA2)0-m*g*l; Kp=1; Ki=0; Kd=0; numPID=KdKpKi; denPID=10; num=conv(num1,denPID); den=polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1); r,p,k=residue(num,d

17、en); s=p t=0:0.005:5; impulse(0.1*num,den,t) grid 當系統(tǒng)參加 PIDPID 限制器后的方框圖為：Iml2 X(s) ml (s) G2(s) X(s) U(s) ,2 Iml2 s q mgl q 其中：qMmI ml2 2 4bIml3 43 ss q 2 ml Mmmgl2s bmgl q 可以看出,dendeni=derb=den,=derb=den, 小車的傳遞函數(shù)可以簡化成: X(s) (num2)(denPID) F(s) Geinl 直線一級倒立擺 PIDPID 限制 MATLAMATLA 昉真模型 由所查閱資料, 調節(jié) Kp,會

18、影響 ess 和振蕩次數(shù)以及 ts；Kp 太大不穩(wěn)定,Kp 可以選擇負數(shù). 調節(jié) Ki,會影響穩(wěn)定性,ess. 調節(jié) Kd,會影響p,ts;由于 Kd 的特殊性,必須選擇適宜的 Kd 才能使p與 ts 均位于 適宜的范圍. 具體的調試過程： 先調節(jié) Kp 使系統(tǒng)穩(wěn)定； 再調節(jié) Kd 使系統(tǒng)僅有一次振蕩； 最后調節(jié) Ki 使 ess 為0o 令 Kp=130Ki=130Kp=130Ki=130、Kd=10,Kd=10,得到以下仿真結果： 4、PID 系統(tǒng)的優(yōu)缺點 優(yōu)點：PIDPID 限制優(yōu)點明顯,應用廣泛.PIDPID 能消除穩(wěn)態(tài)誤差；同時可以減少超調量,克服振蕩,使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提升；并且能加快

19、系統(tǒng)的動態(tài)響應速度,減小調整時間,從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能. 缺點：PIDPID 限制的過度期比擬長,上升過程中波動明顯；當然,較好的 PIDPID 限制效果是以被控 對象的精確數(shù)學模型為前提的,當被控對象的數(shù)學模型未知時, G-Sin TcrsnsFwFznl PIDPID 限制的調試將會有很大的難度.直線一級倒立擺 PIDPID 限制仿真結果圖Kp=130Ki=130Kp=130Ki=130、Kd=1Kd=1. 三、狀態(tài)空間極點配置限制器設計 p耳k0.1,ts-4-2,解得=0.59,wn=3.39=0.59,wn=3.39 Wn trj=0.804,=0.804,符合要求. Wn12 根

20、據(jù)(1)1)擺桿角度和小車位移 x x 的穩(wěn)定時間小于 3 3 秒(3)(3)的超調量小于 2020 度(0.35(0.35 弧度)(4)(4) 穩(wěn)態(tài)誤差小于 2%2%求得閉環(huán)主導極點為：22.74i,選取另兩個極點為- -12,12,- -1212.那么： 1 1、仿真程序： A=0100;0000;0001;0024.50000; B=0;1;0;2.5000; C=1000;0010; D=0;0; J=-12000;0-1200;00-2-2.74*i0;000-2+2.74*i; JA=poly(A); a1=JA;a2=JA(3);a3=JA(4);a4=JA(5); M=BA*B

21、AA2*BAA3*B; W=a3a2a11;a2a110;a1100;1000; T=M*W; JJ=poly(J) aa1=JJ(2);aa2=JJ(3);aa3=JJ(4);aa4=JJ(5); K=aa4-a4aa3-a3aa2-a2aa1-a1*(inv(T); Ac=(A-B*K); Bc=B; Cc=C; Dc=D; T=0:0.005:5; U=0.2*ones(size(T); Cn=1000; Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K); Bcn=Nbar*B; Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T); figure(1) plot(T,X(:,1),r); grid; legend(CartPosition); figure(2); plot(