第一章 數(shù)學(xué)建模與誤差分析-2011-07-21

1、科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院高等工程數(shù)學(xué)高等工程數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模及其重要意義數(shù)學(xué)建模及其重要意義2數(shù)值方法與誤差分析數(shù)值方法與誤差分析3誤差的種類及其來源誤差的種類及其來源4算法的相對穩(wěn)定性算法的相對穩(wěn)定性* 85絕對誤差和相對誤差絕對誤差和相對誤差6有效數(shù)字及其誤差的關(guān)系有效數(shù)字及其誤差的關(guān)系*7誤差的傳播與估計(jì)誤差的傳播與估計(jì) 1數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算第一章數(shù)學(xué)建模與誤差分析第一章數(shù)學(xué)建模與誤差分析1 數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算 數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，科學(xué)技術(shù)離不開數(shù)學(xué)，它通過建立數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，科學(xué)技術(shù)離不開數(shù)學(xué)，它通過建立數(shù)

2、學(xué)模型與數(shù)學(xué)產(chǎn)生緊密聯(lián)系。數(shù)學(xué)又以各種形式應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域。數(shù)學(xué)擅長于處產(chǎn)生緊密聯(lián)系。數(shù)學(xué)又以各種形式應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域。數(shù)學(xué)擅長于處理各種復(fù)雜的依賴關(guān)系，精細(xì)刻畫量的變化以及可能性的評估。它可以幫理各種復(fù)雜的依賴關(guān)系，精細(xì)刻畫量的變化以及可能性的評估。它可以幫助人們探討原因、量化過程、控制風(fēng)險(xiǎn)、優(yōu)化管理、合理預(yù)測助人們探討原因、量化過程、控制風(fēng)險(xiǎn)、優(yōu)化管理、合理預(yù)測 。 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算在工程技術(shù)中發(fā)揮著愈來愈大隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算在工程技術(shù)中發(fā)揮著愈來愈大的作用的作用, ,已成為繼科學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論研究之后已成為繼科學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論研究之后科學(xué)研究的第三種方法

3、科學(xué)研究的第三種方法。了解或了解或掌握科學(xué)計(jì)算的基本方法、數(shù)學(xué)建模的過程和基本方法已成為科技人才必掌握科學(xué)計(jì)算的基本方法、數(shù)學(xué)建模的過程和基本方法已成為科技人才必需的技能。因此，科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模的基本知識(shí)和方法是當(dāng)代大學(xué)生，需的技能。因此，科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模的基本知識(shí)和方法是當(dāng)代大學(xué)生，尤其是尤其是現(xiàn)代科技人才必備的數(shù)學(xué)素質(zhì)現(xiàn)代科技人才必備的數(shù)學(xué)素質(zhì)。 科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算是指利用計(jì)算機(jī)來完成科學(xué)研究和工程技術(shù)中提出的數(shù)學(xué)問是指利用計(jì)算機(jī)來完成科學(xué)研究和工程技術(shù)中提出的數(shù)學(xué)問題的計(jì)算，是一種使用計(jì)算機(jī)解釋和預(yù)測實(shí)驗(yàn)中難以驗(yàn)證的、復(fù)雜現(xiàn)象的題的計(jì)算，是一種使用計(jì)算機(jī)解釋和預(yù)測實(shí)驗(yàn)中難以驗(yàn)證的、復(fù)雜

4、現(xiàn)象的方法?？茖W(xué)計(jì)算是伴隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而迅速發(fā)展并獲得廣泛應(yīng)用的方法?？茖W(xué)計(jì)算是伴隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而迅速發(fā)展并獲得廣泛應(yīng)用的新興交叉學(xué)科，是數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)應(yīng)用于高科技領(lǐng)域的必不可少的紐帶和工新興交叉學(xué)科，是數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)應(yīng)用于高科技領(lǐng)域的必不可少的紐帶和工具。具。 2 數(shù)學(xué)建模過程及其重要意義數(shù)學(xué)建模過程及其重要意義1.2.1 數(shù)學(xué)建模過程數(shù)學(xué)建模過程實(shí)踐實(shí)踐理論理論實(shí)踐實(shí)踐演繹法演繹法數(shù)值法數(shù)值法解析解解析解數(shù)值解數(shù)值解求解方法求解方法現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)世世界界現(xiàn)實(shí)問題的信息現(xiàn)實(shí)問題的信息驗(yàn)證驗(yàn)證表述表述解釋解釋數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界 ？求解求解現(xiàn)實(shí)問題的解

5、答現(xiàn)實(shí)問題的解答1.2.2 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 模型應(yīng)用模型應(yīng)用模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ头治瞿Ｐ颓蠼饽Ｐ颓蠼饽Ｐ图僭O(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中作出合理的、簡化的假設(shè)作出合理的、簡化的假設(shè)針對問題特點(diǎn)和建模目的針對問題特點(diǎn)和建模目的模模型型假假設(shè)設(shè)形成一個(gè)比較清晰的數(shù)學(xué)問題形成一個(gè)比較清晰的數(shù)學(xué)問題掌握對象特征掌握對象特征搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息明確建模目的明確建模目的了解實(shí)際背景了解實(shí)際背景模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備確保模型的合理性、適用性確保模型的合理性、適用性實(shí)際問題實(shí)際問題模型應(yīng)用模型應(yīng)用模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿?/p>

6、型分析模型求解模型求解模型構(gòu)成模型構(gòu)成與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較如：結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、如：結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)盡量使用簡單的數(shù)學(xué)工具盡量使用簡單的數(shù)學(xué)工具用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題1.2.3 數(shù)學(xué)建模意義數(shù)學(xué)建模意義在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地 在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新

7、的處女地?cái)?shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地 美國科學(xué)院一位院士總結(jié)了將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力過程中的成美國科學(xué)院一位院士總結(jié)了將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力過程中的成功和失敗，得出了功和失敗，得出了“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)術(shù)”的結(jié)論，認(rèn)為數(shù)學(xué)的結(jié)論，認(rèn)為數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對加強(qiáng)由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)競爭力是有重要意義經(jīng)濟(jì)競爭力是有重要意義”，而，而“計(jì)算和建模重新成為中心課題，計(jì)算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑”。 作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一

8、步，數(shù)學(xué)建模自然有著作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模自然有著與數(shù)學(xué)同樣悠久的歷史。進(jìn)入與數(shù)學(xué)同樣悠久的歷史。進(jìn)入2020世紀(jì)以來，隨著數(shù)學(xué)以空前的廣世紀(jì)以來，隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域的滲透，以及計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)度和深度向一切領(lǐng)域的滲透，以及計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模越來越受到人們的重視，數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實(shí)世界中有著重要學(xué)建模越來越受到人們的重視，數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實(shí)世界中有著重要意義。意義。 3 數(shù)值方法與誤差分析數(shù)值方法與誤差分析v 數(shù)值方法已成為科學(xué)研究的數(shù)值方法已成為科學(xué)研究的第三種基本手段第三種基本手段。所謂。所謂數(shù)值方法數(shù)值方法，是指，是指將所欲求解的數(shù)

9、學(xué)模型（數(shù)學(xué)問題）簡化成一系列算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，將所欲求解的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)問題）簡化成一系列算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)上求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性和誤差進(jìn)行分析、以便在計(jì)算機(jī)上求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性和誤差進(jìn)行分析、計(jì)算。這里所說的計(jì)算。這里所說的“算法算法”，不只是單純的數(shù)學(xué)公式，而且是指由基本，不只是單純的數(shù)學(xué)公式，而且是指由基本的運(yùn)算和運(yùn)算順序的規(guī)定所組成的整個(gè)解題方案和步驟。一般可以通過的運(yùn)算和運(yùn)算順序的規(guī)定所組成的整個(gè)解題方案和步驟。一般可以通過框圖（流程圖）來較直觀地描述算法的全貌?？驁D（流程圖）來較直觀地描述算法的全貌。選定適合的算法選定適合的算法是整個(gè)

10、數(shù)值計(jì)算中非常重要的一環(huán)。例如，當(dāng)計(jì)是整個(gè)數(shù)值計(jì)算中非常重要的一環(huán)。例如，當(dāng)計(jì)算多項(xiàng)式算多項(xiàng)式0111)(aaxaxaxPnnnn的值時(shí)，的值時(shí)，(0,1, )iia x in再逐項(xiàng)相加，共需做再逐項(xiàng)相加，共需做2) 1() 1(21nnnn次乘法和次乘法和n次加法。次加法。 若直接計(jì)算若直接計(jì)算 時(shí)需做時(shí)需做5555次乘法和次乘法和1010次加法。次加法。10n 01221)()(axaxaxaxaxaxPnnn來計(jì)算時(shí)，只要做來計(jì)算時(shí)，只要做 n n 次乘法和次加法即可。次乘法和次加法即可。 對于小型問題，對于小型問題，計(jì)算的速度計(jì)算的速度和和占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存的多少占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存的多少似乎意

11、義不似乎意義不大。但對于復(fù)雜的大型問題而言，卻是起著決定性作用。算法取得不大。但對于復(fù)雜的大型問題而言，卻是起著決定性作用。算法取得不恰當(dāng)，不僅影響到計(jì)算的速度和效率，還會(huì)由于計(jì)算機(jī)計(jì)算的近似性恰當(dāng)，不僅影響到計(jì)算的速度和效率，還會(huì)由于計(jì)算機(jī)計(jì)算的近似性和誤差的傳播、積累直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度甚至直接影響到計(jì)算和誤差的傳播、積累直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度甚至直接影響到計(jì)算的成敗。不合適的算法會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差達(dá)到不能容許的地步，而使計(jì)的成敗。不合適的算法會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差達(dá)到不能容許的地步，而使計(jì)算最終失敗，這就是算最終失敗，這就是算法的數(shù)值穩(wěn)定性問題算法的數(shù)值穩(wěn)定性問題。若用著名秦九韶（我國宋朝數(shù)學(xué)

12、家）算法，將多項(xiàng)式若用著名秦九韶（我國宋朝數(shù)學(xué)家）算法，將多項(xiàng)式 改成改成( )P x什么叫做誤差？誤差的種類有哪些呢？什么叫做誤差？誤差的種類有哪些呢？“過失誤差過失誤差”或或“疏疏忽誤差忽誤差”：算題者在算題者在工作中的粗心大意而工作中的粗心大意而產(chǎn)生的，例如筆誤以產(chǎn)生的，例如筆誤以及誤用公式等及誤用公式等 。它完。它完全是人為造成的，只全是人為造成的，只要工作中仔細(xì)、謹(jǐn)慎要工作中仔細(xì)、謹(jǐn)慎，是完全可以避免的，是完全可以避免的 數(shù)值計(jì)算誤差數(shù)值計(jì)算誤差 “非過失誤差非過失誤差”：在數(shù)在數(shù)值計(jì)算中這往往是無法值計(jì)算中這往往是無法避免的，例如近似值帶避免的，例如近似值帶來的誤差，模型誤差、來的

13、誤差，模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差和觀測誤差、截?cái)嗾`差和舍入誤差等。對于舍入誤差等。對于“非非過失誤差過失誤差”，應(yīng)該設(shè)法，應(yīng)該設(shè)法盡量降低其數(shù)值，尤其盡量降低其數(shù)值，尤其要控制住經(jīng)多次運(yùn)算后要控制住經(jīng)多次運(yùn)算后誤差的積累，以確保計(jì)誤差的積累，以確保計(jì)算結(jié)果的精度。算結(jié)果的精度。 數(shù)值計(jì)算過程中會(huì)出現(xiàn)各種誤差，可分為兩大類：數(shù)值計(jì)算過程中會(huì)出現(xiàn)各種誤差，可分為兩大類： 66219 97 0219 97 02121xxxx可用四種算式算出：可用四種算式算出：按上列四種算法計(jì)算按上列四種算法計(jì)算 值，其結(jié)果如下表值，其結(jié)果如下表1.3.11.3.1所示。所示。x27 51.42 17 12 1.4

14、166如果分別用近似值如果分別用近似值和和32 12 1x 例例1.3.1 計(jì)算計(jì)算下面是一個(gè)簡單的例算，可以看出近似值帶來的誤差與算法的選擇對計(jì)算下面是一個(gè)簡單的例算，可以看出近似值帶來的誤差與算法的選擇對計(jì)算結(jié)果精度所產(chǎn)生的巨大影響。結(jié)果精度所產(chǎn)生的巨大影響。序序號(hào)號(hào)算式算式 計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果 12134217/1227/56) 12(004096.0)52(6005233. 0)125(627099166667. 0616)121(005233. 0)125(6005020. 0)2912(6270991005076. 01971005046. 0237812 表表1.3.1v 由表由表

15、1.3.11.3.1可見，按不同算式和近似值計(jì)算出的結(jié)果各不相同，可見，按不同算式和近似值計(jì)算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里。因此，在研究有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里。因此，在研究算法的同時(shí)，還必須算法的同時(shí)，還必須正確掌握誤差的基本概念，誤差在近似值運(yùn)算正確掌握誤差的基本概念，誤差在近似值運(yùn)算中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計(jì)的基本方法中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計(jì)的基本方法和和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念念，否則，一個(gè)合理的算法也可能會(huì)得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果。，否則，一個(gè)合理的算法也可能會(huì)得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果。v 衡量一個(gè)算法的好壞時(shí)，衡量一個(gè)算

16、法的好壞時(shí)，計(jì)算時(shí)間的多少計(jì)算時(shí)間的多少是非常重要的一個(gè)標(biāo)是非常重要的一個(gè)標(biāo)志。由于實(shí)際的執(zhí)行時(shí)間依賴于計(jì)算機(jī)的性能，因此所謂算法所花志。由于實(shí)際的執(zhí)行時(shí)間依賴于計(jì)算機(jī)的性能，因此所謂算法所花時(shí)間是用它執(zhí)行的所有基本運(yùn)算，如算術(shù)運(yùn)算、比較運(yùn)算等的總次時(shí)間是用它執(zhí)行的所有基本運(yùn)算，如算術(shù)運(yùn)算、比較運(yùn)算等的總次數(shù)來衡量的。這樣時(shí)間與運(yùn)算的次數(shù)直接聯(lián)系起來了。當(dāng)然，即使數(shù)來衡量的。這樣時(shí)間與運(yùn)算的次數(shù)直接聯(lián)系起來了。當(dāng)然，即使用一個(gè)算法計(jì)算同一類型的問題時(shí)，由于各問題的數(shù)據(jù)不同，計(jì)算用一個(gè)算法計(jì)算同一類型的問題時(shí)，由于各問題的數(shù)據(jù)不同，計(jì)算快慢也會(huì)不同，一般是用快慢也會(huì)不同，一般是用最壞情況下所花的

17、時(shí)間最壞情況下所花的時(shí)間來作討論。來作討論。 4 誤差的種類及其來源誤差的種類及其來源 非過失誤差非過失誤差 數(shù)值計(jì)算中，數(shù)值計(jì)算中，除了可以避免的過失誤差外，除了可以避免的過失誤差外，還有不少來源不同而又無法避免的還有不少來源不同而又無法避免的非過失誤差存在于數(shù)值計(jì)算過程中，非過失誤差存在于數(shù)值計(jì)算過程中，主要有如下幾種主要有如下幾種 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差觀測誤差觀測誤差 模型誤差模型誤差 舍入誤差舍入誤差 1.4.2 1.4.2 觀測誤差觀測誤差 在建模和具體運(yùn)算過程中所用到的一些初始數(shù)據(jù)往往都是通過人在建模和具體運(yùn)算過程中所用到的一些初始數(shù)據(jù)往往都是通過人們實(shí)際觀察、測量得來的，由于受到所用

18、觀測儀器、設(shè)備精度們實(shí)際觀察、測量得來的，由于受到所用觀測儀器、設(shè)備精度 的限的限制，這些測得的數(shù)據(jù)都只能是近似的，即存在著誤差，這種誤差稱為制，這些測得的數(shù)據(jù)都只能是近似的，即存在著誤差，這種誤差稱為“觀測誤差觀測誤差”或或“初值誤差初值誤差”。 1.4.3 1.4.3 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 在不少數(shù)值運(yùn)算中常遇到超越計(jì)算，如微分、積分和無窮級數(shù)求在不少數(shù)值運(yùn)算中常遇到超越計(jì)算，如微分、積分和無窮級數(shù)求和等，它們須用極限或無窮過程來求得。然而計(jì)算機(jī)卻只能完成有限和等，它們須用極限或無窮過程來求得。然而計(jì)算機(jī)卻只能完成有限次算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，因此需將解題過程化為一系列有限的算術(shù)運(yùn)次算術(shù)運(yùn)算和邏輯

19、運(yùn)算，因此需將解題過程化為一系列有限的算術(shù)運(yùn)1.4.1 1.4.1 模型誤差模型誤差 在建模（建立數(shù)學(xué)模型）過程中，欲將復(fù)雜的物理現(xiàn)象抽象、歸在建模（建立數(shù)學(xué)模型）過程中，欲將復(fù)雜的物理現(xiàn)象抽象、歸納為數(shù)學(xué)模型，往往只得忽略一些次要因素的影響，而對問題作某些納為數(shù)學(xué)模型，往往只得忽略一些次要因素的影響，而對問題作某些必要的簡化。這樣建立起來的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上必定只是所研究的復(fù)雜必要的簡化。這樣建立起來的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上必定只是所研究的復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似的描述，它與真正客觀存在的實(shí)際問題之間有一客觀現(xiàn)象的一種近似的描述，它與真正客觀存在的實(shí)際問題之間有一定的差別，這種誤差稱為定的差別，這種誤差稱

20、為“模型誤差模型誤差”。 算和邏輯運(yùn)算。這樣就要對某種無窮過程進(jìn)行算和邏輯運(yùn)算。這樣就要對某種無窮過程進(jìn)行“截?cái)嘟財(cái)唷?，即僅保無窮過，即僅保無窮過程的前段有限序列而舍棄它的后段。這就帶來了誤差，稱它為程的前段有限序列而舍棄它的后段。這就帶來了誤差，稱它為“截?cái)嗾`截?cái)嗾`差差”或或“方法誤差方法誤差”。357sin3!5!7!xxxxx (1.4.1)(1.4.1)234ln(1)( 11)234xxxxxx (1.4.2) (1.4.2)若取級數(shù)的起始若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似，例如取若取級數(shù)的起始若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似，例如取35sin3!5!xxxx (1.4.3)(1.4.3)

21、例如，函數(shù)例如，函數(shù) 和和 可分別展開為如下的無窮冪級數(shù)：可分別展開為如下的無窮冪級數(shù)：sin xln(1)x 則由于它們的第四項(xiàng)和以后各項(xiàng)都舍棄了，自然產(chǎn)生了誤差。這就是則由于它們的第四項(xiàng)和以后各項(xiàng)都舍棄了，自然產(chǎn)生了誤差。這就是由于截?cái)嗔藷o窮級數(shù)自第四項(xiàng)起的后段的產(chǎn)生的截?cái)嗾`差。由于截?cái)嗔藷o窮級數(shù)自第四項(xiàng)起的后段的產(chǎn)生的截?cái)嗾`差。(1.4.3)(1.4.3)和和(1.4.4)(1.4.4)的截?cái)嗾`差是很容易估算的，因?yàn)閮缂墧?shù)的截?cái)嗾`差是很容易估算的，因?yàn)閮缂墧?shù)(1.4.1)(1.4.1)和和(1.4.2)(1.4.2) 都是都是交錯(cuò)級數(shù)，當(dāng)交錯(cuò)級數(shù)，當(dāng) 時(shí)的各項(xiàng)的絕對值又都是遞減的，因此，

22、這時(shí)它們的截時(shí)的各項(xiàng)的絕對值又都是遞減的，因此，這時(shí)它們的截?cái)嗾`差斷誤差 可分別估計(jì)為：可分別估計(jì)為： 23ln(1)23xxxx(1.4.4)(1.4.4) 4R x74( )7!xxR 444xxR1.4.4 1.4.4 舍入誤差舍入誤差 在數(shù)值計(jì)算過程中還會(huì)用到一些無窮小數(shù)，例如無理數(shù)和有理數(shù)在數(shù)值計(jì)算過程中還會(huì)用到一些無窮小數(shù)，例如無理數(shù)和有理數(shù)中某些分?jǐn)?shù)化出的無限循環(huán)小數(shù)，如中某些分?jǐn)?shù)化出的無限循環(huán)小數(shù)，如 和和1x 3.1415926521.41421356110.1666663!6 由于受計(jì)算機(jī)機(jī)器字長的限制，它所能表示的數(shù)據(jù)只能有有限位數(shù)，由于受計(jì)算機(jī)機(jī)器字長的限制，它所能表示

23、的數(shù)據(jù)只能有有限位數(shù)，這時(shí)就需把數(shù)據(jù)按四舍五入舍入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來代替。這時(shí)就需把數(shù)據(jù)按四舍五入舍入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來代替。由此引起的誤差稱為由此引起的誤差稱為“舍入誤差舍入誤差”或或“湊整誤差湊整誤差”。 綜上所述，綜上所述，數(shù)值計(jì)算中除了可以完全避免的過失誤差外，還存在數(shù)值計(jì)算中除了可以完全避免的過失誤差外，還存在難以避免的難以避免的模型誤差模型誤差、觀測誤差觀測誤差、截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差和和舍入誤差舍入誤差。數(shù)學(xué)模型一數(shù)學(xué)模型一旦建立，進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所要考慮和分析的就是旦建立，進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所要考慮和分析的就是截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差和和舍入誤差舍入誤差了。在計(jì)算機(jī)上經(jīng)過千百次運(yùn)算

24、后所積累起來的總誤差不容忽視，有了。在計(jì)算機(jī)上經(jīng)過千百次運(yùn)算后所積累起來的總誤差不容忽視，有時(shí)可能會(huì)大得驚人，甚至到達(dá)時(shí)可能會(huì)大得驚人，甚至到達(dá)“淹沒淹沒”所欲求解的真值的地步，而使所欲求解的真值的地步，而使計(jì)算結(jié)果失去根本的意義。因此，在討論算法時(shí)，有必要對其截?cái)嗾`計(jì)算結(jié)果失去根本的意義。因此，在討論算法時(shí)，有必要對其截?cái)嗾`差的估算和舍入誤差的控制作適當(dāng)?shù)姆治觥２畹墓浪愫蜕崛胝`差的控制作適當(dāng)?shù)姆治觥? 絕對誤差和相對誤差絕對誤差和相對誤差1.5.1 絕對誤差和絕對誤差限絕對誤差和絕對誤差限x*xx定義定義1.5.11.5.1 設(shè)某一個(gè)準(zhǔn)確值（稱為真值）為設(shè)某一個(gè)準(zhǔn)確值（稱為真值）為，則，則與

25、與的差的差*( ) xx x （1.5.11.5.1）*x( )0 x稱為近似值稱為近似值的的“絕對誤差絕對誤差”，簡稱，簡稱“誤差誤差”。當(dāng)。當(dāng)時(shí)，稱為虧近時(shí)，稱為虧近似值或弱近似值，反之則稱為盈近似值或強(qiáng)近似值。似值或弱近似值，反之則稱為盈近似值或強(qiáng)近似值。 ( )x由于真值往往是未知或無法知道的，因此，由于真值往往是未知或無法知道的，因此，就無法求出。就無法求出。但一般可估計(jì)此絕對誤差的上限，也即可以求出一個(gè)正值但一般可估計(jì)此絕對誤差的上限，也即可以求出一個(gè)正值 ，使使的準(zhǔn)確值（真值）的準(zhǔn)確值（真值）也也( )*xxx （1.5.21.5.2）*x稱為近似值稱為近似值的的“絕對誤差限絕對

26、誤差限”，簡稱，簡稱“誤差限誤差限”，或稱，或稱“精度精度”。有時(shí)也用。有時(shí)也用 *x來表示（來表示（1.5.21.5.2）式，這時(shí)等式右端的兩個(gè)數(shù)值）式，這時(shí)等式右端的兩個(gè)數(shù)值和和代表了代表了在范在范圍的上、下限。圍的上、下限。越小，表示該近似值越小，表示該近似值的精度越高。的精度越高。，其近似值為其近似值為*x*xx（1.5.31.5.3）*x*xx所所例例1.5.1 1.5.1 用有毫米刻度的尺測量不超過一米的長度。讀數(shù)方法如下：用有毫米刻度的尺測量不超過一米的長度。讀數(shù)方法如下： 如長度接近于毫米刻度，就讀出該刻度數(shù)作為長度的近似值。顯如長度接近于毫米刻度，就讀出該刻度數(shù)作為長度的近似

27、值。顯然，這個(gè)近似值的絕對誤差限就是半個(gè)毫米，則有然，這個(gè)近似值的絕對誤差限就是半個(gè)毫米，則有*1( )()2lll毫米如果讀出的長度是如果讀出的長度是513513毫米，則有毫米，則有5130.5l 這樣，雖仍不知準(zhǔn)確長度這樣，雖仍不知準(zhǔn)確長度l是多少，但由（是多少，但由（1.5.31.5.3）式可得到不等式：）式可得到不等式：512.5513.5()l 毫米l512.5,513.5這說明這說明必在必在毫米區(qū)間內(nèi)。毫米區(qū)間內(nèi)。1.5.2 相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限 用絕對誤差還不能完全評價(jià)近似值的精確度。例如測量用絕對誤差還不能完全評價(jià)近似值的精確度。例如測量1010米的長度時(shí)米

28、的長度時(shí)產(chǎn)生產(chǎn)生1 1厘米的誤差與測量厘米的誤差與測量1 1米的長度時(shí)產(chǎn)生米的長度時(shí)產(chǎn)生1 1厘米的誤差是大有區(qū)別的。雖然厘米的誤差是大有區(qū)別的。雖然兩者的絕對誤差相同，都是兩者的絕對誤差相同，都是1 1厘米，但是由于所測量的長度要差十倍，顯然厘米，但是由于所測量的長度要差十倍，顯然前一種測量比后一種要精確得多。這說明要評價(jià)一個(gè)近似值的精確度，除前一種測量比后一種要精確得多。這說明要評價(jià)一個(gè)近似值的精確度，除了要看其絕對誤差的大小外，還必須考慮該量本身的大小，這就需要引進(jìn)了要看其絕對誤差的大小外，還必須考慮該量本身的大小，這就需要引進(jìn)相對誤差相對誤差的概念。的概念。*( )( )rxxxxxx

29、 （1.5.41.5.4） 稱為近似值稱為近似值*x的的“相對誤差相對誤差”。110001100在上例中，前一種測量的誤差為在上例中，前一種測量的誤差為，而后一種測量的相對誤差則為，而后一種測量的相對誤差則為，是前一種的，是前一種的十倍十倍。定義定義1.5.2 1.5.2 絕對誤差與真值之比，即絕對誤差與真值之比，即 由（由（1.5.41.5.4）可見，相對誤差可以從絕對誤差求出。反之，絕對誤）可見，相對誤差可以從絕對誤差求出。反之，絕對誤差也可由相對誤差求出，其相互關(guān)系式為：差也可由相對誤差求出，其相互關(guān)系式為： ( )( )rxxx （1.5.51.5.5） ( )xx 相對誤差不僅能表示

30、出絕對誤差來，而且在估計(jì)近似值運(yùn)算結(jié)果的相對誤差不僅能表示出絕對誤差來，而且在估計(jì)近似值運(yùn)算結(jié)果的誤差時(shí)，它比絕對誤差更能反映出誤差的特性。因此在誤差分析中，相誤差時(shí)，它比絕對誤差更能反映出誤差的特性。因此在誤差分析中，相對誤差比絕對誤差更為重要。相對誤差也無法準(zhǔn)確求出。因?yàn)椋▽φ`差比絕對誤差更為重要。相對誤差也無法準(zhǔn)確求出。因?yàn)椋?.5.41.5.4）中的中的和和均無法準(zhǔn)確求得。均無法準(zhǔn)確求得。 也和絕對誤差一樣，可以估計(jì)它的大小范圍，即可以找到一個(gè)正數(shù)也和絕對誤差一樣，可以估計(jì)它的大小范圍，即可以找到一個(gè)正數(shù)，使，使( )rx （1.5.61.5.6） *x稱為近似值稱為近似值的的“相對誤

31、差限相對誤差限”。相對誤差是個(gè)純數(shù)字，它沒有量綱。相對誤差是個(gè)純數(shù)字，它沒有量綱。 例例1.5.2 1.5.2 稱稱100 100 千克重的東西若有千克重的東西若有1 1千克重的誤差和量千克重的誤差和量100100米長米長的東西有的東西有1 1米長的誤差，這兩種測量的相對誤差都是米長的誤差，這兩種測量的相對誤差都是 。與此相。與此相反，由于絕對誤差是名詞，有量綱，上例中兩種測量的絕對誤差反，由于絕對誤差是名詞，有量綱，上例中兩種測量的絕對誤差1 1千克和千克和1 1米的量綱不同，兩者就無法進(jìn)行比較。米的量綱不同，兩者就無法進(jìn)行比較。x在實(shí)際計(jì)算中，由于真值在實(shí)際計(jì)算中，由于真值1100總是無法

32、知道的，因此往往取總是無法知道的，因此往往取*( )( )rxxx （1.5.71.5.7） 作為相對誤差的另一定義。作為相對誤差的另一定義。*( )rx( )rx下面比較下面比較與與之間的相差究竟有多大：之間的相差究竟有多大：*2*111( )( )( )() ( )*rrxxxxxxx x2221( )( ( )*1 ( )1( )rrrrxxxxxxxxx( )rx0.5一般地，一般地，很小，不會(huì)超過很小，不會(huì)超過。這樣。這樣11( )rx不大于不大于2 2，因此，因此，上式右端是一高階小量，可以忽略。上式右端是一高階小量，可以忽略。 *2( )( )2( )( )rrrrxxxx *(

33、 )rx( )rx上式右端是一高階小量，可以忽略，故用上式右端是一高階小量，可以忽略，故用來代替來代替。相對誤差也可用百分?jǐn)?shù)來表示：相對誤差也可用百分?jǐn)?shù)來表示：*( )( )100%rxxx這時(shí)稱它為這時(shí)稱它為百分誤差百分誤差。 6 6 有效數(shù)字及其誤差的關(guān)系有效數(shù)字及其誤差的關(guān)系 1.6.1 1.6.1 有效數(shù)字有效數(shù)字 在表示一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度時(shí)，常用到在表示一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度時(shí)，常用到“有效數(shù)字有效數(shù)字”的概念。的概念。例例1.6.1 1.6.1 ，若，若 按四舍五入取四位小數(shù)，則得的近按四舍五入取四位小數(shù)，則得的近似值為似值為3.14163.1416；若取五位小數(shù)則得其近似值為；若

34、取五位小數(shù)則得其近似值為3.141593.14159。這種近似值。這種近似值取法的特點(diǎn)是誤差限為其末位的半個(gè)單位，即取法的特點(diǎn)是誤差限為其末位的半個(gè)單位，即*xx*x定義定義1.6.11.6.1 當(dāng)近似值當(dāng)近似值，其近似值，其近似值的規(guī)格化形式：的規(guī)格化形式：的誤差限是其某一位上的半個(gè)單位時(shí)，稱其的誤差限是其某一位上的半個(gè)單位時(shí)，稱其“準(zhǔn)確準(zhǔn)確”到這一位且從該位起直到前面第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字到這一位且從該位起直到前面第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為有效數(shù)字。一般說，設(shè)有一個(gè)數(shù)稱為有效數(shù)字。一般說，設(shè)有一個(gè)數(shù)*120.10mnx （1.6.11.6.1） 413.14161023.141

35、59265式中式中 都是都是 中的一個(gè)數(shù)字，中的一個(gè)數(shù)字， 是正整數(shù)，是正整數(shù)， 是整數(shù)。是整數(shù)。若若 的誤差限為：的誤差限為： 0,1,2,9nm*x*1( )102m nxxx （1.6.2）*x10m n則稱則稱為具有為具有n n位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱它精確到位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱它精確到一位數(shù)字一位數(shù)字 12,n *x都是都是的有效數(shù)字。的有效數(shù)字。 若（若（1.6.11.6.1）中的）中的*x是經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，是經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)， *xn則則具有具有位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。3.1416例例 1.6.21.6.2 是是的具有五位有效數(shù)字的近似值，精確到的具有五位有效數(shù)

36、字的近似值，精確到0.00010.0001。2030.0203例例 1.6.31.6.3 和和都是具有三位有效數(shù)字的有效數(shù)。都是具有三位有效數(shù)字的有效數(shù)。 但要注意，但要注意，0.0203和和 0.020300就不同了，前者僅具有三位有效數(shù)字，就不同了，前者僅具有三位有效數(shù)字， 即僅精確即僅精確。其中每其中每 到到 0.0001 0.0001 ；而后者則具有五位有效數(shù)字，即精確到；而后者則具有五位有效數(shù)字，即精確到0.0000010.000001。可見，?？梢?，兩者的精確程度大不相同，后者遠(yuǎn)較前者精確（差兩者的精確程度大不相同，后者遠(yuǎn)較前者精確（差100100倍）。因此，有倍）。因此，有另一種

37、情況，另一種情況， 0.1524x *0.154x 例如例如，*x0.0016這時(shí)這時(shí)的誤差為的誤差為值超過值超過 0.00050.0005（第三位小數(shù)的半個(gè)單位），但卻（第三位小數(shù)的半個(gè)單位），但卻沒有超過沒有超過0.005（第二（第二位小數(shù)的半個(gè)單位），即位小數(shù)的半個(gè)單位），即*0.00050.005xx注注 用計(jì)算機(jī)進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算，由于受到計(jì)算機(jī)字長的限制，要求輸入用計(jì)算機(jī)進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算，由于受到計(jì)算機(jī)字長的限制，要求輸入的數(shù)有一定的位數(shù)，計(jì)算的結(jié)果也只保留一定的位數(shù)，且所保留下來的的數(shù)有一定的位數(shù)，計(jì)算的結(jié)果也只保留一定的位數(shù)，且所保留下來的不一定都是有效數(shù)字，同時(shí)也不是所有的有效數(shù)字

38、都可保留下來。不一定都是有效數(shù)字，同時(shí)也不是所有的有效數(shù)字都可保留下來。 ，其絕對，其絕對顯然，顯然， 雖然有三位小數(shù)但卻只精確到第二位小數(shù)，因此，它只具雖然有三位小數(shù)但卻只精確到第二位小數(shù)，因此，它只具有二位有效數(shù)字。有二位有效數(shù)字。其中其中1 1和和5 5都是準(zhǔn)確數(shù)字，而第三位數(shù)字都是準(zhǔn)確數(shù)字，而第三位數(shù)字4 4就不再是準(zhǔn)就不再是準(zhǔn)確數(shù)字了，我們就稱它為確數(shù)字了，我們就稱它為存疑數(shù)字存疑數(shù)字。*x1.6.2 1.6.2 有效數(shù)字與誤差的關(guān)系有效數(shù)字與誤差的關(guān)系 由由(1.6.2)(1.6.2)可知可知, ,從有效數(shù)字可以算出近似數(shù)的絕對誤差限從有效數(shù)字可以算出近似數(shù)的絕對誤差限; ;有有效

39、數(shù)字的位數(shù)越多效數(shù)字的位數(shù)越多, ,其絕對誤差限也就越小，且還可以從有效數(shù)字其絕對誤差限也就越小，且還可以從有效數(shù)字求出其相對誤差限。求出其相對誤差限。當(dāng)用當(dāng)用(1.6.1)(1.6.1)表示的近似值表示的近似值，具有，具有位有效數(shù)字時(shí)，顯然有位有效數(shù)字時(shí)，顯然有*1110mx故由故由(1.6.2)(1.6.2)可知，其相對誤差可知，其相對誤差*1111110( )12( )10*102m nnrmxxx （1.6.3）故相對誤差限為故相對誤差限為111102n （1.6.4） *xn 由由(1.6.4)(1.6.4)可見可見, ,有效數(shù)字的位數(shù)反映了近似值的相對精確度。有效數(shù)字的位數(shù)反映了近

40、似值的相對精確度。 上述關(guān)系的逆也是成立的，即當(dāng)用上述關(guān)系的逆也是成立的，即當(dāng)用 (1.6.1) (1.6.1) 表示的近似值，如果表示的近似值，如果其相對誤差能滿足其相對誤差能滿足*111( )102(1)nrx （1.6.5）則則至少具有至少具有位有效數(shù)字。這是因?yàn)槲挥行?shù)字。這是因?yàn)? :由由(1.6.5)(1.6.5)及及 *11110mx有有*111111( )( )(1) 1010102(1)2mnm nrxxx *xn即即至少具有至少具有位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。*xn例例1.6.4 1.6.4 當(dāng)用當(dāng)用3.14163.1416來表示的近似值時(shí)來表示的近似值時(shí), ,它的相對誤差是多

41、少它的相對誤差是多少? ?解解 3.14163.1416具有五位有效數(shù)字具有五位有效數(shù)字, ,13，由，由(1.6.3)(1.6.3)有有*5 1411( )10102 36rx 例例1.6.51.6.5 為了使積分的近似值的相對誤差不超過為了使積分的近似值的相對誤差不超過0.1%0.1%，問至少要取，問至少要取幾位有效數(shù)字幾位有效數(shù)字? ?解解 可以知道可以知道I=0.7476I=0.7476，這樣，這樣17，由，由(1.6.3)(1.6.3)有有*11( )100.1%2 7nrI 3n *I*0.747I *I可解出可解出，即即只要取三位有效數(shù)字只要取三位有效數(shù)字就能保證就能保證的相對誤

42、差不大于的相對誤差不大于0.1%0.1%。7 7 誤差的傳播與估計(jì)誤差的傳播與估計(jì)1.7.1 1.7.1 誤差估計(jì)的一般公式誤差估計(jì)的一般公式 在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是些近似值，帶有在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是些近似值，帶有誤差，這些數(shù)據(jù)誤差在多次運(yùn)算過程中會(huì)進(jìn)行傳播，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差，這些數(shù)據(jù)誤差在多次運(yùn)算過程中會(huì)進(jìn)行傳播，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差，而確定計(jì)算結(jié)果所能達(dá)到的精度顯然是十分重要的，但往往很誤差，而確定計(jì)算結(jié)果所能達(dá)到的精度顯然是十分重要的，但往往很困難。不過，對計(jì)算誤差作出一定的定量估計(jì)還是可以做到的。下面困難。不過，對計(jì)算誤差作出一定的定量估計(jì)還是

43、可以做到的。下面利用利用函數(shù)泰勒（函數(shù)泰勒（TaylorTaylor）展開式）展開式推出誤差估計(jì)的一般公式。推出誤差估計(jì)的一般公式。12( ,)yf x x*1x*2x1x2x*y*12(,)yf xx12( ,)f x x*12( , )x x考慮二元函數(shù)考慮二元函數(shù)，設(shè)，設(shè)和和分別是分別是和和的近似值，的近似值，是函數(shù)值是函數(shù)值的近似值，且的近似值，且，函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處的泰勒展開式為：處的泰勒展開式為：*12121122122* 2*11112221122* 21222( ,)( *,*) () ()() () 1()()2()()()2!()() fff x xf xxxxxxxxf

44、fxxxxxxxx xfxxx y略高階小量，則上式可簡化為略高階小量，則上式可簡化為)()(1*11xxx)()(2*22xxx式中，式中，和和一般都是小量值，如忽一般都是小量值，如忽*12121212( ,)(,)()()()()fff x xf xxxxxx*12121212( )*( , )( *, *) ()( ) ()( )ffyy yf x xf xxxxxx （1.7.1）)(1x)(2x的絕對誤差增長因子，它們分別表示絕對誤差的絕對誤差增長因子，它們分別表示絕對誤差和和經(jīng)過傳播經(jīng)過傳播因此，因此，的絕對誤差為的絕對誤差為*y)(1x)(2x*1)(xf*2)(xf*y式中，式

45、中，和前面和前面的系數(shù)的系數(shù)和和分別是分別是和和對對*1x*2x由（由（1.7.11.7.1）可得出）可得出的相對誤差：的相對誤差：后增大或縮小的倍數(shù)。后增大或縮小的倍數(shù)。*y （1.7.21.7.2） *1212*1212*12()()( )( )()()*()()()()rrrxxyffyyxyxyxxffxxyxyx*1()rx*2()rx*1*1()xfyx*2*2()xfyx*1x式中，式中，和和前面的系數(shù)前面的系數(shù)和和分別是分別是經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù)。經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù)。*2x*1()rx*2()rx和和對對的相對誤差增長因子，它們分別表示相對誤差的相對誤差增長因子，

46、它們分別表示相對誤差和和*y2200V1 . 010I例例1.7.11.7.1 用電表測得一個(gè)電阻兩端的電壓和流過的電流范圍分別為用電表測得一個(gè)電阻兩端的電壓和流過的電流范圍分別為 （伏特（伏特) )和和（安培（安培),),求這個(gè)電阻的阻值求這個(gè)電阻的阻值其絕對誤差和相對誤差。其絕對誤差和相對誤差。，并估算，并估算RVRI*22022()10R 歐姆由（由（1.7.11.7.1）可計(jì)算）可計(jì)算*R的絕對誤差：的絕對誤差： *2*1( ) ()( ) ()( )( )( )RRVRVIVIVIII將它們帶入上式，即可估算出的絕對誤差：將它們帶入上式，即可估算出的絕對誤差：*220( )V 伏(

47、)2V（伏）*10I （安）( )0.1I（安）；，令令，* 2211220( )( )( )20.1 0.42( )10(10)VRVIII *( )0.42( )0.01911.91%22rRRR解解 由歐姆定律，有由歐姆定律，有 （1.7.11.7.1）和（）和（1.7.21.7.2）可推廣到更為一般的多元函數(shù)）可推廣到更為一般的多元函數(shù) 中，只要將函數(shù)中，只要將函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處作泰勒展開，處作泰勒展開，12(,)nyf x xx),(21nxxxf),(*2*1nxxx)(,),(),(21nxxx等小量的高階項(xiàng)，即可得到函數(shù)的等小量的高階項(xiàng)，即可得到函數(shù)的近似值的絕對誤差和相對誤差

48、的估算式分別為：近似值的絕對誤差和相對誤差的估算式分別為：并略去其中的并略去其中的*1( )()()niiifyxx （1.7.3）和和*1()()()nirriiixfyxyx （1.7.4） 對的絕對誤差和相對誤差的增長因子。對的絕對誤差和相對誤差的增長因子。*(1,2, , )ix in上兩式中的各項(xiàng)上兩式中的各項(xiàng) 和和 分別為各個(gè)分別為各個(gè)*()ifx*() (1,2, )iixfinyx 從（從（1.7.31.7.3）和（）和（1.7.41.7.4）可知，誤差增長因子的絕對值很大時(shí)，數(shù)據(jù)誤）可知，誤差增長因子的絕對值很大時(shí)，數(shù)據(jù)誤差在運(yùn)算中傳播后，可能會(huì)造成結(jié)果的很大誤差。凡原始數(shù)據(jù)

49、的微小變化可差在運(yùn)算中傳播后，可能會(huì)造成結(jié)果的很大誤差。凡原始數(shù)據(jù)的微小變化可能引起結(jié)果的很大變化的這類問題能引起結(jié)果的很大變化的這類問題, ,稱為稱為病態(tài)問題病態(tài)問題或或壞條件問題壞條件問題。 可以利用可以利用(1.7.3) (1.7.3) 和（和（1.7.41.7.4）對算術(shù)運(yùn)算中數(shù)據(jù)誤差傳播規(guī)律）對算術(shù)運(yùn)算中數(shù)據(jù)誤差傳播規(guī)律作一具體分析。作一具體分析。11( )nniiiixx （1.7.5）*11nniriniiiixxx (1.7.6)1.7.2 1.7.2 誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播 由由(1.7.3) (1.7.3) 和（和（1.7.41.7.4）有）有（1 1

50、）加，減運(yùn)算）加，減運(yùn)算及及 *121212*1212rrrxxxxxxxxxx 由由(1.7.5)(1.7.5)可知：近似值之和的絕對誤差等于各近似值絕對誤差的可知：近似值之和的絕對誤差等于各近似值絕對誤差的代數(shù)和。兩數(shù)代數(shù)和。兩數(shù) 和和 相減，由相減，由(1.7.6)(1.7.6)有有2x1x 當(dāng)當(dāng) ，即大小接近的兩個(gè)同號(hào)近似值相減時(shí)，由上，即大小接近的兩個(gè)同號(hào)近似值相減時(shí)，由上式可知，這時(shí)式可知，這時(shí) 可能會(huì)很大，說明計(jì)算結(jié)果的有效可能會(huì)很大，說明計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字將嚴(yán)重丟失，計(jì)算精度很低。數(shù)字將嚴(yán)重丟失，計(jì)算精度很低。 因此在實(shí)際計(jì)算中，應(yīng)盡量設(shè)法避開相近數(shù)的相減。當(dāng)實(shí)因此在實(shí)際計(jì)算中

51、，應(yīng)盡量設(shè)法避開相近數(shù)的相減。當(dāng)實(shí)在無法避免時(shí)，可用在無法避免時(shí)，可用變換計(jì)算公式變換計(jì)算公式的辦法來解決。的辦法來解決。即即 *121212*1212rrrxxxxxxxxxx*12rxx*12xx 例例1.7.3 1.7.3 當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)，很小時(shí)， ，如要求，如要求 的值，可利用三角的值，可利用三角恒等式恒等式 進(jìn)行公式變換后再來計(jì)算。同理，也可把進(jìn)行公式變換后再來計(jì)算。同理，也可把 展開成泰勒級數(shù)后，按展開成泰勒級數(shù)后，按 來進(jìn)行計(jì)算。這兩種算法都避開了兩個(gè)相近數(shù)相減的不利情況。來進(jìn)行計(jì)算。這兩種算法都避開了兩個(gè)相近數(shù)相減的不利情況。 例例1.7.21.7.2 當(dāng)要計(jì)算當(dāng)要計(jì)算 ，結(jié)果精

52、確到第五位數(shù)字時(shí)，至少取到，結(jié)果精確到第五位數(shù)字時(shí)，至少取到 和和 ，這樣，這樣 才能達(dá)到具有五位有效數(shù)字的要求。如果變換算式：才能達(dá)到具有五位有效數(shù)字的要求。如果變換算式： 也能達(dá)到結(jié)果具有五位有效數(shù)字的要求，而這時(shí)也能達(dá)到結(jié)果具有五位有效數(shù)字的要求，而這時(shí) 和和 所需的有所需的有 效位數(shù)只要五位，遠(yuǎn)比直接相減所需有效位數(shù)（八位）要少。效位數(shù)只要五位，遠(yuǎn)比直接相減所需有效位數(shù)（八位）要少。 3.0133.011.734935231.732050833.0132.8844 1033.01 30.013.0132.8843 101.7349 1.73213.0133.013xcos1x 1 co

53、sx21 cos2sin2xxcosx241cos2 !4 !xxx （2 2）乘法運(yùn)算）乘法運(yùn)算 由（由（1.7.31.7.3）及（）及（1.7.41.7.4）有）有 因此，近似值之積的相對誤差等于相乘各因子的相對誤差的代數(shù)和。因此，近似值之積的相對誤差等于相乘各因子的相對誤差的代數(shù)和。當(dāng)乘數(shù)的絕對值很大時(shí)，乘積的絕對值誤差當(dāng)乘數(shù)的絕對值很大時(shí)，乘積的絕對值誤差 可能會(huì)很大，因此可能會(huì)很大，因此也應(yīng)設(shè)法避免。也應(yīng)設(shè)法避免。*111nnnijiiijjixxx （1.7.7）和和*11nnririiixx （1.7.8）1niix（3 3）除法運(yùn)算）除法運(yùn)算 由（由（1.7.31.7.3）及（

54、）及（1.7.41.7.4）有）有 由由（1.7.101.7.10）可知，兩近似值之商的相對誤差等于被除數(shù)的相對可知，兩近似值之商的相對誤差等于被除數(shù)的相對誤差與除數(shù)的相對誤差之差。誤差與除數(shù)的相對誤差之差。 又由又由（1.7.91.7.9）可知，當(dāng)除數(shù)可知，當(dāng)除數(shù) 的絕對值很小，接近于零時(shí)，商的絕對值很小，接近于零時(shí)，商的絕對誤差的絕對誤差 可能會(huì)很大，甚至造成計(jì)算機(jī)的可能會(huì)很大，甚至造成計(jì)算機(jī)的“溢出溢出”錯(cuò)錯(cuò)誤故應(yīng)設(shè)法避免讓絕對值太小的數(shù)作為除數(shù)。誤故應(yīng)設(shè)法避免讓絕對值太小的數(shù)作為除數(shù)。 *11112122*22221rrxxxxxxxxxxx （1.7.91.7.9）和和 *1122r

55、rrxxxx （1.7.101.7.10） *2x12xx （4 4）乘方及開方運(yùn)算）乘方及開方運(yùn)算 由（由（1.7.31.7.3）及（）及（1.7.41.7.4）有）有 由（由（1.7.121.7.12）可知，乘方運(yùn)算將使結(jié)果的相對誤差增大為原值）可知，乘方運(yùn)算將使結(jié)果的相對誤差增大為原值 的的 （乘方的方次數(shù)）倍，降低了精度；開方運(yùn)算則使結(jié)果的相對誤差縮（乘方的方次數(shù)）倍，降低了精度；開方運(yùn)算則使結(jié)果的相對誤差縮 小為原值小為原值 的的 （ 為開方的方次數(shù)），精度得到提高。為開方的方次數(shù)），精度得到提高。 綜上分析可知，大小相近的同號(hào)數(shù)相減，乘數(shù)的絕對值很大，以及綜上分析可知，大小相近的同

56、號(hào)數(shù)相減，乘數(shù)的絕對值很大，以及除數(shù)接近于零等，在數(shù)值計(jì)算中都應(yīng)設(shè)法避免。除數(shù)接近于零等，在數(shù)值計(jì)算中都應(yīng)設(shè)法避免。 1*ppxp xx （1.7.11）及及 *prrxpx （1.7.12）xpx1qq1.7.3 1.7.3 對對1.3.11.3.1中算例的誤差分析中算例的誤差分析序號(hào)序號(hào)近似值近似值 真真 值值 絕對誤差絕對誤差 相對誤差相對誤差 10.0142 0.0355=3.55% 0.000955 60.0355=21.3% 234 應(yīng)用上述誤差估計(jì)的公式，可對應(yīng)用上述誤差估計(jì)的公式，可對1.3.11.3.1中提出的算例中的各種中提出的算例中的各種算式作出誤差估計(jì)和分析，從而可以比

57、較出它們的優(yōu)劣來。見結(jié)算式作出誤差估計(jì)和分析，從而可以比較出它們的優(yōu)劣來。見結(jié)果下表果下表1.7.11.7.1。 27099 995.000245. 0000182. 00000255. 04.015712 00409.01576612 1577099%5 .99995. 0416667.01571121%589. 000589. 000523278.0157166121%53. 300589. 0600507614. 05770991270991%502. 00502. 0表表1.7.11.7.18 8 算法的相對穩(wěn)定性算法的相對穩(wěn)定性 通過前面對誤差傳播規(guī)律的分析和對通過前面對誤差傳播規(guī)律

58、的分析和對1.31.3算例的剖析，可知同一問題算例的剖析，可知同一問題當(dāng)選用不同的算法時(shí)，它們所得到的結(jié)果有時(shí)會(huì)相差很大，這是因?yàn)檫\(yùn)當(dāng)選用不同的算法時(shí)，它們所得到的結(jié)果有時(shí)會(huì)相差很大，這是因?yàn)檫\(yùn)算的舍入誤差在運(yùn)算過程中的傳播常隨算法而異。凡一種算法的計(jì)算結(jié)算的舍入誤差在運(yùn)算過程中的傳播常隨算法而異。凡一種算法的計(jì)算結(jié)果受舍入誤差的影響小者稱它為數(shù)值穩(wěn)定的算法。下面再通過其他一些果受舍入誤差的影響小者稱它為數(shù)值穩(wěn)定的算法。下面再通過其他一些例子來進(jìn)一步說明算法穩(wěn)定性的概念。例子來進(jìn)一步說明算法穩(wěn)定性的概念。 例例1.8.1 1.8.1 解方程解方程 （1.8.1） 解解 由韋達(dá)定理可知，此精確解

59、為由韋達(dá)定理可知，此精確解為 如果利用求根公式如果利用求根公式299101100 xx 91210 ,1xx21,242bbacxa （1.8.2） 來編制計(jì)算機(jī)程序，在字長為來編制計(jì)算機(jī)程序，在字長為8 8基底為基底為1010的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算，則的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算，則由于計(jì)算機(jī)實(shí)際上采用的是規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算，由于計(jì)算機(jī)實(shí)際上采用的是規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算， 這時(shí)這時(shí) 的第二項(xiàng)最后兩位數(shù)的第二項(xiàng)最后兩位數(shù)“0101”，由于計(jì)算機(jī)字長的限制，在機(jī)器上表示，由于計(jì)算機(jī)字長的限制，在機(jī)器上表示不出來，故在計(jì)算機(jī)對其舍入運(yùn)算（用不出來，故在計(jì)算機(jī)對其舍入運(yùn)算（用 標(biāo)記）時(shí)標(biāo)記）時(shí)910101010.1

60、 100.0000000001 10b 10101090.1 100.0000000001 100.1 1010b 2299941014 1010bac 29991410101022bbacxa 299241010022bbacxa 這樣算出的根顯然是嚴(yán)重失真的（這樣算出的根顯然是嚴(yán)重失真的（ 精確解精確解 ），這說明直接利用），這說明直接利用（1.8.21.8.2）求解方程（）求解方程（1.8.11.8.1）是不穩(wěn)定的。其原因是在于當(dāng)計(jì)算機(jī)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)）是不穩(wěn)定的。其原因是在于當(dāng)計(jì)算機(jī)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)要對階舍入計(jì)算，實(shí)際上受到機(jī)器字長的限制，在計(jì)算要對階舍入計(jì)算，實(shí)際上受到機(jī)器字長的限制，在