對(duì)張正友標(biāo)定的理解

1、張正友標(biāo)定算法解讀一直以來(lái)想寫篇相機(jī)標(biāo)定方面的東西，最近組會(huì)上也要講標(biāo)定方面東西，所以順便寫了。無(wú)論是OpenCVS是matlab標(biāo)定箱，都是以張正友棋盤標(biāo)定算法為核心實(shí)現(xiàn)的,這篇PAMI的文章<<AFlexibleNewTechniqueforCameraCalibration>>影響力極大，張正友是zju的機(jī)械系出身，貌似現(xiàn)在是微軟的終身教授了，有點(diǎn)牛的。我就簡(jiǎn)單的介紹下算法的核心原理，公式的推理可能有點(diǎn)多。一基本問(wèn)題描述：空間平面的三維點(diǎn)與相機(jī)平面二維點(diǎn)的映射假設(shè)空間平面中三維點(diǎn)：M=X,V.ZJj（齊次坐標(biāo)，世界坐標(biāo)系）相機(jī)平面二維點(diǎn)：（齊次坐標(biāo)，相機(jī)坐標(biāo)系）那

2、么空間中的點(diǎn)是如何映射到相機(jī)平面上去呢？我們用一個(gè)等式來(lái)表示兩者之問(wèn)關(guān)系：仆7國(guó)sm=ARt|M,withA=0i3期,00（1）注：A為相機(jī)內(nèi)參矩陣，R,t分別為旋轉(zhuǎn)和平移矩陣，s為一個(gè)放縮因子標(biāo)量。我們把等式（1）再簡(jiǎn)化下：=HMwithH=A|r1門tk因?yàn)閺堈阉惴ㄟx取的是平面標(biāo)定，所以令z=0,所以平移向量只有r1,r2即可。H就是我們常說(shuō)的單應(yīng)性矩陣，在這里描述的是空間中平面三維點(diǎn)和相機(jī)平面二維點(diǎn)之間的關(guān)系。因?yàn)橄鄼C(jī)平面中點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過(guò)圖像處理的方式（哈里斯角點(diǎn)，再基于梯度搜索的方式精確控制點(diǎn)位置）獲取，而空間平面中三維點(diǎn)可以通過(guò)事先做好的棋盤獲取。所以也就是說(shuō)每張圖片都可以計(jì)算

3、出一個(gè)H矩陣。二內(nèi)參限制我們把H矩陣（3*3）寫成3個(gè)列向量形式，那么我們把H矩陣又可寫成：hih?%二四口r.t|注:lamda是個(gè)放縮因子標(biāo)量，也是s的倒數(shù)。那么現(xiàn)在我們要用一個(gè)關(guān)鍵性的條件：ri和r2標(biāo)準(zhǔn)正交正交:h-AJAJhj=0單位向量（模相等）：(4)kiArA11,=hoAsAi>(5)這個(gè)兩個(gè)等式是非常優(yōu)美的，因?yàn)樗昝赖呐c絕對(duì)二次曲線理論聯(lián)系起來(lái)了，這里就不展開了。三相機(jī)內(nèi)參的求解我們令：Bu61?B=AtA_1=Bi?RnUl：|西（6）我們可知B矩陣是個(gè)對(duì)稱矩陣，所以可以寫成一個(gè)6維向量形式:b二|£?ii,Viia,Ba£?u,口密“卻我們把

4、H矩陣的列向量形式為：h,=化那么根據(jù)等式（8）我們把等式（4）改寫成:hfBh；=vb(9)huhfl4-兒i%】向2順立+八仆加h得h驟+h通八用星曲(10)最后根據(jù)內(nèi)參數(shù)限制條件（等式（4）（5）:(11)(12)V矩陣是2*6矩陣，也就是說(shuō)每張照片可建立起兩個(gè)方程組，6個(gè)未知數(shù)。根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)可知，解6個(gè)未知數(shù)需至少6個(gè)方程組，所以也就是說(shuō)我們至少需要三張照片就求解未知數(shù)。b矩陣的解出，相機(jī)內(nèi)參矩陣A也就求解出，從而每張圖像的R,t也就根據(jù)等式（1）迎刃而解。四參數(shù)優(yōu)化因?yàn)槌跏嫉膮?shù)已經(jīng)求解，所以我們將每張圖像的控制點(diǎn)根據(jù)求解的參數(shù)重投影回三維空間，最小化與真實(shí)值的差異，其實(shí)就是建立非線性最小化模型：nm匯£Uniij-m(A(13)