函數概念的發(fā)展史

1、 函數概念的起源,最早和人們對動點軌跡的研究密不可分。再也沒有其他的例子,如同象動點作曲線運動時,它的x坐標和y坐標相互依依賴并同時發(fā)生變化那樣，更有利于促使人們產全變量、因變量產生函數的概念了. 而這又正是解析幾何學的主耍內容.14 世紀時,法國數學家奧萊斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依時間t而變的變數x 時,他畫出了圖形, 把t 稱為“經度(longitude), 把x 稱為“ 緯度(latitude)。但是他并沒有連續(xù)的概念, 只是建立了孤立的點與點之簡的對應. 這種方法被開普勒(Kepler,德,1571 -1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564 -164

2、2)應用于關于天體運行方面的研究2。 17世紀的絕大局部函數是被當作曲線來研究的, 而曲線被看作運動著的點的路徑這樣的思想通過牛頓等人的工作而獲得了認可與接受。牛頓在他的?求曲邊形的面積?中說:“ 我認為這里的數學量,不是由小塊合成的, 而是由連續(xù)運動描出的。英國數學家哈略特(Harriot,1560一1621)應用了直角坐標的概念求出了曲線的方程. 當坐標系一經給定,那么某些幾何問題便可以用代數的形式表現出，這正是解析幾何學的主耍方法.這樣,函數的概念便又和軌跡的代數表達式發(fā)生了密切聯(lián)系.法國著名的數學家費爾瑪(Fermat,1601 -1665)在他的?平面、立體曲線導論?中, 取相交的直

3、線建立坐標系,導出了直線、圓還有其它一些圓錐曲線的方程。法國著名數學家笛卡爾(Descartes, 1596 -1650)在他的?幾何學?中明確地給出了點的坐標概念, 由此當點P 根據某特定條件運動時,它的兩個坐標之間的互變關系可用曲線的方程表示。人們通常把變量概念的引入和解析幾何的誕生歸功與笛卡爾,他確實讓用代數關系式表示變化的量間的關系(主要是曲線)的方法逐漸流行起來了2。總的說來, 盡管描繪曲線方程的解析幾何的方法已出現, 但至少到17 世紀上半葉, 純粹的函數概念并沒有被提出來。萊布尼茲(Lei -bniz) 在1 6 7 3 年首先提出“ 函數這一名詞.他用函數表示任何一個隨著曲線上

4、的點的變動而變動的量.象曲線上的橫坐標,縱坐標,切線的長度, 垂線的長度等。牛頓(N e w to n) 幾乎同時用另一名詞“ 流量 來表示變量間關系。1697 年, 約翰·伯努利給出了函數的第一個定義: 一個按照任何方式用變量和常量構成的量. 1698年, 他采用了萊布尼茲的說法, 稱這個量為“ x 的函數, 表示為X . 1718 年, 他又明確定義了一個變量的函數:由這個變量和常量的任意一種方式構成的量, 表示為.伯努利強調的是函數要用公式來表示了，這是函數的解析概念的第一次擴展。1734 年, 歐拉引入現在的函數表示形式:。歐拉就把用算術運算、三角運算和指數對數運算聯(lián)結變數x

5、 和常數c而成的式子, 取名為解析函數,并將它分成為“代數函數和“超越函數兩類。歐拉用“解析表達式替代了約翰的“ 任意形式,明確地表述了變量之間相互依賴的變化關系。也不再強調函數一定要用公式來表示,但仍沒有明確函數是某種對應關系,也沒有提出函數可以不用解析式來表示.歐拉對函數的重要奉獻是他考慮了用以表示被任意畫出的曲線的函數,并把這種函數叫做“ 隨意函數。這使得函數概念為適應積分的需要作出了新的推進。1797 年拉格朗日在他的?解析函數論?中把一元或多元函數定義為: 自變量在其中可以按任意形式出現并對計算有用的表達式 . 換句話說, 他認為,函數是運算的一個組合.他的代數分析的實質, 就是把函

6、數歸結為無窮級數. 他希望任何函數都能表示成他經過形式論證, 得出他經過形式論證, 得出傅立葉的工作更根本地改變了函數的面貌,震驚了當時的數學界。他一方面認為有限區(qū)間上的函數未必僅有唯一的表達式,另一方面又認為函數必須用解析式來表達,這靠他創(chuàng)造的傅立葉級數理論來支持。他證明了任意以 為周期的一個函數f(x)在 -, 可以由展開, 其中后來人們又證明了不僅僅周期函數, 任一連續(xù)函數在(-, )上都可以用正弦或余弦函數給出。 柯西的函數定義; 對于x的每一個值, 如果y 有完全確定的值與之對應, 那么y 就叫做x的函數。這樣一來, 無論y 是用一個式子表示的, 還是用多個式子表示的, 甚至是否要通

7、過式子表示都無關緊要了, 只要對x的每一個值, y 有完全確定的值與之對應, 那么y 就是x的函數。不過當時柯西在所給函數定義中, 用多個式子表示函數情況是在區(qū)間上的函數, 或由等表示情況。 著名的黎曼狄里克雷的出現無疑是給柯西出了個難題,1837年，他定義函數: 對于x的每一個值, 如果有完全確定的值與之對應, 不管x, y 所建立的對應方式如何, y 都叫做x的函數。這樣,就是一個函數了，函數是不容易用解析式來表達的。這個定義和我們現在中學教科書中的函數概念已經很接近了,它不僅把變量之間的關系描述為對應變化的關系, 而且就函數的解析表達式也做了討論。前面兩個世紀的人們把更多的注意力投放在函

8、數的解析式上，數學家開始關注自變量的取值范圍。把函數自變量的取值范圍從實數域擴大到了復數域, 相應地就有了實變函數論和復變函數論的區(qū)分。再有自變量在一個區(qū)間上的取值情況變得復雜起來, 它有時可以無限制地取遍該區(qū)間上的所有值, 有時必須按特定條件取值, 新的情況促使人們尋找新的視角來定義函數的概念6。從19 世紀70 年代開始, 康托爾發(fā)表了一系列文章, 系統(tǒng)地分析和刻畫了實數的連續(xù)性及無窮集合的性質, 出現了連續(xù)統(tǒng)等問題的研究, 逐步形成并誕生了集合理論. 在康托爾開創(chuàng)了集合論理論后, 由于其對于數學的根底性, 成為現代數學描述的根底語言. 因此, 函數概念的定義再一次面臨著新變化.1887

9、年, 戴德金的關于函數的定義: 系統(tǒng)S 上的一個映射蘊涵了一種規(guī)那么, 按照這種規(guī)那么, S 中每一個確定的元素s 都對應著一個確定的對象, 它成為s 的, 記作.我們也可以說,對應于元素s ,由映射作用于s 而產生或導出; s 經映象變換成。在這個定義中, 首次用映射來描述函數, 而且明確了映射中所蘊含的“規(guī)那么即對應“關系才是函數概念的內涵, 已非常接近函數的現代定義了.1936 年, 布爾巴基給出了函數的現代定義: 設E 和F 是兩個集合, 它們可以不同, 也可以相同, E 中的一個變元x 和F 中的變元y 之間一個關系成為一個函數關系, 如果對每個xE , 都存在唯一的yF , 它滿足

10、跟x 的給定關系, 表示為fE 。這就是用映射來表達的現代的函數概念.用集合論的語言定義函數的概念, 可稱為函數, 也可以叫做映射.現在的高中數學教材中函數的定義: 設X , Y 是兩個非空集合, 如果存在一個法那么f , 使得對X中的每個元素x , 按法那么f , 在Y 中有唯一確定的元素y 與之對應, 那么稱f 為定義在X 上的函數, 記作f : XY ,通常也簡記作y = f(x), xX , 其中x 稱為自變量, y 稱為因變量, X 稱為定義域. 簡單的結論: 現在函數的概念所包括的范圍似乎是碩大無比了, 但是, 如果說這種擴展已經到頂了, 那就未免為時過早。事實上, 在本世紀四十年

11、代, 由于物理學的需要, 開展了占函數, 它在一點處不為零, 而在R 上的積分等于1 , 原來的函數定義就包含不了這種占函數。于是又有索伯列夫、洛朗和許瓦茲引入了廣義函數的概念, 把函數、測度以及占函數等概念統(tǒng)一起來了。這樣, 在函數概念的內涵上再一次得到了擴展。 初等函數概念雖然是在初中才正式引入的, 但是我國的數學課程實際上在小學階段就開始滲透. 比方, 小學乘法運算中2 的乘法公式, 如果把乘數2 看成是K , 被乘數看成是自變量X , 那么乘積就是因變量Y,這可以是一個簡單的比例函數, 把被乘數19 和乘積2、4、6、8、10、12、14、16、18 看成兩個集合, 那么“×

12、2就是它們之間的一個映射, 這兩個集合是一一對應關系. 初中階段函數的概念是：一般地，設某變化過程中有兩個變量，如果對于在某一范圍內的每一個確定的值x, 都有唯一確定的值y 與它對應，那么就說y 是x 的函數，x 叫做自變量，當函數關系用等式來表示時，這個等式叫做函數解析式或函數關系式這里指出函數關系就是變量之間的“對應關系,同時也給出了自變量的變化范圍，但未指明定義域。這里仍然說函數是相依變量Y,但函數的本質是對應關系。明確了函數是對應關系后,歷史上一度糾纏不清的解析定義及幾何定義就是現在函數的兩種不同表示法:解析法與圖象法。此外,還有列表法。到了高中,通過代數式的學習，讓學生了解到量與量之

13、間的依存性;通過數的概念的開展,使學生積累關于“集合概念的初步思想; 通過數軸和坐標的教學, 滲透關于“對應概念的初步思想等, 有了這些鋪墊,學生在接觸到嚴謹而抽象的集合函數概念時, 才能比擬容易接受.函數是用映射定義的：設A ，B 是非空的數集，如果按某個確實的對應關系f，使對于集合A 中的任意一個數x，在集合B 中都有唯一確定的數fx和它對眼，那么就稱f：A B 為從集合A 到集合B 的一個函數記作y=fx，x A其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍A 叫做函數的定義域；與x 的值相應的y 的值叫做函數值，函數值的集合fxxA叫做函數的值域簡單地說，就是指一個關系作用于集合A 中的每一個數，使它與集合B 中的一個數相對應“映射是集合中的概念,其含義比“對應更確切了,突出了方向性。本科數學專業(yè)的函數概念給定兩個實數集D、M, 假設按照某一確定的對應法那么f , D 內每一個數x 有唯一的一個數y M 與它相對應, 那么稱f 是確定在數集D 上的函數,記作f:D M,其中集D 稱為函數的定義域, D 中的任意數x 根據法那么f 所對應的y,記作f(x),稱為f 在x 的函數值。高等數學中的函數概念除了反映變量之間的依賴關系這一本質屬性之外, 還具有種種其它屬性. 函數概念與