數(shù)學(xué)北師版八年級(jí)上第三章3　軸對(duì)稱與坐標(biāo)變化

1、3軸對(duì)稱與坐標(biāo)變化1圖形的坐標(biāo)變化與圖形平移之間的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都加上或減去一個(gè)正數(shù)a時(shí)，圖形會(huì)向右或向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)都加上或減去一個(gè)正數(shù)a時(shí)，圖形會(huì)向上或向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度【例1】 如圖所示的箭頭是將坐標(biāo)為(0,0)，(1,2)，(1,1)，(4,1)，(4，1)，(1，1)，(1，2)，(0,0)的點(diǎn)用線段依次連接而成的，若縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)分別加1，再將所得的點(diǎn)用線段依次連接起來(lái)，所得的圖案與原來(lái)的圖案相比有什么變化？若是橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)分別減2呢？分析：當(dāng)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加上或減去一個(gè)正數(shù)a時(shí)，原圖形就相應(yīng)地向上或向

2、下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)縱坐標(biāo)不變時(shí)，橫坐標(biāo)加上或減去一個(gè)正數(shù)a時(shí)，則原圖形會(huì)向右或向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度解：若縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)分別加1，則所得各點(diǎn)的坐標(biāo)依次是(1,0)，(2,2)，(2,1)，(5,1)，(5，1)，(2，1)，(2，2)，(1,0)，將各點(diǎn)用線段依次連接起來(lái)，所得圖案如圖所示，所得圖案與原圖案相比，箭頭的形狀、大小不變，整個(gè)箭頭向右平移了1個(gè)單位長(zhǎng)度若橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)分別減2，則所得各點(diǎn)的坐標(biāo)依次是(0，2)，(1,0)，(1，1)，(4，1)，(4，3)，(1，3)，(1，4)，(0，2)，將各點(diǎn)用線段依次連接起來(lái)所得圖案如圖所示，所得圖案與原圖案相比，箭頭的形

3、狀、大小不變，整個(gè)箭頭向下平移了2個(gè)單位長(zhǎng)度點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是求出圖形變化后的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)用線段依次將點(diǎn)連接起來(lái)即可得到新圖案2.圖形的坐標(biāo)變化與圖形的伸長(zhǎng)和壓縮之間的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)圖形的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大或縮小一定倍數(shù)時(shí)，圖形就相應(yīng)地被橫向拉長(zhǎng)或壓縮該倍數(shù)，而縱向不變；當(dāng)圖形的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大或縮小一定倍數(shù)時(shí)，圖形就相應(yīng)地被縱向拉長(zhǎng)或壓縮該倍數(shù)，而橫向不變【例2】 如圖所示的小船是將坐標(biāo)為(1,0)，(3,0)，(4,1)，(2,1)，(2,3)，(1,2)，(1,1)，(0,1)，(1,0)的點(diǎn)用線段依次連接而成的，現(xiàn)將各點(diǎn)的坐標(biāo)作如下變化：縱坐標(biāo)保持不變

4、，橫坐標(biāo)分別變成原來(lái)的1.5倍，再將所得的點(diǎn)用線段依次連接起來(lái)，所得的圖案與原來(lái)的圖案相比有什么變化？解：縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)分別變?yōu)樵瓉?lái)的1.5倍，所得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)依次是：(1.5,0)，(4.5,0)，(6,1)，(3,1)，(3,3)，(1.5,2)，(1.5,1)，(0,1)，(1.5,0)，將各點(diǎn)用線段依次連接起來(lái)，所得圖案如圖所示，與原圖相比，整條船被橫向拉長(zhǎng)為原來(lái)的1.5倍析規(guī)律 坐標(biāo)與圖形變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系當(dāng)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大或縮小為原來(lái)的a倍時(shí)，圖形就要被縱向拉長(zhǎng)或壓縮為原來(lái)的a倍；當(dāng)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大或縮小為原來(lái)的b倍時(shí)，原圖形就要被橫向拉長(zhǎng)或壓縮為原來(lái)的b倍3圖形的

5、坐標(biāo)變化與圖形的軸對(duì)稱之間的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)圖形上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)乘1時(shí)，所得的新圖形與原圖形關(guān)于x軸對(duì)稱；當(dāng)圖形上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)乘1時(shí)，所得的新圖形與原圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；當(dāng)圖形上各點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘1時(shí)，那么所得到的新圖形與原圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱談重點(diǎn) 對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)稱情況可以簡(jiǎn)單記為：關(guān)于橫軸對(duì)稱，“橫不變，縱相反”；關(guān)于縱軸對(duì)稱，“縱不變，橫相反”；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，“全相反”【例3】 按要求回答問(wèn)題：(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,6)，(1,4)，(3,2)，(1,2)，并將各點(diǎn)用線段依次連接起來(lái)(2)將

6、上述各點(diǎn)作如下變化：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別變成原來(lái)的2倍，再將所得的點(diǎn)用線段按第一問(wèn)中的順序連接起來(lái)，所得的圖形與原來(lái)的圖形相比有什么變化？橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)分別加3呢？橫、縱坐標(biāo)分別乘1呢？分析：解決本題的關(guān)鍵是分別在兩坐標(biāo)軸上找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別平行于兩坐標(biāo)軸的直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)如要描點(diǎn)(1,6)的位置，先在x軸上找到點(diǎn)1，在y軸上找到點(diǎn)6，過(guò)這兩點(diǎn)分別平行于兩坐標(biāo)軸的直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；理解平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等圖形的特征解：(1)如圖所示(2)按題中的變化要求各點(diǎn)的坐標(biāo)依次是：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(6,6)，(2,4)，(6,2)，(2,2)所得的圖案如圖所

7、示，與原圖案相比，圖形被橫向拉伸為原來(lái)的2倍各點(diǎn)的坐標(biāo)依次是：(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,9)，(1,7)，(3,5)，(1,5)所得的圖案如圖所示，與原來(lái)的圖案相比，圖形向上平移了3個(gè)單位長(zhǎng)度各點(diǎn)的坐標(biāo)依次是：(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，6)，(1，4)，(3，2)，(1，2)所得的圖案如圖所示，與原圖案相比，圖形繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了180°，即兩個(gè)圖形關(guān)于O點(diǎn)成中心對(duì)稱4圖形的變換與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系將圖形放在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以求得各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，反過(guò)來(lái)，知道了一些點(diǎn)的坐標(biāo)，我們還可以將各點(diǎn)順次連接起來(lái)得到一些有趣的圖形通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化與圖形的變換，可以得

8、到圖形變換的規(guī)律圖形是由點(diǎn)組成的，點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生了變化，圖形也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化；圖形移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)也發(fā)生變化其變化規(guī)律為：(1)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)按比例增大時(shí)，圖形被橫向拉長(zhǎng)；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)按比例減小時(shí)，圖形被橫向“壓縮”(2)圖形向右平移時(shí)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)增大；圖形向左平移時(shí)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)減??；圖形向上平移時(shí)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)增大；圖形向下平移時(shí)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減小(3)橫坐標(biāo)加上一個(gè)數(shù)，縱坐標(biāo)不變時(shí)，圖形左、右平移(加負(fù)數(shù)，左移，加正數(shù)，右移)；縱坐標(biāo)加上一個(gè)數(shù)，橫坐標(biāo)不變時(shí)，圖形上、下平移(加正數(shù)，上移，加負(fù)數(shù)，下移)(4)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)乘1時(shí)，所得圖形與原圖形關(guān)

9、于x軸對(duì)稱；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)乘1時(shí)，所得圖形與原圖形關(guān)于y軸對(duì)稱圖1【例4】 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一個(gè)封閉的圖形ABCDE上各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(1,2)，C(2,1)，D(3,2)，E(2,0)(1)將各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上3，縱坐標(biāo)不變，并把得到的頂點(diǎn)依次連接，則所得的圖形和原圖形相比，位置有怎樣的變化？(2)如果將各頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加上3，橫坐標(biāo)不變，順次連接各頂點(diǎn)，所得圖形與原圖形的位置有什么變化？(3)將各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上4，縱坐標(biāo)都加上5，順次連接各頂點(diǎn)，所得的圖形與原圖形的位置有怎樣的變化？圖2解：(1)A，B，C，D，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上3，所得頂點(diǎn)的坐標(biāo)分

10、別是A1(1,0)，B1(4,2)，C1(5,1)，D1(6,2)，E1(5,0)，依次連接各點(diǎn)得圖形A1B1C1D1E1，圖形A1B1C1D1E1相當(dāng)于圖形ABCDE向右平移了3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的(如圖2)(2)A，B，C，D，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加上3，所得頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A2(2,3)，B2(1,5)，C2(2,4)，D2(3,5)，E2(2,3)，順次連接各點(diǎn)得到圖形A2B2C2D2E2，圖形A2B2C2D2E2相當(dāng)于圖形ABCDE向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的(如圖2)(3)各頂點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)都加上4，縱坐標(biāo)都加上5，所得頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A3(2,5)，B3(5,7)，C3(6,6)，D3(

11、7,7)，E3(6,5)依次連接各頂點(diǎn)，所得圖形A3B3C3D3E3相當(dāng)于先把圖形ABCDE向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的(如圖2) 5從變化的“魚(yú)”中探索坐標(biāo)變化與圖形變化的關(guān)系通過(guò)變化的“魚(yú)”，在坐標(biāo)系內(nèi)，將圖形的坐標(biāo)變化與圖形的平移、軸對(duì)稱、伸長(zhǎng)、壓縮巧妙地融合在一起，既體現(xiàn)了圖形的現(xiàn)實(shí)性、趣味性，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的深刻性以及數(shù)形結(jié)合的思想方法平移：原圖形的坐標(biāo)中，橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)分別增加(減少)a(a0)，則所得圖案被向上(向下)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，形狀、大小未發(fā)生改變；反之，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別增加(減少)a(a0)，則所得圖案被向右(向左)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度軸

12、對(duì)稱：原圖形的坐標(biāo)中，橫(縱)坐標(biāo)保持不變，縱(橫)坐標(biāo)分別乘1，則所得的圖案與原圖案關(guān)于橫軸(縱軸)對(duì)稱伸長(zhǎng)：新圖案的坐標(biāo)變?yōu)樵瓐D案坐標(biāo)的a倍，則將原圖案伸長(zhǎng)a倍，便可得新圖案壓縮：新圖案的坐標(biāo)變?yōu)樵瓐D案坐標(biāo)的(a1)，則將原圖案壓縮，便可得新圖案【例5】 下面的方格紙中畫(huà)出了一個(gè)“小豬”的圖案，已知每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)“小豬”所占的面積為多少？(2)在上面的方格紙中作出“小豬”關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖案(只畫(huà)圖，不寫(xiě)作法)；(3)以G為原點(diǎn)，GE所在直線為x軸，GB所在直線為y軸，小正方形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(_，_)分析：(1)只要數(shù)一數(shù)正方形的個(gè)數(shù)就能解決；