近幾年高考萬有引力及航天10難題詳析

1、WORD格式近幾年高考“萬有引力與航天”10難題詳析江蘇省特級(jí)教師戴儒京萬有引力與航天，歷來是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，體現(xiàn)在每年的高考試卷 中都有有關(guān)萬有引力與航天的題目，每套物理試卷或理綜試卷都有有關(guān)萬有引力 與航天的題目。本文就近幾年高考“萬有引力與航天”的難題 10題，給以詳細(xì) 解析，以幫助廣大高三或高一的學(xué)生學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容。當(dāng)你讀本文時(shí)，對(duì)每一題，還是先自己解一下，然后再看本文的解析與答案。1. （2010年浙江卷第20題）.宇宙飛船以周期為T繞地地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)， 由于地球遮擋陽光，會(huì)經(jīng)歷“日全食”過程，如圖所示。已知地球的半徑為 R, 地球質(zhì)量為M,引力常量為G,地球處置周期為T

2、o太陽光可看作平行光，宇航 員在A點(diǎn)測(cè)出的張角為0 ,則A.飛船繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度為2二 RTsin( :2)B. 一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為 T/ToC.飛船每次“日全食”過程的時(shí)間為 aT0/（2gD.飛船周期為T=2二 R Rsin(：2)；GM sin(：2)【解析】飛船繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度為v =空TRR由幾何關(guān)系知 sin(汽/2)=，所以 r =rsin(1 /2)2 二R二 v 二,Tsin(1 /2)A正確;因?yàn)镚mM r2 二 25卬）r所以 T=2nJ一=2nr,F .GM GM因?yàn)閞= R 所以T=2n R I R , D正確sin(1 /2)sin("2

3、) ； GM sin(： /2)一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為 n=To/T,所以B錯(cuò)誤；T飛船每次“日全食”過程的時(shí)間，如下圖所示，是飛船沿BAC圓弧從B到 C 的時(shí)間，因?yàn)?tan-ZOBC =R , sin- = -R-,所以/ OBC=ot ,時(shí)間 t =號(hào)-丁2r 2 r2 二所以C錯(cuò)誤；專業(yè)技術(shù)整理分享 Mm 2 二G 2 =m (R 幾)2 Ti【答案】AD【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周運(yùn)動(dòng)與航天知識(shí)及用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力。2. （2010安徽卷17）.為了對(duì)火星及其周圍的空間環(huán)境進(jìn)行探測(cè)，我國預(yù)計(jì)于2011年10月發(fā)射第一顆火星探測(cè)器“螢火一號(hào)”。假設(shè)探測(cè)器在離火星表面 高度分別為

4、和h2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期分別為T1和T2?；鹦强梢暈橘|(zhì)量分布 均勻的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，萬有引力常量為 Go僅利用以上數(shù)據(jù)，可 以計(jì)算出A.火星的密度和火星表面的重力加速度B.火星的質(zhì)量和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力C.火星的半徑和“螢火一號(hào)”的質(zhì)量D.火星表面的重力加速度和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力質(zhì)量M4二 2(R h1)3一GTi24 二 2(R h2)3GT22和火星的半徑R =,根據(jù)密度【解析】由于萬有引力提供探測(cè)器做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有公式得：p = M=f'。在火星表面的物體有GMl = mg,可得火星V 434二 R3R2一二 R3表面的重力加速度g = G,

5、故選項(xiàng)A正確。R2【答案】A3. （2010全國卷1。25）. （18分）如右圖，質(zhì)量分別為 m和M的兩個(gè)星球 A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為 L。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為 Go求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為 Tio但在近似處理問題時(shí)，常 常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期丁2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98 X024kg和7.35 Xi022kg。求T2與Ti兩者平方之比。（結(jié)果 保留3位小數(shù)）

6、【解析】A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬有引力提供向心力， 則A和B的向心力相等。且 A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速 度和周期。因此有m切2r=Mo2R, r+R = L,連立解得 R = mL , r = MLm Mm M對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得 GMm= m（）2 - LL2T M m'L3化簡彳馬丁=2冗G（M m）將地月看成雙星，由得1=2二L3 G(M m)將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得GMm 2：、2,=m( )LL2 T2422所以兩種周期的平方比值為守=喘產(chǎn)8m73510 =1.012 1.012【答案】(1)

7、 T =2njL. G(M m)4、（2009年海南物理6）.近地人造衛(wèi)星1和2繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分 別為Ti和T2,設(shè)在衛(wèi)星1、衛(wèi)星2各自所在的高度上的重力加速度大小分別為gi、g2,則A.g1g2B.D.g1g2【解析】衛(wèi)星繞天體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)由萬有引力提供向心力有 GM2m =m（竺）2R,RT.2可得Tr = K為常數(shù)，由重力等于萬有引力 GMm = mg,聯(lián)立解得g=GM,則R3R23 T4K24g與T3成反比。【答案】B5、（2009年重慶17）.據(jù)報(bào)道，嫦娥一號(hào)”和 嫦娥二號(hào)”繞月飛行器的圓形軌道 距月球表面分別約為200km和100km,運(yùn)動(dòng)速率分別為V1和V2,那么V

8、1和V2的 比值為（月球半徑取1700km）a 19A. 18D.1819【解析】 嫦娥一號(hào)”和 嫦娥二號(hào)”繞月作圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力有2GMm = mJ可得v= J GM- （M為月球質(zhì)量），它們的軌道半徑分R1=1900Km、 RRRR2=1800Km,則 V1：V2 =【答案】C6、（2009年全國卷II第26題）.如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn)，在 P 點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油， 假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為p石油 密度遠(yuǎn)小于p,可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力 加速度（正常值）沿豎直方向，當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和方向 會(huì)

9、與正常情況有微小偏高，重力回速度在原豎直方向（即 PO方向）上的投影相 對(duì)于正常值的偏離叫做 重力加速度反常為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲(chǔ) 量，常利用P點(diǎn)到附近重力加速度反?，F(xiàn)象，已知引力常數(shù)為G（1）設(shè)球形空腔體積為V,球心深度為d （遠(yuǎn)小于地球半徑），玩=乂求空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常（2）若在水平地面上半徑L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在 6與k6（k>1） 之間變化，且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為 L的范圍的中心，如果這種反 常是于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積P八d【解析】（1）如果將近地表的球形空腔填滿密度為 P的巖石，則該地區(qū)

10、重力加速 度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通過填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力GMmnmAg來計(jì)算，式中的m是Q點(diǎn)處某質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，M是填充后r球形區(qū)域的質(zhì)量，M = W 而r是球形空腔中心O至Q點(diǎn)的距離r =、d2 +x2 Ag在數(shù)值上等于由 于存在球形空腔所引起的 Q點(diǎn)處重力加速度改變的大小。Q點(diǎn)處重力加速度改 變的方向沿 OQ方向，重力加速度反常 Ag'是這一改變?cè)谪Q直方向上的投影g' = dAg 聯(lián)立以上式子得rG ：Vd22、3/2 ,(d x )G PV由式得，重力加速度反常&g '的最大值和最小值分別為（Ag ）max= d（飩焉=就冷由題設(shè)有9

11、g,篇=通（時(shí)焉4 聯(lián)立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為Lk2/3 -1,V =LkG ：(k2/3-1)【答案】（1）G Vd(2)d,Vk2/3 -1L2k、.GD(k2/3 -1)之比應(yīng)小于多少（結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）- * 一式中Te=1年rE=1天文單位7、（2009年天津卷第12題）.2008年12月，天文學(xué)家們通過觀測(cè)的數(shù)據(jù)確認(rèn)了 銀河系中央的黑洞 人馬座A*”的質(zhì)量與太陽質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，有一 星體S2繞人馬座A*做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半長軸為 9.50x 102天文單位（地球公 轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位），人馬座A*就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。觀測(cè)得

12、 到S2星的運(yùn)行周期為15.2年。（1）若將S2星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.50M102天文單位的圓軌道，試估算人馬 座A*的質(zhì)量Ma是太陽質(zhì)量Ms的多少倍（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）；（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，具具有的 動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m 的粒子具有勢(shì)能為Ep=-G Mm （設(shè)粒子在離黑洞無限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零），式中M、 R分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑。已知引力常量G=6.7m 10-11N-m2 3/2(d x )/kg2,光速c=3.0M108m/s,太陽質(zhì)量 Ms=2.0M 10設(shè)地球質(zhì)量為mE,公轉(zhuǎn)軌道半

13、徑為rE,周期為Te,則GM¥ = mE02rE0kg,太陽半徑 Rs=7.0108m,不考慮相對(duì)論效應(yīng)，利用上問結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座 A*的半徑Ra與太陽半徑Rg【解析】（1） S2星繞人馬座A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由人馬座 A對(duì)S2星的萬有 引力提供，設(shè)S2星的質(zhì)量為mS2,角速度為以周期為T,則MAmS2代入數(shù)據(jù)可得MA =4 106Ms(2)引力對(duì)粒子作用不到的地方即為無限遠(yuǎn)，此時(shí)料子的勢(shì)能為零。處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，具具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束 縛”，說明了黑洞表面處以光速運(yùn)動(dòng)的粒子在遠(yuǎn)離黑洞的過程中克服引力做功， 粒子在到達(dá)無限遠(yuǎn)之前，其動(dòng)能

14、便減小為零，此時(shí)勢(shì)能仍為負(fù)值，則其能量總和 小于零，則有 !mc2-G<02R依題意可知R=Ra, M=Ma可得代入數(shù)據(jù)得Ra2GM a：2_10RA < 1.2 1010mA17【答案】(1) 4X106 , (2) <178.(06天津理綜25)神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑 洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了 LMCX3雙星系統(tǒng)，它由可見星 A和不可見的暗星 B構(gòu)成.兩星 視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn) 動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示.引力常量為G由觀測(cè)能夠得

15、到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T.(1)可見星A所受日§星B的引力Fa可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m'的星體(視 為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m、m,試求m'(用m、m表示)；(2)求暗星B的質(zhì)量m與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m之間的關(guān) 系式：(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量 m的2倍，它將有可能成為黑 洞.若可見星A的速率v=2.7 x 105m/s,運(yùn)行周期T=4.7冗x 104s,質(zhì)量m=6 m, 試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G=6.67 x 10-11 N 02/ kg2, m=2.0 乂 1030 kg)【解析】(1)設(shè)

16、A、B的圓軌道半徑分別為ri、2,由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為.由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有FA=m 2r iFB=m2 2r 2Fa=Fb設(shè)A、B之間的距離為r,又r =ri+2,由上述各式行m1m2 .rlm2由萬有引力定律，有FA=Gmm r3將代入得F=Gm(mi m2)2 ri2令 FA=Gmim' ri比較可得m'=3m2(mi m2)22 由牛頓第二定律，有Gm3 = m, rirl又可見星A的軌道半徑一二三27r33T由式解得一m2- =(mi +m2)2 tG(3)將m=6 ms代入式，得33丁m2_ v T(6ms m2)22兀 G代入數(shù)據(jù)得3m

17、2(6ms m?)2 = 3.5 ms設(shè)m2=nm( n > 0),將其代入式,得3m22(6ms m2)n人 ms = 3.5 ms62L I)2n可見,3m2(6ms m2)2的值隨n的增大而增大，試令n=2,(6 1)ms =0.125ms ： 3.5 ms2n若使式成立，則n必大于2,即暗星B的質(zhì)量m必大于2m,由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞.3【答案】(1) m2 2(mi m2)m；_ v3T(m1 m2)22兀 G(3)暗星B有可能是黑洞9. (2008高考全國理綜2卷第25題，20分)我國發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星 沿近似于圓形的軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息

18、，讓衛(wèi)星軌道平面 緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號(hào)發(fā)回地球。 設(shè)地球和月球的質(zhì)量分 別為M和m,地球和月球的半徑分別為 R和Ri,月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星 繞月球的軌道半徑分別為r和ri,月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月 運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面， 求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微 波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間 (用M、m、R、Ri、r、ri和T表示, 忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)遮擋時(shí)間的影響)。【解析】如圖，O和O'分別表示地球和月球的中心。在衛(wèi)星軌道平面上， A是地 月連心線OO'與地月球面的公切線ACD的交點(diǎn)，D、C和B分別是該公切線與 地

19、球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱性，過A點(diǎn)在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn)。衛(wèi)星在BE弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋。設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m0,萬有引力常量為G,根據(jù)萬有引力定律有Mm-2-rMm02-1=m()2r/2 二、2= mo() r1T1式中，T1是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期。由式得T1 2 M r1 3(二)=(1)T m r設(shè)衛(wèi)星的微波信號(hào)被遮擋的時(shí)間為t ,則由于衛(wèi)星繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有tTi =式中，口 =NCO A,P =/COB。由幾何關(guān)系得r cos: = R - R|r1 cos - - R由式得t =T冗叫(arccosR - 3mrR1 ar

20、ccosB) r110. (2010上海物理24).如圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為m1 >m2、M(M L mi,M _ m2).在C的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針則它們的周期之比方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑之比ra:rb=1：4,;從圖示位置開始，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中,a、b、c共線了Ta : Tb =【解析】根據(jù)G萼=mr4二 2 /曰 丁 Fr ,得丁 二GM,所以工Tb在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中， 解法1。物理情境分析法a運(yùn)動(dòng)8周，a、b、c共線了多少次。在a運(yùn)動(dòng)第1周的時(shí)間內(nèi)，b運(yùn)動(dòng)了 1周，如下左圖，a與b共線1次,8bl在a運(yùn)動(dòng)第2到第4周的時(shí)間內(nèi)，b運(yùn)動(dòng)了

21、 3周，a每周與b共線2次，在a運(yùn)8動(dòng)第5周的時(shí)間內(nèi)，b運(yùn)動(dòng)了 1周，如上中圖，也是共線1次，在a運(yùn)動(dòng)第6到8第8周的時(shí)間內(nèi)，b運(yùn)動(dòng)了 3周，a每周與b共線2次，（上右圖是第8周）。所8以從圖示位置開始，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線了 14次。解法2。計(jì)算法設(shè)從圖示位置開始，在時(shí)間t內(nèi)a轉(zhuǎn)過的角度為生，則3=8 / =2t ；在時(shí)間t Ta內(nèi)b轉(zhuǎn)過的角度為*,則為=%t = 2" t。因?yàn)門a = 1 ,不妨設(shè)Ta =1,貝UTb =8, TbTb 8所以有工=2Q , 0b =-t ,轉(zhuǎn)換為角度為10a =360t , ¥ =45t ,要求從圖示位置 4開始，則從

22、圖示位置開始計(jì)時(shí)，因?yàn)檠啬鏁r(shí)針方向a在b前550 （筆者按原圖用量角器量的），所以應(yīng)該是9a = 360t +55 ,求在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c 共線了 次，即” “ =180n ,將19a =360t+55和，=45t代入并整理得:3611并且0 :二t .三8一 n -6363 為保險(xiǎn)起見，我逐次計(jì)算,25 一 一 n=1,t1=0.40,63n=2, t2 = = 0.97 , 63在a運(yùn)動(dòng)的第1周，a、b、c共線了 2次;_97. _.n=3, t3 = 1.54 ,63在a運(yùn)動(dòng)的第2周，a、b、c共線了 1次;133 n=4, t4 =2.11,63169 n=5, t

23、67; = = 2.68 ,63在a運(yùn)動(dòng)的第3周，a、205n=6, t6=3.25,63241n=7, t7 =絲=3.83, 63在a運(yùn)動(dòng)的第4周，a、c 277n=8, t8 = 4.40,63n=9, t9 =313 =4.97, 63在a運(yùn)動(dòng)的第5周，a、349 n=10, 305.54 ,63在a運(yùn)動(dòng)的第6周，a、385 一 n=11, 3 =空=6.11,63421n=12, t12 = 421 =6.68 ,63在a運(yùn)動(dòng)的第7周，a、457 八 n=13, 5 =也=7.25,63 493 n=14, 3 =7.83,63在a運(yùn)動(dòng)的第8周，a、b、c共線了 2次;b、c共線了

24、2次;b、c共線了 2次;b、c共線了 1次;b、c共線了 2次;b、c共線了 2次;529n=15, t15 =529=8.40 > 8,不再計(jì)算。63a、b、c共線了 14次綜上，從圖示位置開始，在 b運(yùn)動(dòng)一周的過程中, 本題考查萬有引力和圓周運(yùn)動(dòng)。難度：難。難在以前白題目從a、b共線開始，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線了 16 次，本題開始時(shí)刻a、b不共線，所以少了 2次，為14次。解法3。公式法設(shè)經(jīng)過時(shí)間t , a、b、c共線1次，則6at -8bt =冗，因?yàn)?空，且£ =1 TTb 8所以0a =8-，b ,所以在時(shí)間Tb內(nèi)a、b、c共線次數(shù)為n = 一 =14?！敬鸢浮?:8,14進(jìn)一步研究，a、b、c共線次數(shù)是否與初始位置有關(guān)，有什么關(guān)系？之前，我們看到過這樣的題，初始位置 a、b、c在一條線上，如下圖貝肝艮據(jù)露一 eb =180n ,將19a =360t和9b =45t代入并整理得：t = 36 n63且0 <t <80所以n/、變。a、b、c共線的時(shí)間（時(shí)刻）分別是:8 s75612162024丁,28323640尸丁, Vs4448527s, 7S, 3s,其中在a運(yùn)動(dòng)的第1周,a、b、c共線1次（