用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱幾何問題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱研究幾何問題文案大全學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)要解決的問題:分三個(gè)層次直接的旋轉(zhuǎn)作圖或者旋轉(zhuǎn)關(guān)系的敘述；增加干擾線段，隱含部分已知，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)關(guān)系，并證明 某些結(jié)論需要添加輔助線，完善圖形創(chuàng)造情境，進(jìn)行證明。要重視的問題：共頂點(diǎn)的等腰三角形的出現(xiàn)是實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的情境；（輔助線添加方向）一、平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱在幾何題中的應(yīng)用1.已知： ABC與4ADE都是等腰直角三角形.求證：BD± EC.2.如圖，已知 AB室 ADIE /B= 45若AC DE交于點(diǎn)F,則/ EFC,/ C= 20 , / EAB= 30 ,貝U/ D=°3.如圖， ABC中，/ BAG120

2、。，以BC為邊向形外作等邊 BCD把 ABD著點(diǎn)D按順 時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60o后到ECD勺位置.若AB=3, AC=2,求/ BAD勺度數(shù)和AD的長(zhǎng).4.已知：如圖， A、B、C在同一直線上，且 AABE與ABCD都是等邊三角形，求證: AD =CE.拓展 如圖1,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),（1）求證：AN=BM（2）求證： 4CEF為等邊三角形；（3）將 ACMg點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明） ACM CBN等邊三角形，直線90o ,其他條件不變，在圖AZ MC于點(diǎn)E, BM CN交于點(diǎn)F.2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩5.如圖，已知正方形 ABC日口

3、BC邊上一點(diǎn)E,將直角三角形 ABE第點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再沿BC方向平移，平移距離 是線段BC的長(zhǎng)度，請(qǐng)畫出圖形.并回答：旋轉(zhuǎn)后三角形的斜邊與AE有什么關(guān)系？為什么？二、常見的利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱變換作的輔助線幾何問題中的輔助線是對(duì)同學(xué)們幾何思維能力的考驗(yàn)，通過分析找到輔助線的添加方法，能夠使幾何問題簡(jiǎn)化，有助于問題的解決.同時(shí)，通過研究平面幾何的輔助線的添加方法，能夠鍛煉同學(xué)們分類研究問題的能力.平面幾何的輔助線有一定的規(guī)律，而這些規(guī)律大多與幾何圖形的三種變換有關(guān)，下面我們就來研究常見輔助線與幾何圖形變換的 關(guān)系.1 .（三角形的倍長(zhǎng)中線）已知：在 ABC中，AB=AC CD

4、是中線，延長(zhǎng) AB到E,使BE=AB連結(jié)CE.求證：CD=1 CE.2拓展1如圖1,已知 ABC中，AD是4ABC的中線，AB=& AC=6,求AD的取值范圍.提示：延長(zhǎng)AD至A，使A D= AD連結(jié)BA .根據(jù)“ SAS'易證 A Bg ACD彳A AC= A B.這1將 AC轉(zhuǎn)移到 A，BA中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可解.拓展2如圖2,已知 ABC中，AB= AC, D在AB上，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 BD= CE, DE與BC交于點(diǎn)F.求證：DF=EF提示：此題輔助線作法較多，如：彳DG/ AE交BC于G;彳EH/ BA交BC的延長(zhǎng)線于 H;再通過證三角形全等得 DF=

5、 EF.2 .（三角形的翻折角平分線）已知：在AABC中，/B = 2/C, AD是/BAC的平分線.求證：AB+BD = AC.拓展1如圖，已知：在AABC中，ABAC,AD是/BAC的平分線，P是AD上任意一點(diǎn).求證：AB-AC>PB-PC .實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔A拓展2已知：A ABC中，/ A=901 AD是BC邊上的高，BE是角平分線，且交 AD于P.求證：AE=AP.3 .（梯形的線段倍長(zhǎng)）已知：梯形 ABCD43, AD/BC, E是DC的中點(diǎn)，AE平分/ BAD求證：AB=AD+BC拓展 1 如圖，已知：在梯形 ABCD43, AB/CD, / ADC=90 , F 為 BC的中

6、點(diǎn)，/ AFC=3Z BAF.求證：CD=CF.拓展2已知：直角梯形 ABCD, AB/DC, AB! AD, F為BC的中點(diǎn)，CF=DC求證：/ AFC=2 BAF文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔拓展3已知：如圖5 ,在梯形A B C中，AD / BC,M、N分別是BD、 AC的中點(diǎn)。求證：一 1 一MN /BC,MN = (BC -AD)。 24 .(正方形中的三角形旋轉(zhuǎn))已知：如圖E是正方形ABCD* BC上任意一點(diǎn)，AF平分角EA眩 CD于F,試說明 BE+DF=AE.拓展1如圖，已知：在正方形ABC珅，E、F分別是BC CDk的點(diǎn)，若有BE+DF =EF . 求：/EAF的度數(shù).拓展2如圖，已知

7、：在正方形 ABC, E、F分別是BC CD上的點(diǎn)，若有/EAF=45' 求證：BE DF -EF .文案大全拓展3如圖，正方形 ABCM長(zhǎng)為1, AR AD上各有一點(diǎn)P、Q若 APQ的周長(zhǎng)為2.求/ PCQW大小.拓展4如圖，在正方形ABCD43,E、F分別為BCDC上的點(diǎn)，且/ EAF=45o ,AFUEF.求證：AH=AB拓展5如圖，正方形 ABCDM兩條與邊平行的線段 EF、GH>割成4個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形 PFCH勺面 積恰是矩形AGP前積的2倍.試確定/ HAF的大小，寫出推導(dǎo)的過程.5 .（三角形的輔助線旋轉(zhuǎn)）已知，如圖在ABC中，AB=AC /

8、BAC=90 , / DAE=45 ,BD=2 CE=3 .求證：DE的長(zhǎng).拓展1如圖，在等腰三角形 ABC中，P是三角形內(nèi)的一點(diǎn)， 且/ APB=Z APC求證PB=PC拓展2 4ABC中，AB=AC D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，若/ ADB>/ADC求證/ DBO/ DCB分析 將 ABC以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一角度/ BAC到 ACE的位置.連 DE由/ ADB> /ADC 得 /AEC> /ADC 又 ZADE=/ AED 相減，得 Z DEO / EDCCD>CE即 CD>BD 從而/ DBO / DCB拓展 3 若 P為正方形 ABCD*J一點(diǎn)，PA： PB： P

9、C=1 ： 2 ： 3.試證/ APB=135 .分析利用正方形的特點(diǎn)設(shè)法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)使AR PR PC相對(duì)集中，為簡(jiǎn)單起見不妨設(shè)PA=1, PB=2, PC=3.繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90o ,CB國(guó)IJ ABE的位置，這時(shí) BE=2, AE=3, / PBE=9 fPE=2& , / BPE=45o 。又_22_2AP PE =1 8 = 9 = AE /APE=90 . 于是 /APB=135 .拓展4在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P.連接P與各頂點(diǎn)的三條線段的長(zhǎng)為 3、4、5.求正三角形的邊長(zhǎng).（答案：J25+13/3 ）分析 將4CPB旋轉(zhuǎn)到 AP'B,連接PP',延長(zhǎng)BP,過

10、A作AD± BD.易知 APP'是直角三角形，因?yàn)? BPP'=60o ,所 以/APD=30) ,貝U AD=2 DP=2j3.6 .（軸對(duì)稱變換（翻折問題）（1）如圖，將矩形 ABCD&著直線BD折疊，使點(diǎn) C落在C'處，BC'交AD于E, AD=8 AB=4.求 BED的面積.（2）如圖，將邊長(zhǎng)為12厘米的正方形 ABC所疊，使得點(diǎn) A落在邊CD上的E點(diǎn)，然后壓平得折痕 FG若FG的長(zhǎng)為 13厘米.求線段CE的長(zhǎng).使點(diǎn)B落在直線MNI±,得到落點(diǎn)B'和折(3)如圖，點(diǎn) M N為矩形ABCT組對(duì)邊的中點(diǎn)，將矩形的一角向內(nèi)折

11、疊, 痕AE延長(zhǎng)EB'交AD于F.判斷 AEF是什么三角形，并說明理由.EF,如圖(1)所示.接著，使點(diǎn)C不B',折痕為GC如圖(2)所示.連AB',(4)把一張正方形紙片ABCDA中間對(duì)折后仍然攤平，得折痕為 動(dòng)，把B點(diǎn)處的紙向右上方折起來使 B點(diǎn)落在EF上，得落點(diǎn)為 問圖中/ GAB是多少度？求/ GAB相當(dāng)于求/ AB'E顯然三角形CGEft三角形CGB是全等的，因?yàn)槭菍?duì)折得到的，所以 CB'=CB=1/2CF又因?yàn)镋F垂直于BC所以/ FBC=30°假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,算出B'F=(根號(hào)3) /2所以B'E=1-(根號(hào)3

12、) /2所以 tan /AB'E=AE/B'E=(1/2) +(1-(根號(hào) 3) /2)=2+根號(hào) 3 所以 /AB'E=75° =/GAB'(1)已知：如圖 2,在梯形 ABCDK AB/CD,/A=60：AD = BC = DC .求證：AB = 2CD .(2)已知：如圖3,在梯形 ABCD中，ABCD,AC=BD .求證：梯形 ABCD是等腰梯形.D£ A8(3)已知：如圖 7,在梯形 ABCD中，AB/CD,/A+/B = 90M、N分別是DC、AB的中點(diǎn).求證:1MN = (AB -CD).2幾何綜合7 .如圖1,在DABC珅，A

13、已BC于E, E恰為BC的中點(diǎn)，tanB=2.(1)求證：ADAE(2)如圖2,點(diǎn)P在BE上，作ED DP于點(diǎn)F,連結(jié)AF求證：DF -EF =42AF ;(3)請(qǐng)你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)(P不與點(diǎn)E重合)時(shí)，作EF± DP于點(diǎn)F,連結(jié)AF,線段DF EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論.圖1圖2圖38 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y = J3x + 3，3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0),連結(jié)BC.(1)求證： ABB等邊三角形；(2)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上，連結(jié) AP,彳AP的垂直平分線，垂足為點(diǎn) D,并

14、與y軸 交于點(diǎn)D,分別連結(jié)EA EP若CP= 6,直接寫出/ AEP的度數(shù)；若點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)(P不與點(diǎn)C重合)，/ AEP的度數(shù)是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出/ ADP的度數(shù)；(3)在(2)的條件下，若點(diǎn) P從C點(diǎn)出發(fā)在BC的延長(zhǎng)線上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.EC與AP于點(diǎn)F,設(shè)4AEF的面積為S, 4。尸巾勺面積為S2,y=S S2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (t>0)秒時(shí)，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.9 .已知：如圖 1,點(diǎn)P在線段 AB上(AP> PB), C、D E分別是 AP、PB AB 的中點(diǎn)，正方形 CPFG正方形PDH酢直線AB同側(cè).(1)求證：

15、EH提等腰直角三角形；(2)若將圖1中的射線PB連同正方形PDH娥點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，其它已知條件不變，如圖2,判斷 EHG還是等腰直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由.10 如圖，正方形 ABCD勺對(duì)角線 AC與BD相交于點(diǎn) M 正方形 MNPQf正方形 ABCDi:等，射線 MNf MQ不過A、B、C D四點(diǎn)且分別交 ABCM邊于E、F兩點(diǎn).(1)求證：ME=MFB(2)若將原題中的正方形改為矩形，且BC=2AB=4,其他條件不變，探索線段 MEW線段MF的數(shù)量關(guān)系.11 如圖10-1,四邊形ABC皿正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C D不重合)，以CG為一邊在正方形 ABCt>作正

16、方形CEFG連結(jié)BG DE我們探究下列圖中線段 BG線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：(1)請(qǐng)直接寫出圖10-1中線段BG線段DE的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖10-1中的正方形CEF凝著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度 a ,得到如圖10-2、如圖10-3情形.請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖10-2證明你的判斷.(2)將原題中正方形改為矩形(如圖10-4 10-6）,且 AB =a,BC =b,CE =ka,CG =kb （a=b,kM0），試判斷(1)中得到的結(jié)論哪個(gè)成立，哪個(gè)不成立？并寫出你的判斷，不必證明（圖 10-4）（圖 10-5

17、）（圖 10-6）1CC（3）在圖 10-5 中，連結(jié) DG、BE ,且 a =4,b = 2, k =,則 BE2+DG2 =21.如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD43, E是BC邊上任意一點(diǎn)，把正方形沿著 ED與邊CD交于點(diǎn)F。(1)當(dāng)點(diǎn)E為BC&中點(diǎn)時(shí)，求ECF勺周長(zhǎng)？連結(jié)AE, AF,求/ EAF勺度數(shù)？GHf疊，使A與E重合，D與D'重合,(2)當(dāng)點(diǎn)EBBC&上運(yùn)動(dòng)時(shí)，(1)中的結(jié)論變化嗎？試說明理由。2 .已知正方形紙片 ABCD勺邊長(zhǎng)為2.操作：如圖1,將正方形紙片折疊，使頂點(diǎn) A落在邊CD上的點(diǎn)P處(點(diǎn)P與C D不重合)，折痕為EF,折疊后AB邊落在PQ

18、的位置，PQ與BC交于點(diǎn)G探究：(1)觀察操作結(jié)果，找到一個(gè)與 4EDP相似的三角形，并證明你的結(jié)論;(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與 EDP周長(zhǎng)的比是多少(圖 2為備用圖)？圖13 .幾何模型：條件如下左圖， A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線 l上確定一點(diǎn)P ,使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn) A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連結(jié)A'B交l于點(diǎn)P,則PA + PB= AB的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié) BD ,由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連結(jié)ED交AC于P ,則PB + PE的最小值是 ；(2)如圖 2,。的半徑為 2,點(diǎn) A、B、C 在。上，OA_LOB, NAOC =60° , P是 OB 上一動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PC 的最小值是;(