高中數(shù)學(xué) 4.12《圓的一般方程》參賽課件 新人教A版必修2

1、圓的一般方程圓的方程圓的一般方程P 78 P88教學(xué)目標(biāo)課時(shí)小結(jié)例題分析新課講解課后作業(yè)課堂練習(xí)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)( (二二) )能力目標(biāo)能力目標(biāo) 1.1.掌握圓的一般方程掌握圓的一般方程, ,分析一般方程的特點(diǎn)分析一般方程的特點(diǎn). . 2.2.培養(yǎng)用配方法求圓心和半徑培養(yǎng)用配方法求圓心和半徑, ,以及用待定系數(shù)法由已知以及用待定系數(shù)法由已知 條件導(dǎo)出圓的方程的能力條件導(dǎo)出圓的方程的能力. .( (三三) )德育目標(biāo)德育目標(biāo) 1.1.滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法, ,提高學(xué)生提高學(xué)生 的整體素質(zhì)激勵學(xué)生創(chuàng)新、勇于探索的整體素質(zhì)激勵學(xué)生創(chuàng)新、勇于探索

2、. .( (一一) )知識目標(biāo)知識目標(biāo) 1.1.了解掌握圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征了解掌握圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征. .能熟練掌握一般方能熟練掌握一般方 程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化. . 2.2.運(yùn)用待定系數(shù)法運(yùn)用待定系數(shù)法, ,由已知條件導(dǎo)出圓的一般方程由已知條件導(dǎo)出圓的一般方程. .圓的一般方程返回復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3.3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)基本要素圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)基本要素: : 是是 和和 . .1.1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2. . 其中圓心坐標(biāo)為其中圓心坐標(biāo)為C(a,bC(a,b),),半徑為

3、半徑為r.r.2.2.當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上, ,這時(shí)這時(shí)a=b=0,a=b=0, 那么圓的方程為那么圓的方程為x x2 2+y+y2 2=r=r2 2. .圓心坐標(biāo)圓心坐標(biāo)半徑半徑圓的一般方程研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開, ,化簡化簡, ,整理整理, ,可得可得 x x2 2+y+y2 2-2ax-2by+(a-2ax-2by+(a2 2+b+b2 2-r-r2 2)=0,)=0,取取D=-2a,E=-2b,F=aD=-2a,E=-2b,F=a2 2+b+b2 2-r-r2 2, ,可寫成可寫成:x:x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F

4、=0.+Dx+Ey+F=0.也就是說也就是說: : 任何一個(gè)圓的方程都可以通過展開寫成下面方程任何一個(gè)圓的方程都可以通過展開寫成下面方程的形式：的形式：x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 請大家思考一下請大家思考一下,反過來講反過來講,形形如的方程的曲線是否一定如的方程的曲線是否一定是一個(gè)圓呢？下面我們來深是一個(gè)圓呢？下面我們來深入研究這一方面的問題入研究這一方面的問題. 圓的一般方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2研究二元二次方程表示的圖形研究二元二次方程表示的圖形 再將上述方程再將上述方程x x2 2+y+y2 2+D

5、x+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 左邊運(yùn)用配方法左邊運(yùn)用配方法, ,得得(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2= = D D2 2E E2 22 22 2D DE E4 4F F4 4 顯然是不是圓方程與顯然是不是圓方程與 是什么樣的數(shù)是什么樣的數(shù) 密切相關(guān)密切相關(guān) 2 22 2D DE E4 4F F4 4 (1)(1)當(dāng)當(dāng)D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0時(shí)時(shí), ,式可化為式可化為(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=( )=( )2 2 D D2 2E E2 22222DE4FDE4F2 2方程表示以方程表示以(- ,- )(- ,-

6、 )為圓心、以為圓心、以 為半徑的圓為半徑的圓. .D D2 2E E2 22 22 21 1D DE E4 4F F2 2 (2)(2)當(dāng)當(dāng)D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0時(shí)時(shí), ,式可化為式可化為(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=0=0 D D2 2E E2 2方程只有實(shí)數(shù)解方程只有實(shí)數(shù)解x=- ,y=- ,x=- ,y=- ,表示一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)點(diǎn)(- ,- ).(- ,- ). D D2 2E E2 2D D2 2E E2 2(3)(3)當(dāng)當(dāng)D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0時(shí)時(shí), ,式可化為式可化為(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+

7、(y+ )2 20 0 D D2 2E E2 2方程沒有實(shí)數(shù)解方程沒有實(shí)數(shù)解, ,因而它不表示任何圖形曲線因而它不表示任何圖形曲線. . 圓的一般方程得結(jié)論、給定義得結(jié)論、給定義方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的軌跡可能是圓、點(diǎn)或無軌跡的軌跡可能是圓、點(diǎn)或無軌跡. . 我們把我們把D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0時(shí)時(shí)x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0所表示的所表示的圓的方程稱為圓的一般方程圓的方程稱為圓的一般方程. . 學(xué)過兩種形式的圓的方學(xué)過兩種形式的圓的方程程( (標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程)

8、)之后之后, ,誰能指出它們各自誰能指出它們各自的優(yōu)點(diǎn)呢？的優(yōu)點(diǎn)呢？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2圓的一般方程圓的一般方程 x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特點(diǎn)突出了形式上的特點(diǎn): :(1)x(1)x2 2和和y y2 2的系數(shù)相同的系數(shù)相同, ,且不等于且不等于0 0(2)(2)沒有沒有xyxy這樣的二次項(xiàng)這樣的二次項(xiàng). . 以上兩點(diǎn)是二元二次方程以上兩點(diǎn)是二元二次方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圓的表示圓的 條件條件

9、. . 必要不充分條件必要不充分條件充要條件充要條件是什么呢是什么呢? ?明確指出了圓心和半徑明確指出了圓心和半徑圓的一般方程例題分析例題分析例例1.1.求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)O(0,0),MO(0,0),M1 1(1,1),M(1,1),M2 2(4,2)(4,2)的圓的方程的圓的方程, ,并求并求 出這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑出這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑. . 分析分析:圓的一般方程需確定三個(gè)系數(shù)圓的一般方程需確定三個(gè)系數(shù), ,用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法. . 解解:設(shè)所求的圓的方程為設(shè)所求的圓的方程為x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,因?yàn)橐驗(yàn)镺 O、M M1 1、M

10、M2 2 三點(diǎn)在圓上三點(diǎn)在圓上, ,所以它們的坐標(biāo)是方程的解所以它們的坐標(biāo)是方程的解, , 解此方程組解此方程組, ,可得可得:D=-8,E=6,F=0. :D=-8,E=6,F=0. 所求圓的方程為所求圓的方程為:x:x2 2+y+y2 2-8x+6y=0.-8x+6y=0. F F0 0D DE EF F2 20 04 4D D2 2E EF F2 20 00 0 將此方程左邊配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程將此方程左邊配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-4)(x-4)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=5=52 2, ,于是圓心坐標(biāo)于是圓心坐標(biāo)(4,-3),(4,-3),半徑為半徑為r=5.r=5. 方法方法:

11、 :待定系數(shù)法待定系數(shù)法和配方法和配方法圓的一般方程例題分析例題分析圓的一般方程圓的一般方程例例2.2.經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)M(-6,0)M(-6,0)作圓作圓C:xC:x2 2+y+y2 2-6x-4y+9=0-6x-4y+9=0的割線的割線, ,交圓交圓 C C于于A A、B B兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,求線段求線段ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)P P的軌跡的軌跡. . 解解: :圓圓C C的方程可化為的方程可化為(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,其圓心為其圓心為C(3,2),C(3,2), 半徑為半徑為2.2.設(shè)設(shè)P(x,yP(x,y) )是軌跡上任意一點(diǎn)是軌跡上任意一點(diǎn).CPMP.

12、CPMP k kCPCPkkMPMP=-1,=-1,即即 =-1.=-1. 化簡得化簡得x x2 2+y+y2 2+3x-2y-18=0,+3x-2y-18=0, 點(diǎn)點(diǎn)C C在曲線上在曲線上, ,并且曲線為圓并且曲線為圓C C內(nèi)部的一段圓弧內(nèi)部的一段圓弧. . y2yy2yx3x6x3x6 1.1.課本第課本第7979頁練習(xí)頁練習(xí)1,2.1,2. 2. 2.補(bǔ)充練習(xí)補(bǔ)充練習(xí): :課堂練習(xí)課堂練習(xí)注意注意: :圓圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m=m2 2的半徑是的半徑是|m|.|m|.圓的一般方程(1)(1)方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+D

13、x+Ey+F=0表示的曲線是以表示的曲線是以(-2,3)(-2,3) 為圓心為圓心,4,4為半徑的圓為半徑的圓. .求求D D、E E、F F的值的值答案答案:D=4,E=-6,F=-3:D=4,E=-6,F=-3(2)(2)求經(jīng)過三點(diǎn)求經(jīng)過三點(diǎn)A(1,-1)A(1,-1)、B(1,4)B(1,4)、C(4,-2)C(4,-2)的的圓圓 的方程的方程. .待定系數(shù)法待定系數(shù)法,答案答案:x:x2 2+y+y2 2-7x-3y+2=0.-7x-3y+2=0. 課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)通過本節(jié)學(xué)習(xí), ,首先要掌握圓的一般方程首先要掌握圓的一般方程, ,能能進(jìn)行圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的互化進(jìn)行圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的互化. . 其次其次, ,還應(yīng)該根據(jù)已知條件與圓的兩種形式的還應(yīng)該根據(jù)已知條件與圓的兩種形式的方程的不同特點(diǎn)靈活選取恰當(dāng)?shù)姆匠谭匠痰牟煌攸c(diǎn)靈活選取恰當(dāng)?shù)姆匠? ,再利用待再利用待定系數(shù)法和配方法求解定系數(shù)法和配方法求解. . 若條件與圓心、半徑有關(guān)若條件與圓心、半徑有關(guān), ,則宜用標(biāo)準(zhǔn)方程則宜用標(biāo)準(zhǔn)方程; ; 若條件主要是圓所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)若條件主要是圓所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo), ,則宜用一則宜用一般方程般方程. .圓的一般方程圓的一般方程作業(yè)圓的一般方