《大學(xué)物理(上冊)》課件-第8章

第8章靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)8.1靜電場中的導(dǎo)體8.2電容、電容器8.3靜電場中的電介質(zhì)8.4電介質(zhì)中的高斯定理本章小結(jié)習(xí)題

8.1靜電場中的導(dǎo)體

8.1.1靜電感應(yīng)和靜電平衡如圖8.1所示，當導(dǎo)體(金屬板G)放入電場強度為E0的外電場中時，導(dǎo)體內(nèi)部正、負電荷將重新分布：在導(dǎo)體的兩端出現(xiàn)等量、異號的電荷，這種現(xiàn)象稱為靜電感應(yīng)現(xiàn)象。圖8.1靜電感應(yīng)現(xiàn)象

金屬板G內(nèi)部的電子在電場力的作用下，將逆著外電場的方向運動，于是在金屬板G的兩側(cè)出現(xiàn)等量異號電荷。這些電荷在金屬板G內(nèi)部建立起一個附加電場，其場強E'和外電場的方向相反。這樣，金屬板G內(nèi)部的場強E是E0和E'這兩個場強的疊加，即E=E0+E'。因為E和E'的方向相反。所以它們的大小滿足關(guān)系式E=E0-E'。開始時，E'<E0，金屬板G內(nèi)部的電場強度的方向向右，自由電子不斷地向左運動，從而使E'增大，直到E'=E0，金屬板G內(nèi)部的電場強度為零為止。這時，導(dǎo)體內(nèi)部的自由電子停止定向運動導(dǎo)體的這種狀態(tài)稱為靜電平衡狀態(tài)。

8.1.2導(dǎo)體靜電平衡條件

只有滿足以下兩個條件，導(dǎo)體才能處于靜電平衡：

①導(dǎo)體內(nèi)任一點的電場強度都等于零。

②導(dǎo)體表面緊鄰處的電場強度必定和導(dǎo)體表面垂直。

如果導(dǎo)體內(nèi)任一點的電場強度不等于零，則電荷在電場力的作用下將繼續(xù)運動，此時就不能達到靜電平衡了。由此我們可以得到以下結(jié)論：

①導(dǎo)體是等勢體，其表面是等勢面。

②導(dǎo)體表面的電場強度都垂直于導(dǎo)體表面。

研究等勢面可以進一步證明上述結(jié)論的正確性，并且可以得出以下幾點結(jié)論：

①在靜電場中，沿等勢面(線)移動電荷時，電場力所做的功為零。

②在靜電場中，電場線與等勢面(線)成正交關(guān)系，電場線的方向指向電勢下降的方向。

③等勢面的疏密程度能表示出場強的大小，等勢面越密，電場強度就越大。

④導(dǎo)體靜電平衡時，其內(nèi)部沒有凈電荷，電荷都分布在其表面。

導(dǎo)體靜電平衡時，其表面上各處的電荷密度與該處緊鄰處的電場強度的大小成正比，即，其中

，金屬介質(zhì)也可用此介電常數(shù)。

下面證明第4個結(jié)論。

如圖8.2所示，在導(dǎo)體表面附近做一圓柱形高斯面，只有上底面有電通量，其余各個面都沒有電通量。所以

而

所以

圖8.2電荷面密度與電場強度關(guān)系

導(dǎo)體靜電平衡時，其表面上各處的電荷密度與各處表面的曲率有關(guān)，曲率越大，面電荷密度越大，在尖端附近的面電荷密度最大，如圖8.3所示。尖端上的電荷過多時，會產(chǎn)生尖端放電現(xiàn)象。這是因為尖端上的電荷密度很大，導(dǎo)致其周圍的電場很強，空氣中的電子或離子在強電場的作用下，做加速運動時就可以獲得足夠大的能量，以至于它們和空氣分子相碰，又產(chǎn)生新的帶電粒子，由此而產(chǎn)生大量的帶電粒子。

與尖端上所帶電荷符號相異的粒子飛向尖端；而與尖端上所帶電荷符號相同的粒子則飛離尖端，就像尖端上的電荷被“噴射”出來一樣。在高壓設(shè)備中，為了防止因尖端放電而引起的危害和漏電損失，輸電線的表面應(yīng)是光滑的，承受高電壓的零部件也必須做得十分光滑并盡可能做成球形。相反，火花放電設(shè)備的電極往往做成尖端形狀。避雷針就是利用尖端的電場強度大，空氣被電離，形成放電通道，使云地間電流通過導(dǎo)線流入地下而達到避雷的目的。

圖8.3尖端放電示意圖

8.1.3有導(dǎo)體存在時靜電場分析與計算

分析有導(dǎo)體存在時的靜電場的問題，要根據(jù)以下規(guī)律來解決：

①電荷守恒，導(dǎo)體上電荷重新分布時，其總電量不變。

②應(yīng)用高斯定律。

③導(dǎo)體內(nèi)任一點的電場強度都等于零。應(yīng)用導(dǎo)體內(nèi)場強為零，適當選擇高斯面，可得出電荷和電場的關(guān)系。

④相互連接的導(dǎo)體靜電平衡時，電勢是相等的。

【例8.1】無限大的帶電平面(其面電荷密度為σ)的場中平行放置一金屬平板，如圖8.4所示，求金屬板兩面的電荷面密度。

圖8.4金屬平板在無限大平面內(nèi)

【例8.2】有一外徑為R1，內(nèi)徑為R2的金屬球殼，在球殼內(nèi)放一半徑為R3的同心金屬球，若使球殼和球均帶上q的正電荷，求兩球體上電荷如何分布，球心的電勢是多少？

圖8.5例8.2圖

【解】先計算各點的電場強度，然后在計算出球心的電勢。由于電場具有對稱性，可用高斯定律計算出各點的場強，設(shè)任取一點到球心的距離為r，可先從球內(nèi)開始逐漸向外求解。

①時，點在同心金屬球的內(nèi)部，由于靜電平衡的條件，其電場強度為

8.2電容、電容器

8.2.1孤立導(dǎo)體的電容我們已經(jīng)知道，真空中一半徑為R帶電量為Q的孤立導(dǎo)體金屬球的電勢為(取無窮遠處為電勢零點)，由理論和實驗可以證明，該導(dǎo)體的電勢與它所帶的電量成正比。因此定義：孤立導(dǎo)體所帶量Q與其電勢U的比值為該導(dǎo)體的電容，用符號C表示，即

因此，真空中孤立導(dǎo)體金屬球的電容為。它是反映導(dǎo)體自身性質(zhì)的物理量，只與導(dǎo)體的大小和形狀有關(guān)，與導(dǎo)體是否帶電無關(guān)。

在國際單位制中，電容的單位是法拉，符號為F，

。

實際上1F非常大，常用的單位是微法μF、

皮法pF：。

8.2.2電容器

電容器是一種常見的儲存電荷及電能的元器件，電容器的大小和形狀不一，種類繁多，但是絕大多數(shù)電容器的結(jié)構(gòu)是相同的，一般都是由兩個用電介質(zhì)(絕緣材料)隔開的導(dǎo)體組成，這兩個導(dǎo)體稱為電容器的兩個電極。根據(jù)電極的形狀可以將電容器分為平板電容器、球形電容器和圓柱形電容器等。

1.平板電容器的電容

平板電容器由靠得很近、大小相等且相互平行的兩塊金屬板組成。設(shè)兩板的面積為S，極板間的距離為d，如圖8.6所示。電容器充電后，兩極板分別帶有電荷+Q和-Q，兩板間為勻強電場。由高斯定理可求得其電場強度為，因此兩極板間的電勢為

根據(jù)電容的定義

從式(8-6)可知：平行板電容器的電容與極板面積成正比，與板間距離成反比，而與它所帶的電量無關(guān)。

兩條輸電線之間、電子線路中兩段導(dǎo)線間都存在電容，這種電容實際上反映兩部分導(dǎo)體間通過電場的相互作用和影響，稱為“雜散電容”或“分布電容”，在有些情況下(例如高頻電路中)，它會對電路產(chǎn)生明顯的影響。

圖8.6平板電容器

2.圓柱形電容器的電容

圓柱形電容器由兩個不同半徑的同軸金屬圓柱筒A和B組成，圓柱筒的長度L遠大于其半徑，如圖8.7所示。

圖8.7圓柱形電容器

已知兩圓柱的半徑分別為RA和RB，兩柱面分別帶有電荷+Q和-Q，其間為勻強電場。由高斯定理可求得其電場強度為：在或時，；在時，，它們的方向均垂直于圓柱的軸線。因此，極板電勢差為

因為，所以有

3.球形電容器的電容

一球形電容器內(nèi)外半徑分別為R1和R2，假設(shè)內(nèi)外球殼分別帶有電荷+Q和-Q，其間為真空，由高斯定理可求得其電場強度，兩球殼間的電勢差為

所以，球形電容器的電容

半徑為R的孤立導(dǎo)體球，可以把它看作是和一個半徑無限大的同心導(dǎo)體球組成的一個電容器，由(8-8)式不難看出，其電容為。

4.電容器的聯(lián)接

衡量一個實際電容器的性能有兩個重要的指標：一是電容量的大??；二是耐電壓的能力。使用電容器時，電壓不能超過其耐壓限度。否則，就會就有擊穿電容器的危險。當單獨一個電容器的耐壓程度不夠時，可以采用電容器的串聯(lián)來增加耐壓程度。有如下的電容串并聯(lián)結(jié)論：

①電容器并聯(lián)，如圖8.8所示，此時有

②電容器串聯(lián)，此時有

圖8.8電容器的并聯(lián)

【例8.3】兩個電容器的電容分別為C1

=8μF，C2

=2μF，分別把它們充電到1000V，然后將它們反接，求此時兩極板間的電勢差。

【解】

兩個極板上的電量分別為：Q1=C1U1==8000C，Q2=2000C。

兩電容器并聯(lián)后的電容C為：C=C1

+C2

=10μF。

兩電容器并聯(lián)后的電量Q為：Q

=Q1-Q2=6000C。

最后得到兩極板間的電勢差為：U

=Q/C

=6000/10=600V。

8.2.3電容器儲存的靜電場能量

下面以平行板電容器為例，根據(jù)通過外力做功將其它形式的能量轉(zhuǎn)化為電場能的原理，導(dǎo)出求電場能的公式。

電容器充電的過程，就是通過外力(由電源提供)做功把正電荷從電容器的負極板搬運到正極板的過程。在這個過程中，外力不斷做功，使電容器儲存的能量不斷增加，直到電容器的兩極板都帶有等量、異號的電荷Q，使電容器的電勢與電源的電勢相等為止，如圖8.9所示。

圖8.9電容器充電過程示意圖

【例8.4】某電容器標有“10μF、400V”，求該電容器最多能儲存多少電荷和靜電能？

【解】由電容器的電容的定義式得：

由靜電場的能量公式得：。

8.3靜電場中的電介質(zhì)

8.3.1電介質(zhì)及其分類電介質(zhì)亦稱絕緣體，例如氣體、變壓器油、云母、陶瓷、玻璃等，這些基本不導(dǎo)電的物質(zhì)均稱為電介質(zhì)。由于電介質(zhì)中的原子中原子核和核外電子的結(jié)合非常緊密，電子處于被束縛的狀態(tài)，因此電介質(zhì)中幾乎沒有自由電子，一般情況下呈電中性。

各向同性的電介質(zhì)可分為兩類：一類電介質(zhì)的分子稱為無極分子，如甲烷、石蠟等，它們分子中的正負電荷中心在無外電場時是重合的，如圖8.10(a)所示；另一類的分子是有極分子，如水、有機玻璃、纖維素、聚氯乙烯等，它們分子中的正負電荷中心在無外電場時是不重合的，如圖8.10(b)中所示。

圖8.10電介質(zhì)的分類

8.3.2電介質(zhì)的極化

電介質(zhì)中每個分子都是一個復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，它的原子或分子中的電子和原子核的結(jié)合力很強，電子處于束縛狀態(tài)。在一般條件下，電子不能掙脫原子核的束縛，因而導(dǎo)電能力極弱，因而可以忽略電介質(zhì)導(dǎo)電的微弱性，把它看作是絕緣體。電介質(zhì)分子中有正電荷、有負電荷，它們分布在一個線度為10-10m的數(shù)量級的體積內(nèi)，而不是集中在一點上。在考慮一個分子受外電場作用時，可以認為其中的正電荷集中于一點，這一點叫正電荷的“中心”，而負電荷集中于另一點，這一點叫負電荷的“中心”。

對于中性分子，由于正、負電荷的電量相等，所以一個分子可以看成是一個由正、負點電荷相隔一定距離所組成的電偶極子。在討論電場中的電介質(zhì)時，可以認為電介質(zhì)由大量微小的電偶極子所組成。以q表示一個分子中的正電荷或負電荷的電量的數(shù)值，以l表示從負電荷“中心”指向正電荷“中心”的矢量，則這個分子的電矩是P=ql。

電介質(zhì)在外電場的作用下，電介質(zhì)表面出現(xiàn)束縛電荷(面極化電荷)，這稱為電介質(zhì)的極化。外電場越強，電介質(zhì)表面出現(xiàn)的束縛電荷就越多。

1.有極分子電介質(zhì)的轉(zhuǎn)向極化

有極分子電介質(zhì)在正常情況下，分子具有固有電矩，如圖8.11所示，它們統(tǒng)稱為極性分子。當外電場E0存在時，每個分子電偶極子由于受到力矩的作用而轉(zhuǎn)向，力矩力圖使每個電偶極子都轉(zhuǎn)向與外電場的方向一致。這種由于分子電偶極子轉(zhuǎn)向外電場方向而形成的極化，叫做轉(zhuǎn)向極化。實際上，有極分子除了發(fā)生轉(zhuǎn)向極化外，還有位移極化，只是在通常情況下，后者比前者弱得多。

圖8.11有極分子的轉(zhuǎn)向極化

2.無極分子電介質(zhì)的位移極化

無極分子內(nèi)部的電荷分布具有對稱性，因而正、負電荷的中心重合。當外電場E0存在時，兩種電荷的中心將分開一段微小距離，因而使分子具有了電矩，這種電矩稱為感生電矩，約為固有電矩的10-5，是一個很小的量，如圖8.12所示。顯然，感生電矩的方向總是與外電場的方向相同，分子在外電場作用下的這種變化，叫做位移極化。

圖8.12無極分子的位移極化

在電介質(zhì)中任取一宏觀小體積⊿Ｖ

，在沒有外電場時，電介質(zhì)未被極化，此小體積中所有電子的電偶極矩p的矢量和為零，即.當外電場存在時，電介質(zhì)被極化，此小體積中分子電偶極矩p的矢量和將不為零，即.外電場越強，分子電偶極矩的矢量和越大。因此，我們用單位體積中分子電偶極矩的矢量和來表示電介質(zhì)的極化程度，有

p叫做電極化強度，單位為.

3.電介質(zhì)極化的宏觀效應(yīng)

雖然兩種電介質(zhì)受外電場的影響所發(fā)生變化的微觀機制不同，但是其宏觀效果是一樣的。在電介質(zhì)內(nèi)部的區(qū)域內(nèi)，正負電荷的電量仍然相等，因而仍然表現(xiàn)為中性。但是，在電介質(zhì)的表面上卻出現(xiàn)了只有正電荷或只有負電荷的電荷層，如圖8.13所示。這種出現(xiàn)在電介質(zhì)的表面上的電荷叫面束縛電荷或面極化電荷，它不像導(dǎo)體中的自由電荷那樣能用傳導(dǎo)的方法引走。當外電場不太強時，只能引起電介質(zhì)的極化，不會破壞電介質(zhì)的絕緣性能。(實際上，各種電介質(zhì)中總有數(shù)目不等的少量的自由電荷，所以總有微弱的導(dǎo)電能力。)

圖8.13電介質(zhì)極化的宏觀效果

4.電介質(zhì)對電場的影響

圖8.14電介質(zhì)對電場的影響

表8.1列出了幾種常見電介質(zhì)的相對電容率。

8.3.3電介質(zhì)的擊穿

如果外加電場很強，則電介質(zhì)分子中的正負電荷有可能被拉開分離而變成自由移動的電荷。由于大量的這種電荷的產(chǎn)生，電介質(zhì)的絕緣性能就會遭到明顯破壞而變成導(dǎo)體，這種現(xiàn)象叫做電介質(zhì)的擊穿。一種電介質(zhì)材料所能承受的、不被擊穿的最大電場強度叫做介電強度或擊穿場強。例如，空氣的擊穿場強為3kV/mm，云母的擊穿場強為10~100kV/mm，多數(shù)電介質(zhì)的擊穿場強都比空氣的擊穿場強大。

電容器的耐壓能力，是由電容器兩板間的電介質(zhì)的介電強度決定的。一旦兩板間的電壓超過一定限度，其電場將擊穿兩板間的電介質(zhì)，兩板間就不再絕緣，電容器就被毀壞了。正是由于電介質(zhì)的電極化，當兩板間充滿電介質(zhì)的電容器帶電時，其間電介質(zhì)的兩個表面將出現(xiàn)與相鄰極板符號相反的電荷。這樣，電容器兩板間的電場強度比起板間真空時就減小了。

【例8.5】一平行板電容器兩板間充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)，每個極板面積均為S。當它帶電量為Q時，電介質(zhì)兩表面的面束縛電荷是多少？

【解】如圖8.15所示，以和分別表示上下極板附近電介質(zhì)表面的面電荷密度，則有：。

圖8.15例8.5圖

8.4電介質(zhì)中的高斯定理

設(shè)在兩平行極板間充滿均勻電介質(zhì)，在一極板上取一柱狀高斯面，高斯面兩端面與極板平行，另外兩端與極板垂直，設(shè)平行面的面積為S，極板上的電荷面密度為，電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為，則根據(jù)高斯定理，有

前面介紹過靜電場中的高斯定理為：。在有電介質(zhì)存在時，高斯定理變換為：

(8-19)

式(8-19)稱為電介質(zhì)中的高斯定理，其文字表述為：通過任一封閉曲面(高斯面)的電位移通量等于該閉合曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和。

【例8.6】一平行板電容器，充電后與電源保持聯(lián)接，然后使兩極板間充滿相對電容率為εr的各向同性均勻電介質(zhì)，求充滿電介質(zhì)后：

①兩極板上的電荷是原來的多少倍？

②電場強度是原來的多少倍？

③電場能量是原來的多少倍？

【例8.7】如圖8.16所示，求浸入一個大油箱內(nèi)帶有電荷q的金屬球外一點P的電位移。

圖8.16例題8.7圖

【解】對于浸入一個大油箱中的帶有電荷q的金屬球，在球外一點P處，可建立半徑為r的高斯面，然后利用式(8-19)求出

本章小結(jié)

1.導(dǎo)體的靜電平衡導(dǎo)體必須滿足以下兩個條件才能處于靜電平衡：①導(dǎo)體內(nèi)任一點的電場強度都等于零。②緊鄰導(dǎo)體表面處的電場強度與導(dǎo)體表面垂直。

2.孤立導(dǎo)體的電容

孤立導(dǎo)體所帶量Q與其電勢U的比值稱為該導(dǎo)體的電容，用符號C表示，即

3.常見電容器

4.點電荷系的靜電場的能量

5.電介質(zhì)及其分類

自然界中基本不能導(dǎo)電的物質(zhì)稱為電介質(zhì)。各向同性的電介質(zhì)可分為兩類：一類是無極分子，它們分子中的正負電荷在無外電場時重合；另一類是有極分子，它們分子中的正負電荷中心在無外電場時不重合。

6.電場中電介質(zhì)的極化

電介質(zhì)在外電場的作用下表面出現(xiàn)束縛電荷的現(xiàn)象，稱為電介質(zhì)的極化。外電場越強，電介質(zhì)表面出現(xiàn)的束縛電荷就越多。在電介質(zhì)中電場強度為

7.電介質(zhì)中的高斯定理

通過任一封閉曲面(高斯面)的電位移通量等于該閉合曲面所包圍電荷的代數(shù)和。

習(xí)題

8-1將一個帶正電的帶電體A從遠處移到一個不帶電的導(dǎo)體B附近，導(dǎo)體B的電勢將（）（A）升高（B）降低（C）不會發(fā)生變化（D）無法確定

8-2將一帶負電的物體M靠近一不帶電的導(dǎo)體N，在N的左端感應(yīng)出正電荷，右端感應(yīng)出負電荷。若將導(dǎo)體N的左端接地（如圖所示），則（）

（A）N上的負電荷入地（B）N上的正電荷入地

（C）N上的所有電荷入地（D）N上所有的感應(yīng)電荷入地

圖8.17題8.2圖

8-3如圖所示將一個電量為q的點電荷放在一個半徑為R的不帶電的導(dǎo)體球附近，點電荷距導(dǎo)體球球心為d。設(shè)無窮遠處為零電勢，則在導(dǎo)體球球心O

點有（）

圖8.18題8.3圖

8-4根據(jù)電介質(zhì)中的高斯定理，在電介質(zhì)中電位移矢量沿任意一個閉合曲面的積分等于這個曲面所包圍自由電荷的代數(shù)和。下列推論正確的是()

（A）若電位移矢量沿任意一個閉合曲面的積分等于零，曲面內(nèi)一定沒有自由電荷

（B）若電位移矢量沿任意一個閉合曲面的積分等于零，曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和一定等于零

（C）若電位移矢量沿任意一個閉合曲面的積分不等于零，曲面內(nèi)一定有極化電荷

（D）介質(zhì)中的高斯定律表明電位移矢量僅僅與自由電荷的分布有關(guān)

（E）介質(zhì)中的電位移矢量與自由電荷和極化電荷的分布有關(guān)

8-5對于各向同性的均勻電介質(zhì)，下列概念正確的是（）

（A）電介質(zhì)充滿整個電場并且自由電荷的分布不發(fā)生變化時，電介質(zhì)中的電場強度一定等于沒有電介質(zhì)時該點電場強度的1/εｒ倍

（B）電介質(zhì)中的電場強度一定等于沒有介質(zhì)時該點電場強度的1/εｒ倍

（C）在電介質(zhì)充滿整個電場時，電介質(zhì)中的電場強度一定等于沒有電介質(zhì)時該點電場強度的1/εｒ倍

（D）電介質(zhì)中的電場強度一定等于沒有介質(zhì)時該點電場強度的εｒ倍

8-6如圖8.19所示，兩個同心導(dǎo)體球殼，內(nèi)球殼帶電荷+q，外球殼帶電荷-2q，當靜電平衡時，試分析外球殼的內(nèi)表面和外表面電荷分布情況。

圖8.19題8.6圖

8-7在一半徑為R１＝6.0cm的金屬球A外面套有一個同心的金屬球殼B．已知球殼B的內(nèi)、外半徑分別為R2＝8.0cm，R3＝10.0cm．設(shè)球A帶有總電荷QA＝3.0

×10－８C，球殼B