第八章截交線的畫(huà)法

1、第八章第八章 平面與立體相交（截交線）、平面與立體相交（截交線）、 直線與立體相交直線與立體相交 截交線的概念和畫(huà)法截交線的概念和畫(huà)法討論的問(wèn)題：截交線的分析和作圖討論的問(wèn)題：截交線的分析和作圖 。截平面截平面與與立體表面立體表面的的交線交線 因截平面的截切，在因截平面的截切，在立體上形成的平面。立體上形成的平面。用以截切立體的平面用以截切立體的平面 截平面截平面 截?cái)嗝娼財(cái)嗝?截交線截交線截交線截交線是是截平面截平面與與立體表面立體表面共有點(diǎn)的集合共有點(diǎn)的集合81 截交線截交線 平面體的截切平面體的截切 回轉(zhuǎn)體的截切回轉(zhuǎn)體的截切截交的形式截交的形式截平面與截平面與平面立體平面立體相交相交截平

2、面與截平面與回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體相交相交平面體的截交線平面體的截交線 截交線截交線是一個(gè)由是一個(gè)由直線段直線段組成的組成的封閉封閉的的平面多邊形平面多邊形，其，其形狀取決于平面體的形狀及截平面對(duì)平面體的切位置。形狀取決于平面體的形狀及截平面對(duì)平面體的切位置。 截?cái)嗝娼財(cái)嗝娴拿織l邊都是的每條邊都是截平面截平面與與棱面的交線棱面的交線。求求截交線的實(shí)質(zhì)是截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)：一、平面體截切的基本形式一、平面體截切的基本形式二、平面截切體的畫(huà)圖步驟二、平面截切體的畫(huà)圖步驟 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法： 求各求各棱線棱線與截平面的與截平面的交點(diǎn)交點(diǎn)棱

3、線法棱線法 求各求各棱面棱面與截平面的與截平面的交線交線棱面法棱面法關(guān)鍵是正確地畫(huà)出截交線的投影關(guān)鍵是正確地畫(huà)出截交線的投影。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與立體的相對(duì)位置截平面與立體的相對(duì)位置 截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置確定截交線確定截交線的投影特性的投影特性確定截交確定截交線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫(huà)出截交線的投影畫(huà)出截交線的投影 分別求出截平面與棱面分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。的交線，并連接成多邊形。例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3 3 2 2 1 1 ( (4 )

4、 ) 空間分析空間分析交線的形狀？交線的形狀？ 投影分析投影分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性截平面與四棱錐截平面與四棱錐的四條棱線相交？的四條棱線相交？截交線在俯、左截交線在俯、左視圖上的形狀？視圖上的形狀？1 12 24 43 31 1 4 4 3 3 2 2 例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。我們采用的是我們采用的是哪種解題方法？哪種解題方法？棱線法！棱線法！ 注注 意：意：有有兩個(gè)截平面兩個(gè)截平面截切四棱錐。截切四棱錐。當(dāng)當(dāng)平面立體平面立體只有只有

5、局部局部被截切被截切時(shí)，時(shí)，先假想先假想為整體被截切，為整體被截切，求出截交線后再取局部。求出截交線后再取局部。例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 1 (2(2 ) )1 12 2I I、IIII是兩個(gè)是兩個(gè)截平面截平面的交線的交線1 1 2 2 例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。P P 截交線的形狀？截交線的形狀？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交線的投影截交線的投影特性？特性？2 2 3

6、 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交線求截交線1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱線的分析棱線的投影投影檢查截交檢查截交線的投影線的投影例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。 注注 意：意：有有兩個(gè)截平面兩個(gè)截平面截切四棱錐。截切四棱錐。當(dāng)當(dāng)平面立體平面立體只有只有局部局部被截切被截切時(shí)，時(shí)，先假想先假想為整體被截切，為整體被截切，求出截交線后再取局部。求出截交線后再取局部。例例4 4：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。I I、IIII點(diǎn)是兩個(gè)點(diǎn)是兩個(gè)截平面截平面的交線的交線1 1

7、 (2(2 ) )1 1 2 2 2 21 1例例4 4：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 1 (2(2 ) )1 1 2 2 2 21 1回轉(zhuǎn)體的截交線回轉(zhuǎn)體的截交線一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)： 截交線是截交線是截平面截平面與與回轉(zhuǎn)體表面回轉(zhuǎn)體表面的的共有線共有線。 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面截平面與與回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置軸線的相對(duì)位置。 截交線（直線或曲線）圍成截交線（直線或曲線）圍成封閉的平面圖形封閉的平面圖形。二、求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一

8、般步驟二、求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟 空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線 的相對(duì)位置，以便的相對(duì)位置，以便確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 分析截平面與投影面的相對(duì)位置，分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確明確截交截交 線的投影特性線的投影特性，如積聚性、類似性等。，如積聚性、類似性等。找出找出 截交線的截交線的已知已知投影，投影，予見(jiàn)未知予見(jiàn)未知投影。投影。 畫(huà)出截交線的投影畫(huà)出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為： 將各點(diǎn)光滑地連接起來(lái)，并判斷截交線的可將

9、各點(diǎn)光滑地連接起來(lái)，并判斷截交線的可 見(jiàn)性。見(jiàn)性。 先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充一般點(diǎn)先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充一般點(diǎn)。平行平行平行兩直線平行兩直線P PV V 平面與圓柱面的截交線平面與圓柱面的截交線 截平面與圓柱面的截交線的形狀截平面與圓柱面的截交線的形狀取決取決于于截平面截平面與與圓柱軸線圓柱軸線的的相對(duì)位置相對(duì)位置垂垂直直圓圓P PV V橢圓橢圓傾斜傾斜P(pán) PV V截交線的截交線的空間形狀？空間形狀？ 截交線的已知投影？截交線的已知投影？例例1 1：求左視圖：求左視圖找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)找一般點(diǎn)找一般點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影截交線的側(cè)面投截交線的側(cè)面投影是什么形狀？影是什么

10、形狀？a a b b ( (d d ) )c c d d a ac cd db bc c a a e ef fe e (f(f ) )f f e e b b C CA AB BD DF FE E例例1 1：求左視圖：求左視圖找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)找一般點(diǎn)找一般點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影 橢圓的長(zhǎng)、橢圓的長(zhǎng)、短軸隨截平面與短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的圓柱軸線夾角的變化而改變。變化而改變。4545什么情況下什么情況下投影為圓呢？投影為圓呢？截平面與圓柱截平面與圓柱軸線成軸線成4545時(shí)。時(shí)。 同一立體被多同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)平面截切，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交個(gè)截

11、平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。線的分析和作圖。例例2 2：求截口圓柱的投影：求截口圓柱的投影空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置解題步驟：解題步驟：2 2 1 1 1 1 (2(2 ) )2 21 1III2 2 1 1 1 1 (2(2 ) )2 21 1III例例2 2：求截口圓柱的投影：求截口圓柱的投影2 2 1 1 1 1 (2(2 ) )2 21 1例例3 3：求左視圖：求左視圖III例例3 3：求左視圖：求左視圖2 2 1 1 1 1 (2(

12、2 ) )2 21 1例例4 4：求左視圖：求左視圖例例4 4：求左視圖：求左視圖仔細(xì)比較下列兩立體的各個(gè)視圖，有何不同？仔細(xì)比較下列兩立體的各個(gè)視圖，有何不同？畫(huà)一畫(huà)：畫(huà)一畫(huà)：這兩個(gè)立這兩個(gè)立體的視圖是什么樣？體的視圖是什么樣？例例5 5：求截口圓柱的投影：求截口圓柱的投影1 1 (2(2 ) )2 21 11 1 2 2 例例5 5：求截口圓柱的投影：求截口圓柱的投影1 1 (2(2 ) )2 21 11 1 2 2 例例6 6：求俯視圖：求俯視圖例例6 6：求俯視圖：求俯視圖例例7 7：求左視圖：求左視圖虛實(shí)分界點(diǎn)虛實(shí)分界點(diǎn)例例7 7：求左視圖：求左視圖 圓錐體的截交線圓錐體的截交線 根

13、據(jù)根據(jù)截平面截平面與與圓錐軸線圓錐軸線的相對(duì)位置不同，的相對(duì)位置不同，截交線有截交線有五種五種形狀。形狀。過(guò)錐頂過(guò)錐頂兩相交直線兩相交直線P PV V圓圓P PV V= 90= 90拋物線拋物線P PV V=P PV V橢圓橢圓雙曲線雙曲線P PV V= 0= 0或或空間及投影分析空間及投影分析 截平面截平面P P是是正平面正平面，截交線為截交線為雙曲線雙曲線。交線。交線的側(cè)面投影的側(cè)面投影積聚積聚成一直成一直線，正面投影線，正面投影反映實(shí)形反映實(shí)形。P P 例例1: 求作平行于圓錐軸線的平面求作平行于圓錐軸線的平面P與圓錐面的交線與圓錐面的交線的正面投影。的正面投影。a a b b c c

14、c c d d e e d d e e 作交線的正面投影作交線的正面投影找特殊點(diǎn)：找特殊點(diǎn)：A A、B B、C C點(diǎn)點(diǎn)補(bǔ)充一般點(diǎn)：補(bǔ)充一般點(diǎn)：D D、E E點(diǎn)點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)如何作一般點(diǎn)？如何作一般點(diǎn)？用輔助緯圓法。用輔助緯圓法。分析輪廓線的投影分析輪廓線的投影a a b b C CA AB BD DE E例例1: 求作平行于圓錐軸線的平面與圓錐面的交線求作平行于圓錐軸線的平面與圓錐面的交線的正面投影。的正面投影。C CA AB BD DE Ea a b b c c d d e e a a b b c c d d e e 例例2: 圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并

15、完成三視圖。截交線，并完成三視圖。截交線的空截交線的空間形狀？間形狀？截交線的投截交線的投影特性？影特性？找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)如何找橢圓另如何找橢圓另一根軸的端點(diǎn)？一根軸的端點(diǎn)？補(bǔ)充一般點(diǎn)補(bǔ)充一般點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影輪廓線上的點(diǎn)輪廓線上的點(diǎn)極限點(diǎn)極限點(diǎn)( (軸端點(diǎn)軸端點(diǎn)) )中點(diǎn)中點(diǎn)例例2: 圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。截交線，并完成三視圖。例例3：已知帶切口的圓錐的主視圖，求作其另二個(gè)視圖。：已知帶切口的圓錐的主視圖，求作其另二個(gè)視圖?？臻g及投影分析空間及投影分析 注注 意：意：當(dāng)有當(dāng)有多個(gè)截平面多個(gè)截平面截切圓（臺(tái)），

16、截切圓（臺(tái)），且只有且只有局部局部被截切，被截切，先假想先假想為整體被截切，為整體被截切，求出截交線后求出截交線后再取局部。多個(gè)截面互相影響。再取局部。多個(gè)截面互相影響。1、被幾個(gè)面截切？、被幾個(gè)面截切？2、各自截交線的形狀？、各自截交線的形狀？投影怎樣？投影怎樣？作圖：作圖：11223 3 4 43“（4“） 3“(4”)12341“（1“） 1“(2”)113 3 11223 3 4 43“3“(4”)1234 1“（1”） 1“(2”) 球體的截切球體的截切 平面與圓球相平面與圓球相交，交，截交線的形狀截交線的形狀都是圓都是圓，但根據(jù)截，但根據(jù)截平面與投影面的相平面與投影面的相對(duì)位置不同

17、，對(duì)位置不同，其其截截交線的投影可能為交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成圓、橢圓或積聚成一條直線一條直線。12342(1)(2”)1”443 3”4”4”5”555”5”例：求圓球被正垂面相交的截交線的投影例：求圓球被正垂面相交的截交線的投影例例1 1：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面水平面截圓球的截交線截圓球的截交線的投影，在的投影，在俯視圖俯視圖上上為為部分圓弧部分圓弧，在，在側(cè)視圖側(cè)視圖上上積聚為直線積聚為直線。兩個(gè)側(cè)平面兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截截圓球的截交線的投影，在交線的投影，在左視圖左視圖上上為部分圓弧為部分圓弧，在，在俯視俯視圖圖上上積聚為直線積

18、聚為直線。例例1 1：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。例例2：已知一建筑物球殼屋頂?shù)模阂阎唤ㄖ锴驓の蓓數(shù)腍投影，求投影，求該球殼屋頂?shù)脑撉驓の蓓數(shù)腣投影和投影和W投影。投影。QHrPH例例2：已知一建筑物球殼屋頂?shù)模阂阎唤ㄖ锴驓の蓓數(shù)腍投影，求投影，求該球殼屋頂?shù)脑撉驓の蓓數(shù)腣投影和投影和W投影。投影。 組合體表面的截交線組合體表面的截交線 首先進(jìn)行形體分析，弄清組合體由哪些基本首先進(jìn)行形體分析，弄清組合體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成，找出相鄰回轉(zhuǎn)體之間的分界線?；剞D(zhuǎn)體組成，找出相鄰回轉(zhuǎn)體之間的分界線。 然后分別求出各個(gè)截平面與這些基本回轉(zhuǎn)體的然后分別求出各個(gè)

19、截平面與這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。截交線，并依次將其連接。ABC 例例1 1：求作頂尖的俯視圖：求作頂尖的俯視圖例例1 1：求作頂尖的俯視圖：求作頂尖的俯視圖例例2 2：完成圖示組合體的主、俯兩視圖：完成圖示組合體的主、俯兩視圖ABCb b a a a ab bc cc cb b ( (a a ) )c c 例例2 2：完成圖示組合體的主、俯兩視圖：完成圖示組合體的主、俯兩視圖b b a a a ab bc cc cb b ( (a a ) )c c ABC 82 直線與立體相交直線與立體相交貫穿點(diǎn)的概念：直線與立體的交點(diǎn)（成對(duì)出現(xiàn)）。貫穿點(diǎn)的概念：直線與立體的交點(diǎn)（成對(duì)出現(xiàn)）。

20、 它是直線與立體表面共有點(diǎn)的集合它是直線與立體表面共有點(diǎn)的集合求法：求法：1、直線與平面立體相交可用面上、直線與平面立體相交可用面上取點(diǎn)的方法以及線面相交取點(diǎn)的方法以及線面相交2、直線與曲面立體相交時(shí)，、直線與曲面立體相交時(shí)，主要看曲面是否具有積聚性：主要看曲面是否具有積聚性：如有，可利用積聚性投影直接求；如有，可利用積聚性投影直接求；如否，可用輔助素線法或瑋圓法。如否，可用輔助素線法或瑋圓法。AB()()ABAB()一、直線與平面立體相交一、直線與平面立體相交OXabab121(2)AB例例1 求求AB與三棱柱的貫穿點(diǎn)與三棱柱的貫穿點(diǎn)例例2：求直線：求直線AB與三棱錐的貫穿點(diǎn)與三棱錐的貫穿點(diǎn)ababPv輔助平面輔助平面sd efsdef121233kkh(h)二、直線與曲面立體相交二、直線與曲面立體相交例例3：求直線：求直線AB與圓柱的貫穿點(diǎn)與圓柱的貫穿點(diǎn)ababklk(l)A(B)例例4：求直線：求直線AB與圓球的貫穿點(diǎn)與圓球的貫穿點(diǎn)Pv輔助平面輔助平面baabkl(k)l?小小 結(jié)結(jié)一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成 的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平截平 面