數(shù)學(xué)中的“必然與或然的思想”

1、數(shù)學(xué)中的“必然與或然的思想”隨機(jī)現(xiàn)象具有兩個最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，二是頻率的穩(wěn)定性。概率知識在現(xiàn)實(shí)生活中常常用到，在高考中越來越倍受關(guān)注，概率所研究的過程是在“偶然”中尋找“必然” ，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想就是必然與或然的思想。在概率部分考查上文理是有一定的區(qū)分度的。理科在解答題部分將會重點(diǎn)考查古典概率的計算、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望（均值）與方差有關(guān)問題等。文科不再考查排列、組合，二項式定理，刪除了事件的相互獨(dú)立性、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概型，在解答題部分將會以列舉計

2、數(shù)的方法對概率進(jìn)行考查。1古典概型例 1為了了解中華人民共和國道路交通安全法在學(xué)生中的普及情況，調(diào)查部門對某校6 名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查6 人得分情況如下：5， 6， 7， 8，9， 10把這 6 名學(xué)生的得分看成一個總體（）求該總體的平均數(shù)；（）用簡單隨機(jī)抽樣方法從這6 名學(xué)生中抽取2 名，他們的得分組成一個樣本求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5 的概率分析： 本題為古典概型，先計算出總體平均數(shù)，列出所有的抽取情況，再從中找出符合條件的即兩人的得分平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5 的所有情況 。解：（）總體平均數(shù)為1 (5678910)7.56（）設(shè) A 表示事件“樣本

3、平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”從總體中抽取 2 個個體全部可能的基本結(jié)果有：(5，6) ，(5，7) ，(5，8) ，(5，9) ，(510)， ，(6，7) ，(6，8) ，(6，9) ， (6，10) ， (7，8) ， (7，9) ， (7，10) ， (8，9) ， (810)， ， (9，10) 共 15個基本結(jié)果事件 A 包括的基本結(jié)果有： (5，9) ， (510)， ， (6，8)， (6，9) ， (6，10) ， (7，8) ， (7，9) 共有7 個基本結(jié)果所以所求的概率為 P( A)7 15評注： 文科關(guān)于概率大題的考查基本上列舉法，即列出所有的基本事件，

4、從中找出滿足要求的基本事件，然后求出它們的個數(shù)比即可。例 2一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域?yàn)镽 的函數(shù)：f1 (x)x， f 2 ( x)x2， f 3 ( x)x3，f 4 ( x)sin x， f5 ( x)cosx， f6 ( x)2 .（）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；（）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.分析： 本題中每一張卡片被抽取到是等可能的，可利用排列組合的知識隨機(jī)抽取和按要求無放回的抽取，從而計算出每個事件的概

5、率，列出分布列求出數(shù)學(xué)期望。解：（）記事件A 為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知P(A)C321C62.5（）可取 1， 2， 3，4P(1)C3112)C31 C313C61, P(C61 C51102P(3)C31 C21 C3134)C31 C21 C11C311C61 C51 C41, P(C61 C51 C41C312020故的分布列為1234 11331722344102020答：的數(shù)學(xué)期望為7 4評注： 在解答本題時，要弄清隨機(jī)變量的所有取值情況，題目中有三個奇函數(shù)，三個偶函數(shù)，所以最多取 4 次就一定能取到記有偶函數(shù)的卡

6、片，從而停止抽取。注意不放回地抽取，上一次的抽取結(jié)果會影響下一次的抽取，即下一次的總體個數(shù)減少。2.幾何概型例 3在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè) D 是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D 中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投點(diǎn)在 E 中的概率是分析：本小題考查古典概型，其概率應(yīng)為幾何圖形的面積比。如圖：區(qū)域 D 表示邊長為4 的正方形的內(nèi)部 （含邊界），區(qū)域E 表示單位圓及其內(nèi)部，因此P124416答案：16評注： 在解決幾何概型問題時，要弄清整個事件的區(qū)域長度（面積或體積） ，以及所研究事件的區(qū)域長度（面積或體積） ，特別是平面幾何圖形的構(gòu)成常常是

7、考查的焦點(diǎn)，有可能與定積分相聯(lián)系。例 4如圖所示，墻上掛有一邊長為a 的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為a 的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點(diǎn)的可能性都一2樣，則他擊中陰影部分的概率是（）A 1B C1D與 a 的取值有關(guān)448分析： 本小題考查古典概型，其概率應(yīng)為幾何圖形的面積比。其中陰影部分的面積要通過規(guī)則的圖形的面積求出，即正方形的面積去掉一個圓的面積。解：正方形的面積為a2，而四個角空白部分合起來為半徑為a 的一個圓，面積為a2，所以他擊中24a2a2陰影部分的概率是a241，故選 A。4答案： A評注： 在解決幾何概型問題

8、時，對于不規(guī)則圖形的面積要通過求定積分或規(guī)則圖形的面積求出。例 5 設(shè)有關(guān)于 x 的一元二次方程x22ax b20 （）若 a 是從01，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b 是從 01，2 三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率（）若 a 是從區(qū)間 0，3 任取的一個數(shù)， b 是從區(qū)間 0，2 任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率分析： 一元二次方程有實(shí)根的條件為V0 4a24b20 ，即 a b 。題（） 可用列舉法列出所有的基本事件，找出符合條件a b 的基本事件。題 （） 就是幾何概型。可作出試驗(yàn)的總區(qū)域，和符合條件的區(qū)域，應(yīng)該是把a(bǔ),b 看作有序數(shù)對a,b對于平面上的點(diǎn) ，可畫出平面

9、區(qū)域解答。解：設(shè)事件 A為“方程 a22axb20 有實(shí)根”當(dāng) a 0 ， b0時，方程 x22axb20 有實(shí)根的充要條件為a b （）基本事件共12 個：(0，0)，(01)，(0，2)，(1，0)，(11)，(1，2)，(2，0)，(21) ，(2，2)，(3，0)，(31)，(3，2) 其中第一個數(shù)表示a 的取值， 第二個數(shù)表示 b 的取值事件 A 中包含9 個基本事件，事件93A 發(fā)生的概率為 P( A)124（）試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a，b) |0 a 3，0 b 2 y構(gòu)成事件 A 的區(qū)域?yàn)?a，b) | 0 a 3，0 b 2，a b 32122所以所求的概率為322

10、23評注： 本題容納了古典概型和幾何概型的解法，要善于區(qū)分提煉 ，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把數(shù)組a,b 看成平面內(nèi)的點(diǎn)即可轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域問題用面積解答。3互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率例 6設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6 ，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的。（）求進(jìn)入商場的 1 位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（）求進(jìn)入商場的1 位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（）記表示進(jìn)入商場的3 位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列及期望。分析： 購買甲、乙兩種商品是相互獨(dú)立的，1 位顧客購買甲

11、、乙兩種商品中的一種有兩種情況，買甲不買乙或買乙不買甲，又是互斥事件，按互斥事件的概率進(jìn)行計算；進(jìn)入商場的1 位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，對于至少問題， 可以正面計算， 也可以反面計算；進(jìn)入商場的3 位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)可以為0， 1， 2， 3，應(yīng)該是（）的二項分布解：記 A 表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客購買甲種商品，記 B 表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客購買乙種商品，記 C 表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記 D 表示事件：進(jìn)入商場的 1 位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，（）CA BAB，PCP A BA BP A

12、BP A BP AP BPA PB0.50.40.5 0.60.5（）DA B， P DPA BPAP B0.50.40.2P D1P D0.8（）:B 3,0.8 ，故的分布列 P00.230.008，P1C31 0.8 0.220.096 ， P2C320.820.20.384P30.830.512 ，所以 E3 0.82.4評注： 此題重點(diǎn)考察相互獨(dú)立事件的概率計算，以及求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；分清相互獨(dú)立事件的概率求法，對于“至少”常從反面入手?？善鸬胶喕淖饔?。例 7甲、乙兩個籃球運(yùn)動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為1 與 p ，且乙投球2 次均1 2未命中的概率為

13、16p ；（）求乙投球的命中率（）求甲投球 2 次，至少命中1 次的概率；（）若甲、乙兩人各投球2 次，求兩人共命中2 次的概率分析： 乙投球2 次均未命中的概率為1，求乙投球的命中率p ，屬于逆向思維，列出方程解出即可。16甲投球 2 次，至少命中1 次，對于“至少”問題可以正面解答，也可以反面解答。甲、乙兩人各投球2 次，求兩人共命中2 次，應(yīng)該有多種情況，分類計算。（）解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B由題意得 1P B21p 2116解得 p3或5 （舍去），所以乙投球的命中率為3 444解法二：設(shè)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B由

14、題意得P(B)P( B)1，于是P(B)111 P(B)316或 P(B)（舍去），故 p444所以乙投球的命中率為3 411（）解法一：由題設(shè)和（）知P A, P A22故甲投球2 次至少命中1 次的概率為 1P AA341,P A1解法二：由題設(shè)和（）知P A22故甲投球2 次至少命中1 次的概率為 C21P A P APAPA34（）由題設(shè)和（）知，P A1,P A1,P B3,P B12244甲、乙兩人各投球2 次，共命中2 次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中2 次。概率分別為 C21 P A P AC21PBPB3，16PAAPBB1，PA

15、APB B9646431911所以甲、乙兩人各投兩次，共命中2 次的概率為16646432評注： 本小題是概率部分的常規(guī)題目，主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，分類要做到不重不漏。例 8某城市有甲、乙、丙、丁4 個旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這4 個景點(diǎn)的概率都是0.6，且客人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值（）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；( )記“函數(shù) f (x)x23x1 在區(qū)間 4,) 上單調(diào)遞增”為事件A，求事件 A 的概率分析：“客人游覽甲景點(diǎn)” 、“客人游覽乙景點(diǎn)” 、“客人游覽

16、丙景點(diǎn)” 、“客人游覽丁景點(diǎn)”是相互獨(dú)立的，按相互獨(dú)立事件的概率計算，列出分布列， 求出數(shù)學(xué)期望。 “函數(shù) f ( x) x23 x1 在區(qū)間 4,) 上單調(diào)遞增”，可以得到二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，從而得到的范圍。解：（1）分別設(shè)“客人游覽甲景點(diǎn)” 、“客人游覽乙景點(diǎn)” 、“客人游覽丙景點(diǎn)” 、“客人游覽丁景點(diǎn)”為事件A1, A2 , A3 , A4 ,由已知 A1 , A2 , A3 , A4 相互獨(dú)立，且 P( A1) P( A2) P( A3 ) P( A4) 0.6.客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1， 2， 3， 4;相應(yīng)的，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為4， 3，2，1

17、,0.所以的可能取值為0， 2,4P(0)C42 (0.6) 2 (1 0.6)20.3456 P(2)C41 (0.6)1 (10.6)3C 43 (0.6) 3 (10.6)10.4992P(4)(0.6) 4(10.6)40.1552所以的分布列為024P0.34560.49920 1552E00.345220.499240.15521.6192.（ 2）因?yàn)?f ( x)( x3 ) 21 9 2 , 所以函數(shù) f ( x) x23x1在區(qū)間 3,) 上單調(diào)遞24382增要使f ( x) 在 4,) 上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)24,即.3從而 P( A)P(8)P(0) P(2) 0.844

18、8.3評注： 本題是相互獨(dú)立事件的概率的求法，注意隨機(jī)變量的取值要一一列出，并求出各種情況的概率，列出分布列。另外本題還與函數(shù)相結(jié)合計算概率。4兩點(diǎn)分布、二項分布、重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)的概率例 9為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n 株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p ，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E3，標(biāo)準(zhǔn)差為6 。2（）求 n, p 的值并寫出的分布列；（）若有3 株或 3 株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率分析： 一株沙柳要么成活，要么不成活，屬于兩點(diǎn)分布，對于n 株沙柳來說就是二項分布，可用公式直接表示數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差，

19、求出n, p 的值并寫出的分布列， 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，可以從正面解答，也可從反面解答，轉(zhuǎn)化為不需要補(bǔ)種的問題。解： (1)由 Enp3,()2np(1p)3, 得 1p1,122從而 n6, p的分布列為，20123456P161520156164646464646464(2)記”需要補(bǔ)種沙柳 ”為事件 A,則 P( A)P(3), 得P( A)1 6152021, 或 P(A)1P( 3)115 61 2164326432評注： 本題為比較簡單的二項分布問題，直接運(yùn)用公式進(jìn)行計算即可。要對二項分布列必須熟悉。例 10甲、乙兩隊參加奧運(yùn)知識競賽，每隊3 人，每人回答

20、一個問題，答對者對本隊贏得一分，答錯得零分假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為2，乙隊中 3 人答對的概率分別為22133， ，且各人回答正確與32否相互之間沒有影響用表示甲隊的總得分（）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）用 A 表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用 B 表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求 P( AB ) 分析： 甲隊中每人答對的概率均為2 ，表示甲隊的總得分，則隨機(jī)變量服從二項分布，乙隊中 33人答對的概率都不同，各人回答正確與否相互之間沒有影響，事件A,B 為相互獨(dú)立事件，事件A 是甲、乙兩個隊總得分之和等于3，事件 B 是甲隊總得分大于乙隊總得分，則AB 就

21、是甲、乙兩個隊總得分之和等于 3 且甲隊總得分大于乙隊總得分的事件，所以甲、乙兩隊的分?jǐn)?shù)之間有聯(lián)系，可以先確定一個，再確定另一個，從而分類求得。（）解法一：由題意知，的可能取值為0，1， 2， 3，且31 ，P( 1) C311 22P(0) C301 222 ，32733921 24， P(3P(2) C3223) C3328 339327所以的分布列為0123P1248279927的數(shù)學(xué)期望為 E011224382 279927解法二：根據(jù)題設(shè)可知， B23，3k3 k2k ， k因此的分布列為 P(k)C3k212C3k01，2，33333因?yàn)?B2E322 3， ，所以33（）解法一：

22、用C 表示“甲得2 分乙得1 分”這一事件，用D 表示“甲得 3 分乙得0 分”這一事件，所以 AB C U D ，且 C，D 互斥，又2221112111110P(C)221C3333323323324，3345 ，P(D) C3321 1 133323由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D)1043434343535243解法二：用 Ak 表示“甲隊得k 分”這一事件，用Bk 表示“乙隊得k 分”這一事件， k01，2，3由于事件 A3 B0 ， A2B1 為互斥事件，故有P( AB)P( A3B0 U A2 B1)P( A3B0 ) P( A2 B1) 由題設(shè)可知，事件A3 與

23、B0 獨(dú)立，事件 A2與 B1 獨(dú)立，因此P( AB) P( A3B0 ) P( A2B1) P(A3 )P(B0 )P( A2 ) P( B1)3C3222211111C21234 332232232232243評注： 本題中涉及到兩個隊，情況比較復(fù)雜，要學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，仔細(xì)分析題目，由淺入深，排除干擾，抓住問題的實(shí)質(zhì)解答問題。另外還要看到兩隊之間的聯(lián)系，從而找到解決問題的策略。分類討論做到不重不漏。例 11購買某種保險， 每個投保人每年度向保險公司交納保費(fèi)出險，則可以獲得10000 元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10000a 元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)人購買了這種保險，且各投保人是否

24、出險相互獨(dú)立已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為140.99910（）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p ；（）設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）50000元，為保證盈利的期望不小于0 ，求分析： 由一年度內(nèi)有 10000 人購買了這種保險， 且各投保人是否出險相互獨(dú)立 ，可知這些保險是服從二項分布的；保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為 50000 元，盈利就是該險種總收入減去成本和賠償金總額， 而賠償金總額與出險的人數(shù)為 有關(guān)由 （ ）知 服從二項分布， 從而計算出盈利的期望。解：各投保人是否出險互相獨(dú)立，且出險的概率

25、都是p ，記投保的10000人中出險的人數(shù)為，則 B(104 ， p) （）記 A 表示事件：保險公司為該險種至少支付10000元賠償金，則A 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)0 ，P( A)1 P(A) 1P(0)1 (1p)104，又 P(A) 10.999104，故 p0.001（）該險種總收入為10 000a 元，支出是賠償金總額與成本的和支出10 00050 000 ，盈利10 000a(10 00050 000) ，盈利的期望為 E10 000a10 000E50 000 ，由 B(104，3)知，E10 000103，10E104 a104E5 104104 a10410410 35104 E 0

26、104 a 104 10 5 10 4 0a 10 5 0a 15 （元）故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15 元評注： 本題中的數(shù)學(xué)環(huán)境是以保險為背景考查二項分布列，對于學(xué)生來說有些陌生，不易理解，而第二問又是間接地解答問題，所以本題難度較大。5超幾何分布例 12從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1 件，假設(shè)事件A ：“取出的 2 件產(chǎn)品中至多有 1 件是二等品”的概率P( A)0.96 （ 1）求從該批產(chǎn)品中任取1 件是二等品的概率p ；（ 2）若該批產(chǎn)品共100 件，從中任意抽取2 件，表示取出的2 件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列分析： 本題已知“取出的2 件產(chǎn)品中至多有1

27、 件是二等品”的概率，求從該批產(chǎn)品中任取1 件是二等品的概率p ，可以用 p 表示出至多有 1 件是二等品的概率，分兩種情況，取出的2 件產(chǎn)品中無二等品，和取出的 2 件產(chǎn)品中恰有1 件二等品，利用互斥事件的概率公式求出。（ 2）中的所有取值列出，總體中有特殊，所以是超幾何分布類型，按照要求取出求出分布列。解：（1）記 A0 表示事件“取出的2 件產(chǎn)品中無二等品” ，A1 表示事件“取出的2 件產(chǎn)品中恰有1 件二等品”則 A0， A1 互斥，且 AA0A1 ，故 P( A)P( A0A1)P(A0)P( A1) (1p)2C12 p(1p)1 p2 ，于是 0.961 p2 解得 p1 0.2

28、，p20.2 （舍去）（ 2）的可能取值為 01，2若該批產(chǎn)品共 100 件，由（ 1）知其二等品有100 0.2 20 件，故P(C802316P(1)C180C120160C202190)495C1002 P(2)C1002495C1002495所以的分布列為012P31616019495495495評注： 本題為超幾何分布，是總體中有特殊，能否取到特殊元素，取幾個等問題按個數(shù)求的分布列，其實(shí)質(zhì)就是按要求取元素的過程。6一般的隨機(jī)事件的概率及其分布列例 13 某中學(xué)號召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社參加人數(shù)會公益活動（以下簡稱活動） 該校合唱團(tuán)共有 100 名學(xué)生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計

29、如圖所示50（ I）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動的人均次數(shù)；40（）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動次數(shù)恰30好相等的概率（）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用 表示這兩人參加活動2010次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望 E 活動次數(shù)123分析：首先要把圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言，變?yōu)橐阎獥l件，轉(zhuǎn)化信息，他們參加活動次數(shù)恰好相等會分三種情況，即都參加1 項， 2 項或 3 項公益活動， 分別計算合并，（）中注意隨機(jī)變量的含義為表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，列出所有可能情況求出。解：由圖可知，參加活動1 次、 2 次和 3 次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50 和 40110250340230（

30、 I）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動的人均次數(shù)為1002.3 100（）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為C102C502C40241P0C100299（）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1 次活動，另一人參加2 次活動”為事件A ，“這兩人中一人參加 2 次活動，另一人參加3 次活動”為事件B ，“這兩人中一人參加1 次活動，另一人參加 3 次活動”為事件 C 易知P(1)P( A) P( B)C101C501C501C40150；C1002C100499P(2)C101C4018P(C)；C 299100的分布列：012P41508999999的數(shù)學(xué)期望： E 0

31、411 502829999993評注： 解決本題的關(guān)鍵是要讀懂題意，注意圖形語言的轉(zhuǎn)化和題目所要求的要解決的問題。例 14甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空. 比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6 局時停止 . 設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為1 ，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立 . 求：2（）打滿3 局比賽還未停止的概率；（）比賽停止時已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望E.分析：打滿 3 局比賽還未停止，說明三人中沒有連續(xù)獲勝的，即第一局如果甲獲勝，則第二局丙獲勝，第三局乙獲勝，對應(yīng)一種情況；同理，第一局如

32、果乙獲勝也對應(yīng)一種情況。比賽停止時已打局?jǐn)?shù)最少兩局，最多六局，可以分別按前面的做法交叉進(jìn)行下去，一一計算。解：令 Ak , Bk ,Ck 分別表示甲、乙、丙在第k 局中獲勝 .（）由獨(dú)立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿3 局比賽還未停止的概率為 P( AC1 2B3 )P( B1C2 A3)111 .23234（）的所有可能值為2， 3， 4， 5， 6，且P(2) P( A1 A2 ) P( B1B2 )111,22222P(3) P( AC1 2 C3) P(B1C2C3 )1112323.4P(4) P( AC1 2B3B4) P(B1C2 A3 A4 )111 .

33、24248P(5) P( AC1 2 B3 A4 A5 ) P(B1C2 A3B4 B5 )1 11 ,252516P(6) P( AC1 2 B3 A4C5 ) P(B1C2 A3B4C5 )1 11 ,252516故有分布列23456P111112481616從而 E2 13 141516147（局） .248161616評注： 本題中的隨機(jī)事件的概率，只能分別按實(shí)際情況分類計算。7預(yù)測題y矩形 ABCD 的（ 1）任意一點(diǎn)落在由函數(shù)3與直線 x及 y1 ycos x(0x 2)圖象C2D 1所圍成的一個封閉圖形內(nèi)的點(diǎn)所占的概率是（）O3x2ABA 4B 1132332C1 D23分析：

34、陰影部分的圖形不規(guī)則，其面積只能用定積分求出，概率為面積之比。333解：由題意可知陰影部分的面積為21 cos x2S1 0x sin x |01 ，矩形 ABCD 的面積為23 ，矩形 ABCD 的任意一點(diǎn)落在由函數(shù)y cos x(0 x 2 )圖象與直線 x31的圖象所圍成及 y112的一個封閉圖形內(nèi)的點(diǎn)所占的概率是2，故選 B3評注： 對于不規(guī)則圖形的面積要用定積分求出，再由幾何量之比求出概率。（ 2）（原創(chuàng)）在區(qū)間 0,1 上任取兩個數(shù) a,b ，則方程 x22axb 0 沒有實(shí)根的概率為 .分析： 求出方程有實(shí)根的條件，可發(fā)現(xiàn)這是一個求幾何概型的概率問題，求出相關(guān)平面區(qū)域的面積，即可求概率 .b0a1ba2解：若使方程 x 2axb 0 有實(shí)根，須滿足0b1，14a24b00a1O1a即 0b1它表