三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式教學(xué)設(shè)計(張麗梅)

1、課題：1. 3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（第1課時）授課教師：敦化市實驗中學(xué)張麗梅教材：人教A版高中數(shù)學(xué)必修4I .教案內(nèi)容解讀本節(jié)課的教案內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的公式二至公式四，是三角函數(shù)的主要性 質(zhì)。前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式一和任意角的三角函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)公式二至公式四為下節(jié)課研究公式五，公式六以及以后的三角函數(shù)求值、化簡打好基礎(chǔ)。三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是圓的對稱性的“代數(shù)表示”，利用對稱性，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)終邊分別關(guān)于原點或坐標(biāo)軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使得“數(shù)”與“形”得到緊密結(jié)合，成為一 個整體.誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和推證過程還體現(xiàn)了三角函數(shù)之間的內(nèi)部聯(lián)系，是定義的延伸與應(yīng)

2、用，在本章中起著承上啟下的作用.誘導(dǎo)公式的重要作用是把求任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求0°90。角的三角函數(shù)彳1.誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，體現(xiàn)了 “數(shù)形結(jié)合”和復(fù)雜到簡單的“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法， 反映了從特殊到一般的歸納思維形式.對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有積極的作用 .本節(jié)課的重點是誘導(dǎo)公式的探究， 即利用三角函數(shù)的定義借助單位圓， 通過尋找角的終 邊的對稱性與角終邊與單位圓交點的對稱性發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，從而提高對數(shù)學(xué)知識之間（圓的對稱性與三角函數(shù)性質(zhì)）聯(lián)系的認(rèn)識。n.教案目標(biāo)設(shè)置1 .能借助三角函數(shù)的定義及單位圓的對稱性推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，會利用

3、誘導(dǎo)公式進行簡單的三角函數(shù)式的求值與化簡.2 .學(xué)生經(jīng)歷自主探究發(fā)現(xiàn)問題（任意角的三角函數(shù)值與“-豆產(chǎn)+,-«的三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系），提出研究方法（利用坐標(biāo)的對稱關(guān)系，從三角函數(shù)的定義得出相應(yīng)的關(guān) 系式）并完成推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想的運用3 .在探究活動中，學(xué)生通過獨立思考和合作交流， 發(fā)展思維，從探索中獲得成功的體驗， 感受數(shù)學(xué)中結(jié)構(gòu)的對稱美，形式的簡潔美。m.學(xué)生學(xué)情分析授課班級學(xué)生敦化市實驗中學(xué)實驗班學(xué)生.1 .學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義、各象限角的三角函數(shù)值的符號和公式一，這些內(nèi)容是學(xué)生理解、歸納公式二至公式四的基礎(chǔ)，推導(dǎo)公式的關(guān)鍵是明確單位

4、圓上對稱點的坐標(biāo)關(guān)系， 這一點對于實驗班的學(xué)生來說是可以獨立完成的，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與思維能力較好，具有一定的分析問題和解決問題的能力，初步養(yǎng)成了獨立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣.2 .難點及突破策略難點：1、如何引導(dǎo)學(xué)生從單位圓的對稱性與任意角終邊的對稱性中發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法。2、怎樣幫助學(xué)生理解公式中角 3的任意性。3、怎樣記憶公式二至公式四突破策略：1 .教師通過復(fù)習(xí)任意角三角函數(shù)的定義先引入單位圓，引起學(xué)生對單位圓這一有效工具的注意，從總體上認(rèn)識研究的目標(biāo)與手段.2 .教師利用幾何畫板的演示幫助學(xué)生直觀感受"的任意性。3 .通過小組內(nèi)交流，組間相互補充，展現(xiàn)思維過程后師生共同歸納

5、概括公式的記憶方法。IV .教案策略設(shè)計根據(jù)學(xué)生已有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)， 為提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力， 本節(jié)課的教案，采用自主學(xué)習(xí)方式.通 過教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷誘導(dǎo)公式二至四的推導(dǎo)過程，認(rèn)識研究的目標(biāo)與策略， 在研究的過程中逐漸完善研究的方法與手段。本節(jié)課學(xué)生需探究的問題如下：給定一個角：.：(1)角n的終邊與角U的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？(2)角 y 的終邊與角«的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？(3)角兀-口的終邊與角口的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？(4)誘導(dǎo)公式一至四的共同特征是什么，怎樣記憶更容易？V .教案過程設(shè)計(1) .創(chuàng)設(shè)問題情境師

6、生活動：教師提問，學(xué)生思考、回答，學(xué)生口述的同時，教師板書問題的結(jié)果。問題1: (1)我們是怎樣利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的?(2)終邊相同角的各三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？問題 2: sin390 ° =?那 sin570 ° =?教師引導(dǎo)：由公式一可將 sin570 °化為sin210 ° , 210°雖然在0°360°之間可是 也不能直接獲得其三角函數(shù)值，能否再把0°360°間的角的三角函數(shù)值化為我們熟悉的0°90。間的角的三角函數(shù)問題呢？如果能，那么任意角三角函數(shù)求值問題都可以化歸成銳角

7、三角函數(shù)求值， 特殊的銳角有特殊值， 而非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查表最終解決。這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)和研究解決這類問題的方法【設(shè)計意圖】 通過復(fù)習(xí)舊知，提出的新問題，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考，為新知識的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，激起學(xué)生們的興趣 .(2) .探索新知，匯報交流問題3:你能用我們剛剛復(fù)習(xí)的方法求出sin210。嗎？師生活動1:教師提出具體問題，學(xué)生獨立思考并回答老師的提問。師生活動2:教師追問：390°的終邊與銳角30°角的終邊重合，那 210°角的終邊與那個 銳角的終邊有關(guān)系呢？它們的三角函數(shù)間又有怎樣的關(guān)系呢？【設(shè)計意圖】教師通過問題引導(dǎo)，從課前提出的具體問題入

8、手，用定義求解學(xué)生是可以想到并完成的，但借助學(xué)生熟悉的特殊角去建立30。角的終邊與 210。角的終邊的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為角的終邊與單位圓交點坐標(biāo)之間的關(guān)系需要教師引導(dǎo)，從這個過程中讓學(xué)生體會研究此類問題的思路和方法，為下一步研究任意角豆和n +ct個三角函數(shù)之間的關(guān)系做好鋪墊。探究一：給定一個角a :角n十口的終邊與角a的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？ 師生活動：學(xué)生進行組內(nèi)探究，教師走進小組，觀察學(xué)生探究的進展，指導(dǎo)組內(nèi)生生互助， 共同完成任務(wù)。然后學(xué)生代表為全體學(xué)生講解研究過程.經(jīng)過探索，歸納成公式sin(兀十比)二 一sin a cos(ti + )= - cos Of

9、由(冗+二面Q-公式二【設(shè)計意圖】 有了 30。和210。角各三角函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)，學(xué)生們對問題3的研究思路和解決問題的方法有一定的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二，讓學(xué)生體驗證明猜想的樂趣，凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位.問題4:公式中的角&僅是銳角嗎？【設(shè)計意圖】課前提問的問題是以300引入的，之后的討論只是用代數(shù)方法換成了一般形式的角CL ,有些同學(xué)肯定會有這樣的疑問，這也是本節(jié)課的一個教案難點，所以這個問題的解決好，就是突破難點的關(guān)鍵 .師生活動：演示幾何畫板課件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相應(yīng)的三角函數(shù)值，拖動其終邊上任意點，再讓學(xué)生觀察每一象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號和它

10、們之間存在的對稱關(guān)系，從而驗證了猜想，使學(xué)生更直觀的理解了這個公式.問題5:你知道己與（-口）終邊有怎樣的對稱性嗎？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系呢？ 探究二：任意角口與（-&）三角函數(shù)的關(guān)系，及a與（H 儀）的三角函數(shù)值的關(guān)系. 經(jīng)過探索，歸納成公式sin（一Q）=-sina匚。£（-值）=C0*Qtan （一儀）二一tan Q 公式三【設(shè)計意圖】類比公式二的推導(dǎo)方法，大多數(shù)學(xué)生應(yīng)該能夠完成公式三的推導(dǎo)及證明了，仍然設(shè)計以學(xué)生分組討論，合作學(xué)習(xí)的方式來完成探究任務(wù)的目的是在活動中借助生生互助，相互交流來培養(yǎng)學(xué)生的合作意識，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)中的對稱美，激發(fā)學(xué)生更積極地去尋找規(guī)律、

11、認(rèn)識規(guī)律.探究三：如果兩角的終邊關(guān)于 y軸對稱，那么這兩個角之間有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間又有什么關(guān)系？sin （n - a） = sin aC0S（TT- a） = -cosaftan（LQ”面段 公式四師生活動：教師展示學(xué)生的研究成果，學(xué)生敘述其研究過程，教師板書公式四?！驹O(shè)計意圖】 借助終邊關(guān)于y軸對稱找出兩角的關(guān)系要比終邊關(guān)于原點，x軸對稱難度找兩角的關(guān)系大一點，前面已經(jīng)有了兩次探究的體驗，研究問題的思路學(xué)生已經(jīng)清楚了，只要能找出終邊關(guān)于y軸對稱的兩角的最簡表示形式即s與口 +冗，公式四的推導(dǎo)就會水到渠成。在此過程中充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和激發(fā)學(xué)生的參與、探究和體驗的欲望，讓他們

12、既動腦又動手，讓學(xué)生體驗數(shù)與形的關(guān)系，嘗試自主探究的樂趣師生活動：教師提問，學(xué)生思考并回答問題。問題6:除了再次利用單位圓的對稱性推導(dǎo)公式三公式四外，你還有其他方法嗎？【教案預(yù)設(shè)】在類比公式二的推導(dǎo)方法完成公式三和公式四的推導(dǎo)及證明（圖形中點的對稱幾何角度）后繼續(xù)拓展學(xué)生的思維，利用口角的任意性結(jié)合角的整體代換的思想（代數(shù)角度）由公式二，三可以得到公式四， 這也是對剛剛獲取的新公式的一次應(yīng)用，作為實驗班的學(xué)生應(yīng)該有這樣的想法。另外借助三角函數(shù)線也可以完成這幾組公式的推導(dǎo)，教師作適當(dāng)點撥，引導(dǎo)有興趣的學(xué)生課下繼續(xù)研究。（三）總結(jié)概括新結(jié)論師生活動：教師利用PPT將公式一至公式四一起展示在屏幕上，

13、為總結(jié)概括公式的特征和記憶的方法做好準(zhǔn)備。三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：S二二二工 二二 二S 二二工：一 三公式二：二）I：.二.：.二二-1.、二公式三：S二匚二 E.二二；一二 ；二衛(wèi),一二公式四：S二 L 二 wm1 -二二說明：公式中的a指使公式兩邊有意義的任意一個角.探究四：誘導(dǎo)公式一至四的共同特征，歸納記憶方法問題7:你能概括一下公式一、二、三、四的共同特征嗎？師生活動：教師提醒學(xué)生從三角函數(shù)名稱和式子的符號兩方面總結(jié)概括公式一、二、三、四的特征。2日士 a他±q-a的三角函數(shù)值，等于4的同名函數(shù)值，前面加上一個把a 看成銳角時原函數(shù)值的符號.公式特點：“函數(shù)名不變，符號看

14、象限”【設(shè)計意圖】 訓(xùn)練學(xué)生的概括能力， 但是學(xué)生未必能總結(jié)出十字口訣，教師要適時引導(dǎo)和提醒。（四）鞏固應(yīng)用例i求下列三角函數(shù)值：師生活動：學(xué)生板書，教師巡視，糾正錯誤.lh（1）cos225"； （2）3 ； （3）t而皿一行）；（4）200分析：先將不是02兀范圍內(nèi)角的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為02j范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)（利用誘導(dǎo)公式一）或先將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導(dǎo)公式化到02范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的值.cos 225口 = cos(l 80°+45° -cos 450 = - 解：(1)2.11k. .71、, K J3sin =sinfw-) = sin =-333

15、2.(3)./ 16 兀%, 1611.七 K. . . 71= - sin = - sin(j7r+) = -(.-sin-(4)cos(-2040") = cos 2040° = coj(6x 360J 120°)cosl200-cos(1800-60°) =-costO0 -2 .【設(shè)計意圖】在得到誘導(dǎo)公式后，在此讓學(xué)生獨立去實踐解決問題,在實踐中體會誘導(dǎo)公式在解題過程中的應(yīng)用， 使任意一個角都轉(zhuǎn)化為他們所熟知的銳角,體會從未知到已知的化歸思想，從而為總結(jié)出解題的一般步驟奠定基礎(chǔ)問題8:用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般步驟是什么?（學(xué)生大膽說，互相討論后師生共同歸納結(jié)論）（五）課堂小結(jié)（由學(xué)生問題9 :通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲嗎？主要提示從以下三方面 完成）【設(shè)計意圖】 通過提問的形式，引導(dǎo)學(xué)生概括歸納已有知識，形成知識體系；深化對誘導(dǎo)公式內(nèi)涵和實質(zhì)的理解，挖掘知識形成過程中所體現(xiàn)歸納和轉(zhuǎn)化的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.（六）作業(yè)布置：1 . 27頁練習(xí)1、2、3