信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)習(xí)套題一答案

1、信號(hào)與系統(tǒng)套題一一、簡(jiǎn)答題1、y(t) =ex(0) f (t) + f(t)ft) dt其中x(0)是初始狀態(tài)，f(t)為激勵(lì)，y為全響應(yīng)，試回答該系統(tǒng)是否是線(xiàn)性的？ 解：由于無(wú)法區(qū)分零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，因而系統(tǒng)為非線(xiàn)性的。3、若信號(hào)f (t)的最高頻率為 20KHz,則彳t號(hào)f2(t) = f (2t) + f (3t)的最高頻率為 KHz;若對(duì)信號(hào)f2(t)進(jìn)行抽樣，則奈奎斯特頻率fs為 KHz。解：本題目主要考查的是取樣定理的條件：11f(2t) F(j-) f (3t) F(j-) 2233因而：f(2t)的最高頻率為40KHz, f(3t)的最高頻率為60KHzf2(t) =

2、f(2t) + f(3t)的最高頻率為兩個(gè)分信號(hào)最高頻率，為60KHz,若對(duì)信號(hào)f2(t)進(jìn)行抽樣，奈奎斯特頻率fs22 f2m =120 KHz4、設(shè)系統(tǒng)的?散勵(lì)為f(t),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)與激勵(lì)之間的關(guān)系為：yzs(t)= f(-t),判斷該系統(tǒng)是否是 時(shí)不變的，并說(shuō)明理由。解：設(shè)f1(t) = f(t-t0),若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則必有結(jié)論yzs1=yzs(t-t0)。根據(jù)題意，由f1(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：yzs1(t) = f1(t -10),根據(jù)信號(hào)的基本運(yùn)算，yzs1(t) =f1(t-t0)=f(-1+t0),很明顯，yzs1¥yzs(tt。)，因而

3、系統(tǒng)為時(shí)變的。7、設(shè)系統(tǒng)的激勵(lì)為f(t),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)與激勵(lì)之間的關(guān)系為：Yzs(k)= f(k)* f(k1),判斷該系統(tǒng)是否是線(xiàn)性的，并說(shuō)明理由。解：系統(tǒng)為非線(xiàn)性的。因?yàn)楸磉_(dá)式中出現(xiàn)了f(k)的二次方。11,8 < 2rad / s一9、已知f的頻譜函數(shù) F(j8) =,，對(duì)f (2t)進(jìn)行均勻抽樣的奈奎斯特抽樣間隔TN為：0, > 2rad / ss。 ji答案：一410、已知描述系統(tǒng)的微分方程為y'(t)+sinty(t)= f (t)其中f(t)為激勵(lì)，y(t)為響應(yīng)，試判斷此系統(tǒng)是否為線(xiàn)性的？解：系統(tǒng)為線(xiàn)性的。因?yàn)槲⒎址匠淌顷P(guān)于y(t) f(t)

4、及其導(dǎo)數(shù)的一次式。12、若信號(hào)f(t)的最高頻率為20KHz,則信號(hào)f(2t)的最高頻率為 KHz;若對(duì)信號(hào)f(2t)進(jìn)行抽樣,則奈奎斯特頻率 fs為 KHz。解：答案為40, 80;二、作圖題2、已知卜f2(t )的波形如下圖，求f (t)=t(tkf2(t)(可直接畫(huà)出圖形)fl tf2tAJI1 1 t1 0201解：解：本題可以利用圖解的方法，也可以利用卷積公式法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。卷積公式法：f1(t) = ;(t) - ；(t -2)f2(t) = ；(t) 一 ；(t 一1)f(t) =L(t)* f2(t) = ."( ”20)df(t)一二")f2(t - )d

5、= .()一( -2) ；()- ；(t- -1)d.f(t)=.二()(t -)d - .；()(t - -1)d-；(.-2) ；(t -)d I 7 ( - 2) ；(t - - 1)d利用階躍函數(shù)的性質(zhì)對(duì)上面的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)：TVdAt o-TVdtoT.dJt 2+T.dt 2=t (t) -(t -1)；(t -1)-(t -2) ；(t -2) (t -3) ；(t -3)f(t) =t<)- ；(t -1)(t-1)- ；(t -2) -(t -3) ；(t -2) - ；(t-3)根據(jù)上面的表達(dá)式，可以畫(huà)出圖形：4、已知函數(shù)f1(t)和f2(t)波形如圖所示，畫(huà)出f1(t

6、)* f2(t)波形圖。解：從圖上可以看出， f2(t) = C.(t 2) (t - 2)所以 fi（t）* f2（t） = fi（t+2）+fi（t2）即:分另將fi (t)分別向左和向右移動(dòng)兩個(gè)單位的和信號(hào)。三、綜合題1、某線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)在下述fi(t), f2(t)兩種輸入情況下，初始狀態(tài)都相同，已知當(dāng)激勵(lì) fi(t)=B(t)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)；當(dāng)激勵(lì)f2(t)=(t )時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)y2(t )=2e,w(t )；試求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t ),寫(xiě)出描述該系統(tǒng)的微分方程。解：解：該題目主要考察的知識(shí)點(diǎn)：線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)，單位沖激響應(yīng)的定義， 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的

7、定義，以及單位沖激響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的關(guān)系。(1)由于系統(tǒng)為線(xiàn)性時(shí)不變的，因而滿(mǎn)足分解特性。即 y(t) = yzi(t) + yzs(t)oyzs(t) =h(t)* f(t)所以：y(t) =yzi(t) h(t)* f(t)根據(jù)已知條件可列寫(xiě)方程：yi(t) =yzi(t) h(t)* fi(t)y2(t) = yzi2(t) h(t)* f2(t)由于系統(tǒng)在fi(t), f2(t)兩種輸入情況下，初始狀態(tài)都相同，因而根據(jù)零輸入響應(yīng)的定義，yzii(t) = yzi2(t) = yzi(t)又由于fi(t)= 6(t), f2(t)=8(t),則由線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的微積分特性可得：yzsi(

8、t)= yZs2(t) = yzs(t)所以上述方程可寫(xiě)為：yi(t) =yz(t) h(t) y2(t) = yz)h(Jt)求解該方程組，直接利用時(shí)域求解比較繁瑣一些，我們可以利用s域分析方法求解:將上述方程組轉(zhuǎn)換到 s域：Yi(s) =Yzi(s) H(s)H(s) (1)Y2(s) =Yz(s)裝s2tyi t =3e ； t =Yi(s)=Y2 t =2e,； t = Y2(s)=-s 11、解萬(wàn)程組(1)可得：Y1(s) -Y2(s) = H(s)(1 -)s所以H(s)=Y(s) -丫2(1 -1/ s)1) 3s(s-1)/s (s-1)(s 2)2s21(s 1)(s -1)

9、 s 2 s 111/二丫一 H=t2t,yzi(t)=(e e ) ；(t)取H (s)的拉普拉斯反變換可得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)：h(t) =(2e2 e 上)；(t)根據(jù)H (s)的定義，可得： H(s)=Y(s)F(s) 一的 2)(s 1)所以：(s+2)(s+1)Y(s) =sF(s)即:2_(s2 3s 2)Y(s) =sF(s)取拉普拉斯反變換可得描述系統(tǒng)的微分方程為：y 3 y(t) 2y(t) = f (t)3t.t.2、已知某線(xiàn)性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為g(t) = (1.5e -0.5e )8(t)；當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)為 f (t) = (2+t)£(t),系

10、統(tǒng)的初始值為y(0Q =3,y'(0 J = 9,求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。解：由于系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為g(t) =(1.5e*t 0.5e*)鞏t),根據(jù)階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng) h(t)的關(guān)系 可得：h(t) = g (t) = (1.5e"t -0.5e4) (t)(-4.5et0.5e)；(t) =、(t) - 4.5e3 ；(t) 0.5e' ；(t)2s-2 Z 7s 3s 4_4 50 5將其轉(zhuǎn)化到s域，可得：H(s) =1 _25 +Y.5s 3 s 1則描述系統(tǒng)的方程為：y (t) 4y (t) 3y(t) = f (t) 21并將已知輸入轉(zhuǎn)化到 s域：F(s)= 十

11、五s s+(s 1)(s 3)2s2則，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為：Yzs(s)=2ss(s 1)(s 3)整理可得：Yzs(s) = -1 52 s 1 2 s 3取拉式反變換可得：yzs(t) =(-0.5e- 2.5eJt) 乂t)yzs(t) =(0.5e,-7.5eJ3t) ；(t) (-0.5e"t 2.5eJ3t)； (t)= (0.5e"t -7.5e3t) ；(t) 2、(t)從而：yz<0 ) =2,yzs(0 ) =-5所以：丫0(0)=y(0)7zs(0)=3-2=1，yzi(0 ) =Yzi(0-) = y (0 ) -yzs(0 ) = -

12、9 -(-5) =4因?yàn)槊枋鱿到y(tǒng)的微分方程為：y (t) 4y/t) 3y(t) = f ”(t)所以匕(s)=Sy"。-)yz"。-)"丫八。-)(S 1)(s 3)(s 1)(s 3) s 1 s 3所以 yzi(t) =(3.5e-2.5e2t) ；(t)所以系統(tǒng)的全響應(yīng)為:y(t) =yz(t) yzs(t) =3e,；(t)3、某LTI連續(xù)系統(tǒng)，已知當(dāng)激勵(lì)為2tf(t) = '(t)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng) yzs(t) = e t)。求：(1)當(dāng)輸入為沖激函數(shù)S(t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng);(2)當(dāng)輸入為斜升函數(shù)t*(t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)的定

13、義由:yzs(t) = f(t)*h(t)轉(zhuǎn)換到s域，可得：YzS(s) =F(s)H (s)將已知的輸入輸出轉(zhuǎn)換到s域，并代入，可得:121f(t) = ；(t)- -yzs(t) =e ；(t)，s1H(s)=Yzs(s)_ = _sl2 =_=1所以 h(t) =6(t) 2eN、(t)F(s) 1 s 2 s 2s 所以當(dāng)輸入為 3(t)時(shí),yzs(t) =h(t) =,g(t) -2ets(t)當(dāng)輸入為斜升函數(shù)t8(t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) = f(t)* h(t)=t4t)*h(t)轉(zhuǎn)換到s域:Yzs(s)=1 ss2 s 21s(s 2)112 s11 c,所以 yzs(t

14、)=(1,e2) ；(t)2 2M s _ 2s 75- -2 Z T -7A s s 3s 2 s 1yzst=L,Yzss= 3-4e± et； tyzt=LYzs= 5e _ 3e2 ；t y t =yzi t yzs t =3 e± -2e2t ； t4、描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為y t 3yt 2yt =2f t 6ft已知輸入 f(t)=&(t),初始狀態(tài) y(0_) = 2, y(0_)=1； 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yzi(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)和全響應(yīng)y(t)。解：對(duì)微分方程取拉普拉斯變換，有s2Y s -sy 0_ -v 0_ 3sY s

15、 -3y 0_ 2Y s= 2sF s 6F s整理得s2 3s 2 Y s)-ky 0_ y 0_ 3y 0_ = 2s 6 F s2s 61s2 3s 2 sB sYzs s =F s =A 某一 LTI連續(xù)系統(tǒng)，已知：當(dāng)起始狀態(tài) x(0_)=1 ,輸入f1(t )=2孤)時(shí)，其全響應(yīng)為y1(t)=at);當(dāng)起始狀態(tài) x(0_)=2 ,輸入f2(t)="t)時(shí)，其全響應(yīng)為y2(t )=3et"t ),求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：該系統(tǒng)考察的是 LTI系統(tǒng)的性質(zhì)：線(xiàn)性性質(zhì)。設(shè)由x(0_)=1單獨(dú)作用于系統(tǒng)所引起的零輸入響應(yīng)為：yz(t);則由x(0_)=2單獨(dú)作用于系統(tǒng)所引起

16、的零輸入響應(yīng)為：2yzi (t)；設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t),根據(jù)已知可列寫(xiě)方程： yzi(t) h(t)* fi(t) =y(t) 2yzi(t) h(t)* f2(t) =y2(t)將輸入輸出代入:yzi(t) h(t)*2 ；(t) = ；(t) 2yzi(t) h(t)*、.=3e 2t 功 將方程轉(zhuǎn)換到s域，可得:21Yzi(s)H(s)-s s32Yzi(s) H(s)=-s 2一，r1解之得：H (s)=(s 2)2s 1(s 1)(s 2)73=1 -(2s 1.H s = 1 - = 1s 3s 2 -) =1s 1 s 2取拉普拉斯逆變換，可得:h(t) = (t) (

17、e4 s -3e?) 乂t)s2 s 1(2)因?yàn)?H(s)=s-s2 3s 2，根據(jù) H(s)： H(s)=Ys)F(s)s2 s 1s2 3s 22 一 一2一(s 3s 2)Y(s) =(s s 1)F(s)則描述系統(tǒng)的微分方程可寫(xiě)為：y (t) - 3y 2y(t)=f “(t) f (t) f(t)'Vzi (t )滿(mǎn)足方程:yzi(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0' 'yzi(0 J = y(0 J = yzi(0+), yzi(0 J = y'(0_) = yzi(0+)將方程轉(zhuǎn)換到s域，可得:(s%(s) -syzi(0_) -yZi(0

18、_) 3(sYz(s) 7*0_) 2Yz(s) =0整理可得:Yzi(s)=syzi (0 )yzi (0 ) 3yzi(0 J3s 2將初始狀態(tài)代入可得：s 4Yzi(s)=三-s 3s 2取拉普拉斯逆變換，可得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為:yzi(t) =(-2e”3e')；(t)yzs(t) =h(t)* f(t),所以：131113Yzs(s) =H(s)F(s) =(1 一一-)- -s 1 s 2 s s s(s 1) s(s 2)整理可得：、，,、111313 11 113 1Yzs(s)二 一 一一 二 s s s 1 2 s 2 s 22 s s 12 s 2取拉普拉斯逆變換

19、可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：yzs(t) = (l e)+-et)s(t)227、某LTI系統(tǒng)在下述f1(t), f2(t)兩種輸入情況下，初始狀態(tài)都相同，已知當(dāng)激勵(lì)G(t)=6(t)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)y1(t) =5(t)+e、(t)；當(dāng)激勵(lì) f2(t)="t)時(shí),系統(tǒng)的全響應(yīng) y2(t) =3e%(t)；求：當(dāng)激勵(lì)為f3(t)=2名時(shí)系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：由于初始狀態(tài)相同，因而作用于系統(tǒng)引起的零輸入響應(yīng)相同，設(shè)為 yzi(t),同時(shí)設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：h(t)。根據(jù)題意有：yzi(t) +h(t)*6(t) =6(t)+e 氣(t)=yzi(t) h(t) ft) =3e(t)轉(zhuǎn)換到s

20、域，可得：111Yzi(s)+H(s)=1+Js+113Yzi (s) +H(s) -=L.s s +1解得：H(s)=s 1Yzi =-S 11將輸入f3(t) =e/%(t)轉(zhuǎn)換到s域，得f3(s)=s 21.此時(shí)s域系統(tǒng)的全響應(yīng)為 Y3(s) = Yzi (s) + H (s)s 2將已求的結(jié)果代入到上式，可得：Y3(s)取拉氏逆變換可得：y3(t) =9上 2e2)；代)t2t.8、已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=6(t)+(e -3e )a(t),求(1)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) H(s)；(2)求當(dāng)激勵(lì)f(t)=e3£(t)y(0J=1 y(0_)=1時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) y/t)和零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。解(1)因?yàn)?h(t)1 H (s)而h(t) = a(t)十(e"1 3e2”(t)兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，可得:1H(s) =1 s 1(s 1)(s 2) (s 2) -3(s 1)(s 1)(s 2)整理可得:H(s)=(s 1)(s 2) (s 2) -3(s 1)(s 1)(s 2)s2 s 1一 _2s2 3s 2(2)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義:H(s) =等而H(s)F(s)s2 s 1-2s 3s 2所以:整理可得:-23+s 2 s 1Yzisyzi (0 J yzi (0 J 3yzi(0)2«