初等代數(shù)研究課后習題答案完整版余元希

1、歡迎共閱初等代數(shù)研究課后習題完整版湛江師范學院數(shù)學院09(7)余1、證明自然數(shù)的順序關(guān)系具有對逆性與全序性，即(1)對任何a,bw N ,當且僅當a <b時，b >a.(2)對任何a,bwN,在a<b, a = b, a > b中有且只有一個成立.證明：對任何a,bwN,設(shè)A = a, B=b(1) “ = " a <b,則三B, u B ,使 A B, ,，Bn B, A，二 b >a“u ” b>a,則前，u B,使 B, A,二 ABv B ,二 a<b;綜上對任何a,bwN, a<bu b > a| I | J |

2、；(2)由(1) a<bu b > a,a <b與a Ab不可能同時成立，假設(shè),a cb與a =b同時成立，則3B, c 8,使A B,且A B ,7 尸。 /Z J 1.】IZ ：fb B B,與B為有限集矛盾，a <與2 = b不可能同時成立，綜上，對任何a,bwN,在a<b, a = b, a >b中有且只有一個成立.2、證明自然數(shù)的加法滿足交換律.證明：對任何a, bw N設(shè)M為使等式a+b = b+a成立的所有b組成的集合 r- - I、 f先證 a+1=1+a,設(shè)滿足此式的a組成集合k,顯然有1+1=1+1成立，1Wk*,設(shè)a。，a+1=1+a,

3、JM二 a 十三 k , ，k = N , 取定 a ,則 1M #巾，設(shè) bM,a + b = b + a,則 二二一，二對任何 a, be N , a+b = b+a3、證明自然數(shù)的乘法是唯一存在的證明：唯一性：取定a ,反證：假設(shè)至少有兩個對應(yīng)關(guān)系f ,g ,對Vbw N ,有f(b) ,g (b) N設(shè)M是由使f(b)=g(b)成立的所有的b組成的集合，f (b) = g(b) =a 1- 1 WM 獨 設(shè) b w N 則 f (b) = g (b)，f (b) + a = g(b) + a二 f (b) =g(b),- b+e M , ，M = N 即 Vb w N , f (b)

4、= g(b)乘法是唯一的存在性：設(shè)乘法存在的所有a組成集合K 當a = 1時，bbN N ,1 1 =1,1 b+=b+=b+1 =1 b+1, iw k ,設(shè) aw K , Vb= N ,有 a,b 與它對應(yīng)，且 1，a=a, ab+=ab+a,對 vbwN,令 a% = ab + b,a +w K 二K = N即乘法存在p245、解：滿足條件的 A有 A1=1,2, A2 =1,2,3, A3 =1,2, 4, A4 =1,2,5備=1 , 2, 3, 4強=1,2,3,5 , A7=1,2,4,5 , A8 =1,2,3,4,5 A1=2,a2 = A3 = A4=3,A5 = a6=A

5、7 =4,A8 =5基數(shù)和為 2+33+43+5=28p246、證明：A = a,B=b, A中的x與B中的y對應(yīng)，A m B = ab ,二 B 父 A = ba = ab . .11 ' .1 1p248、證明：1) 3+4=72) 3 4=12. IJ U? Ip2412、證明：1) (m + nj+=m+ + n +2) (mnj+=nm+m* J：”.1.產(chǎn) Ijjp26-36、已知f (m, n)對任何m, n w N滿足求證：1) f (2, n) = n 2 2) f(3,n)=2n+23) f(4, n)=2n41-2a 飛、 t JI證明：1)當 n=1 時，f(2

6、,1) = f (1 + 1,1)= f(1,2) =2+1=1+ 2結(jié)論成立，假設(shè)n = k時，結(jié)論成立，即f(2,k)=k+2,當n=k +1時，所以對一切自然數(shù)結(jié)論都成立2)當 n=1 時，f(3,n) = f(2+1,n) = f (2,2) =2+2 = 2 1+2 結(jié)論成立假設(shè)n = k時，結(jié)論成立，即f(3,k)=2k+2當n=k +1時，所以對一切自然數(shù)結(jié)論都成立3)當 n=1 時，f(4,1)= f(3+1,1)= f(3,2) = 2x22 = 21*2 結(jié)論成立假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即f(4,k)=2«-2當n = k +1時，所以對一切自然數(shù)結(jié)論都成立p62

7、1、證明定理2.1證明：va,b,c,d wZ , a,b+c,d =a+c,b+d因為自然數(shù)加法滿足交換律a +c,b+d=c+a,d +b I * j Ii '而c,d a,b =c a,d b, a,b c,d =c,d a,b司a,b,c,d,e, fwZ ,以為自然數(shù)滿足加法結(jié)合律.(a,b c,d) e, f =a,b (c,d e, f )11 I1 J I / 即整數(shù)加法滿足交換律和結(jié)合律I I|i1 p622、已知a,b,c,dwZ ,求證a,b =c,d的充要條件是a, b-c,d =1,1證明：已知a,b =c,d貝U a+d =b+ c“u ” 已知a,bc,d

8、 =1,1則a + d,b+c = 1,1, a + d = b + cp624、已知 a, b N ,求證(-a,b) =a, b iI證明：-a,b£7b,a-( 4a b 戶-b a, = ab,p625、已知a,b,c,dEZ ,求證-(a,b c,d) = a,b+c,d "-0JI證明：左邊(a,bc,d) =-a+d,b + c =b+c,a+d右邊-a,b+c, d = b, a +c, d =b + c,a + d所以左邊等于右邊- -(a,b -c,d) =-a,b c,dp627、已知 a,b,cN,求證當且僅當 a+d < b + c時a,b

9、<c,d證明：“二” 已知 a+d<b+c, a,bc,d = a+d,b + c因為 a d ： b c a d, b c!負數(shù)，a,b < c, d已知a,b <c, d則a,b c,d =a +d,b +c因為a+d,b-c是負數(shù),二 a+d<b + cp629、已知 a,PwZ,求證：1) d + 耳 M « +j P| , 2) 口耳=叫耳證明：設(shè)：=a,b, =c,d1) a +P =a +c,b +d /. |cc +P| =|(a+ c)- (b d)而聞=a -b ,| P| =|c-d2) up =ac+bd,ad +bc 二怦 =|

10、ac +bd - (ad +bc)| i '而問=|a _b=|c d. p6312、n名棋手每兩個比賽一次，沒有平局，若第k名勝負的次數(shù)各為ak,bk, ,IIk =1,2, n , 求證：a；+a2+. + an =b1+b2+ bn11 ;證明：對于ak(k=1,2,，n),必存在一個bj( j =1,2,n)使得ak =""XjX： 1| 二jj / /p63-16、已知 p|10a-b, p|10c-d ,求證 p|ad -bc證明：由已知： 玉,t w Z 使10a b = ps , 10c -d = ptp6317、設(shè)2不整除a,求證8 a2+1i)證

11、明：因為2不整除a ,所以存在唯對q, r w Z ,使a = 2q + r ,其中0 二 r ：二 2=r =1 ,a2 =4q2+4q+1 = a2-1=4q(q+1), 8 a2-1"-0JIp6320、設(shè) aZ,求證 a(a+1)(a+2)(a+3)+1 是奇數(shù)的平方證明：a十1,a十2肯定一奇一偶/. (a +1)(a + 2)肯定為偶數(shù)二(a+1)(a +2) -1肯定為奇數(shù)p6322、證明：前n個自然數(shù)之和的個位數(shù)碼不能是 2、4、7、9證明：前n個自然數(shù)的和為ann2因為：n個自然數(shù)的和仍為自然數(shù)二 1+n與n中必定一個為奇數(shù)一個為偶數(shù)若個位數(shù)碼為2則1+n與n的個位

12、數(shù)碼只能是1,4或4,1而(1+n) - n=1二個位數(shù)碼不能為2若個位數(shù)碼為4則1+n與n的個位數(shù)碼只能是1,8或8,1也不可能成立若個位數(shù)碼為7則1+n與n的個位數(shù)碼有2種可能，則2,7或1,14也不可能成立，若個位數(shù)碼為 9則1+n與n的個位數(shù)碼有2種可能，即2,9或1,18也不可能成立，綜上，前n個自然數(shù)和的個位數(shù)碼不能是2,4,7,9p6326、證明2.3定理1(4®,a”)=(同,同,同)證明：因為：(a1，a2,.an,)是a1，a2,.an的公因數(shù)中的最大數(shù)所以R需考慮非負整數(shù)二(為但,.an,)=(同,|a2,同)"11 I p6329、證明2.3定理4的

13、推論(a,b) =1的充要條件是有x, y w Z使得ax+by = 1證明：因為(a, b)=1,a,b不全為0、二_f iI 廠) / '“二”由定理 4 mx, y w Z 使 ax+by = (a,b) = 1“u ”設(shè)(a,b) =d 則 d|a,d|b ,二 d|ax + by 二 d|1 d =( a, b) = 1p6330、證明2.3定理6及其推論。定理 6:若m N ,則(ma, mb) = m(a,b)證明：若a,b都為0,則(0,0) =m(0,0)顯然成立若a,b不全為零，則 永0,y° J 使ax°+by0 =(a,b) '

14、9;''''、max +mby =(ma, mb)而 max + mby = m(ax +by )因為 Vx,yWZ, ax0+by0 |ax + by ax0 + by01 ax + by而(ma, mb) amx0 + mby0 =m(a,b) .(ma, m 牛 ma ?推論：設(shè)d是a,b的公因數(shù)，則(a/d,b/d) =1的充要條件是d=(a,b)證明：“ n" d 是 a, b 的公因數(shù)二 d w N , d =c( a/ d, b/ d)= ( a, b“ u ” 因為 d = (a,b)，戈 y w 乙使 ax + by = d二 三x,

15、 y w Z ,使(a/d)x+ (b/d)y =1 = (a/d,b/d)=1p6432、證明2.3定理七及其推論定理七：若(a,c)=1, bwZ, b,c中至少有一個不為0,則(ab,c) = (b,c)證明：b,c中至少有一個不為0 與x, y w Z使abx+cy =(ab,c)因為(a,c)=1(a b, c) b, (a b, c)因為(b,c) (ab,c) /. (a b, c)= (b,c)推論：若(a, c)=1, (b,c)=1,則(ab, c)=1證明：因為(b,c)=1 ,，b,c不為零二(a b, c)= (b ,c上 1p64-33、已知 n是奇數(shù)，n|a+b,

16、n|a-b,求證 n|(a,b)證明：因為 n|a+b,n|a-b n a + b» + ( a - k) , n ( a 0 一(a 0二 n |2 a, n 2b n|2 (a ,b,)因為 n 是奇數(shù),n|(a,b).二： III I 1 1 ,./,1y. I I 'it I ,p64-36、已知(a,b) = d,(a ,b ) = d ,求證(aa , ab , ab, bb ) = dd. i r-_ j I 'j _.J F|I IL-氣 7/'u/ I證明：(aa , ab ) = a(a ,b ) = ad ,(ab,bb ) = bdp6

17、4-40、已知aw N ,求證a,2a,na中n的倍數(shù)的個數(shù)等于(n,a)證明：當(n,a)=1時，n|na結(jié)論成立，當(n,a) = d 時，d >1 ,令 a = da1 , (n, a1) =1 ,則 a,2a,na 可改寫為r- I 、da1,2da1, nda1 因為 d >1 所以其中一定包括 na1,2na1, (d -1)na1,dna1 都是n的倍數(shù)，共有d個p6442、已知p是異于3的奇素數(shù)，求證241P2-1證明：p是異于3的奇素數(shù)，-p2-1為偶數(shù)，p>3=p2 -1>9p2 -1 =(p +1 ) p -算片p+1,p-1都為合數(shù)，且都大于3二

18、p十1,p -1都可被2、3中的一個整除,若2 p-1 ,則由p+1=(p-1) + 22 p+1 ,因為 p +1 >3, p-1>3- 2 4p2 - 1p6444、已知整數(shù)a,n都大于1, an-1是素數(shù)，求證a = 2且n是素數(shù)證明：反證 n不是素數(shù) 當a=2時an _1不是素數(shù)與已知矛盾，所以n是素數(shù)p6445、求不大于50的一切素數(shù)解：平方不大于50的素數(shù)是2,3,5,7則不大于50的一切素數(shù)2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47p64一p64-49、已知整數(shù) a,b,c都大于 1,求證(a,c),(

19、 b, c) = (a, b, c)證明：(a,c),(b,c) = (a,c)(b,c) =( ab ,c)=(a,b,c)(a,c),(b,c)(a,b)、聲 j Ii 'p66-69、已知 p 是奇素數(shù)，求證 1) 1+2p+3p + + ( p1)p 三 0(mod p) *, zd!_ /I I % >j 12) 1 2p,3pJ . (p-1)pJ = 1(mod p)證明：1)因為(1,p) =1,(2, p) =1,(p-1,p)至 1 yl| ；/?: T. j .I l A "，1p 三 1 ( m cpd , )2p 三 2(mod p),1- , IJ &