級(jí)數(shù)斂散性的判別方法論文 終稿

1、級(jí)數(shù)斂散性的判別方法論文 終稿 淮北師范大學(xué)信息學(xué)院 2021 屆學(xué)士學(xué)位論文 級(jí)數(shù)斂散性的判別方法 系 別: 數(shù)學(xué)系 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào): 20211884083 姓 名: 趙 高 指 導(dǎo) 教 師:陳冬君 指導(dǎo)教師職稱:講 師 2021年 5 月 10 日級(jí)數(shù)斂散性的判別方法趙 高淮北師范大學(xué)信息學(xué)院,淮北,235000摘 要 級(jí)數(shù)有很多重要的性質(zhì),其中斂散性是級(jí)數(shù)的一個(gè)非常重要的性質(zhì),斂散性的判別方法也一直是人們研究的熱點(diǎn).通過判別級(jí)數(shù)的斂散性進(jìn)一步了解級(jí)數(shù)的性質(zhì).本文探論了正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)以及任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法,正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)的多變性,決定了判

2、別正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法會(huì)有多種,主要有達(dá)朗貝爾判別法、柯西判別法、萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法.當(dāng)然由于通項(xiàng)的特殊性也會(huì)有特殊的方法判別.本文通過歸納一些判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)與交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的方法,讓人們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中對(duì)級(jí)數(shù)斂散性的判別能夠很好的把握,并掌握這些判別法成立的條件. 關(guān)鍵詞:正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、斂散性、判別法.The Convergence of the Series of Discriminant MethodZhao GaoCollege of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,2

3、35000AbstractThe series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This artic

4、le of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the c

5、onvergence of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discriminant. This paper summarized some cri

6、teria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp the discriminant conditions.Key words:Series of positive terms,Alternating series,Convergence and divergen

7、ce,Discriminant analysis method目錄引言1一、級(jí)數(shù)及其斂散性的有關(guān)概念1二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法21、比式判別法(達(dá)朗貝爾判別法)22、根式判別法(柯西判別法)33、拉貝判別法44、高斯判別法55、對(duì)數(shù)判別法56、隔項(xiàng)比值判別法57、運(yùn)用微分中值定理判別級(jí)數(shù)斂散性68、利用數(shù)列判別級(jí)數(shù)的斂散性69、運(yùn)用等價(jià)無窮小替換判別級(jí)數(shù)的斂散性7三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法81、利用級(jí)數(shù)斂散性定義判定82、萊布尼茨判別法93、極限判別法104、添加括號(hào)法115、通項(xiàng)變形法126、微分形式判別法137、比值判別法或根值判別法14四、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法15總 結(jié)16參考文

8、獻(xiàn)16致 謝17 引言 級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成局部,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)值計(jì)算的一種工具.對(duì)于一個(gè)級(jí)數(shù),我們首先要討論其斂散性,然后才討論其求和問題.本文就級(jí)數(shù)的斂散性的判別方法作了一些探討.正項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)級(jí)數(shù)是整個(gè)級(jí)數(shù)家族中比擬重要和特殊的.對(duì)其斂散性的判別方法也有別于一般的級(jí)數(shù),除適用于一般級(jí)數(shù)的斂散性判別法外,還有許多專門針對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法,常見的如達(dá)朗貝爾判別法、柯西判別法、拉貝判別法、萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法、微分形式判別法等.其實(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法遠(yuǎn)不止這些,下面就介紹幾種級(jí)數(shù)斂散性的判別法. 一、級(jí)數(shù)及其斂散性的有關(guān)概念 定義1 給

9、定數(shù)列: , ,那么式子 稱為無窮級(jí)數(shù),簡稱為級(jí)數(shù). 定義2 如果級(jí)數(shù)滿足0(1,2,)那么稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).如果級(jí)數(shù)是正負(fù)項(xiàng)交錯(cuò)出現(xiàn)的,即,或0,1,2 那么稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).由定義,級(jí)數(shù)表示無窮多個(gè)數(shù)的和,但不能理解為無窮多個(gè)數(shù)逐次求和.事實(shí)上,這樣也做不到.利用數(shù)列極限可以表示級(jí)數(shù)的和,同時(shí)給出級(jí)數(shù)斂散性的定義. 定義3 級(jí)數(shù)前項(xiàng)之和記為,稱為級(jí)數(shù)的第次局部和. 當(dāng)分別取1,2, ,時(shí),得到級(jí)數(shù)的局部和數(shù)列:如果當(dāng)時(shí),的極限存在,即時(shí),那么稱級(jí)數(shù)是收斂的,且稱為級(jí)數(shù)的和,記為;如果當(dāng)時(shí),的極限不存在, 即不存在,那么稱級(jí)數(shù)是發(fā)散的.由定義,只有收斂的級(jí)數(shù)才有和的問題,發(fā)散的級(jí)數(shù)沒有和,或者說發(fā)散

10、級(jí)數(shù)的和不存在.所以有必要研究級(jí)數(shù)的斂散性. 由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)是各項(xiàng)的符號(hào)均為正號(hào)的級(jí)數(shù),它是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最簡單也是最有代表意義的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). 所以它收斂的最根本的判別方法也是從級(jí)數(shù)的判斂性質(zhì)中引出,因此本文先討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性. 有了著一方法來判斷某些簡單的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性后,以它作為參照,可以判斷另外一些稍微復(fù)雜的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.下面先來介紹正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法. 二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法 1、比式判別法(達(dá)朗貝爾判別法)定理 設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果,那么 (1) 當(dāng)01時(shí),級(jí)數(shù)收斂; (2) 當(dāng)1+時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散; (3) 當(dāng)1時(shí),此法失效. 例1 判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性. 解:1所以滿足定

11、理1中的(1),故正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂. 例2 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性. 解:由可知滿足定理1中的(1),所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂. 像正項(xiàng)級(jí)數(shù) (x0)、等都可采用此法判斷. 2、根式判別法(柯西判別法) 定理 設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果,那么 (1)當(dāng)01時(shí),級(jí)數(shù)收斂; (2)當(dāng)1+時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散; (3)當(dāng)1時(shí),此法失效. 例3 研究級(jí)數(shù)的斂散性. 解:由于所以級(jí)數(shù)是收斂的.注:級(jí)數(shù)、 、(0,0)等都可采用此法判斷. 比式判別法與根式判別法都是建立在正項(xiàng)級(jí)數(shù)比擬判別法根底上的,所用的比擬級(jí)數(shù)是收斂速度相比照擬快的等比級(jí)數(shù).這兩種方法雖然更方便,但是它們也只能用于判別那些比等比級(jí)數(shù)收斂速度更快的級(jí)數(shù),而對(duì)于那一類比

12、等比級(jí)數(shù)收斂速度更緩慢的級(jí)數(shù),這兩種判別法就無能為力了 這兩種判別方法是我們用得比擬多,因?yàn)樗鼈冇闷饋砗芊奖?但是,對(duì)于比值判別法與根值判別法存在兩點(diǎn)缺乏: 1 當(dāng)時(shí),判別法失效,既有收斂的,也有發(fā)散的級(jí). 2 判別法可能由于 根本不存在而失效. 3、拉貝判別法定理 (拉貝判別法) 設(shè)0 (1,2,3) 如果存在r1使得時(shí)有,那么級(jí)數(shù)收斂; 如果對(duì)充分大的都有,那么級(jí)數(shù)發(fā)散定理 (拉貝判別法的極限形式) 設(shè)0 1,2,滿足,那么(1)假設(shè)1, 那么級(jí)數(shù)收斂;(2)假設(shè)1,那么級(jí)數(shù)發(fā)散.注:拉貝判別法在判別范圍上比比式判別法更加廣泛些,在使用時(shí)會(huì)方便些. 4、高斯判別法定理 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足 ,那

13、么(1)當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; (2)當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.注:高斯判別法是最強(qiáng)的,但凡能用比式判別法、根式判別法、拉貝判別法判別斂散性的正項(xiàng)級(jí)數(shù),均可采用高斯判別法來判定. 5、對(duì)數(shù)判別法 定理 設(shè)0 1,2, 如果滿足,那么 (1) 當(dāng)1時(shí),級(jí)數(shù)收斂; (2) 當(dāng)1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散. 6、隔項(xiàng)比值判別法 定理 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的項(xiàng)是遞減的,如果,那么 (1) 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂; (2) 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散. 7、運(yùn)用微分中值定理判別級(jí)數(shù)斂散性 定理 設(shè)在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)函數(shù)有界,那么級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂例4 試判斷級(jí)數(shù)的斂散性解:易知在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),同時(shí)的導(dǎo)函數(shù)有界,由微分中值定理可以得出絕對(duì)收斂. 8、利用數(shù)列判

14、別級(jí)數(shù)的斂散性 定理 假設(shè)數(shù)列有界,那么級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂推論1 假設(shè)數(shù)列 ()有上界,那么正項(xiàng)級(jí)數(shù) 當(dāng)時(shí)收斂推論2 假設(shè)數(shù)列 ()有界,那么正項(xiàng)級(jí)數(shù) 當(dāng)時(shí)收斂定理 當(dāng)時(shí),正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散定理 假設(shè)數(shù)列 ()收斂于,那么正項(xiàng)級(jí)數(shù) 當(dāng)時(shí)收斂. 定理 設(shè)為一數(shù)列,且,假設(shè),那么: (1)當(dāng) 時(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂; (2)當(dāng) 時(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散; (3)當(dāng) 時(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 9、運(yùn)用等價(jià)無窮小替換判別級(jí)數(shù)的斂散性 定理 設(shè)和均為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且當(dāng)時(shí),為等價(jià)無窮小量,那么和的斂散性保持一致例5證明: 假設(shè)極限 ,那么級(jí)數(shù)收斂證: 因?yàn)? 即當(dāng)時(shí),等價(jià),而 ,所以 ,又由于收斂,故級(jí)數(shù)收斂例6 判別級(jí)數(shù)的斂散性. 解:因

15、為時(shí), 而 當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)發(fā)散.故 當(dāng)時(shí),收斂; 當(dāng)時(shí),發(fā)散. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法雖然較多,但每種判別方法都有它的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì),沒有一種萬能的判別方法.我們不能單單只知道這個(gè)定理的公式,而應(yīng)真正去認(rèn)識(shí)這個(gè)定理,了解這個(gè)定理的特點(diǎn)和它的使用局限.同時(shí)還要了解在哪些情況下用這個(gè)定理可能會(huì)相對(duì)方便簡單,這就有很好的應(yīng)用意義,給解題帶來很大的方便.對(duì)于一種判別方法,它可能在處理此問題時(shí)好用,而在處理彼問題時(shí)卻失效.例如,用達(dá)朗貝爾判別方法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性就無能為力了,但用拉貝判別法卻可以非常方便地解決這一問題.因此,在判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性問題時(shí),不妨多嘗試幾種方法,一種不行就換另

16、一種,總之,應(yīng)用最簡單的方法去解決級(jí)數(shù)斂散性問題 三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法 1、利用級(jí)數(shù)斂散性定義判定 例7 判別級(jí)數(shù)的斂散性分析 此為交錯(cuò)級(jí)數(shù),但不滿足,設(shè)為級(jí)數(shù)的局部和,先證單調(diào)減少而有下界; 括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)均小于零,因而單調(diào)減少,又因有下界,故存在,設(shè),又因此,從而,故原級(jí)數(shù)收斂 例8 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性 分析而級(jí)數(shù)發(fā)散,故,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.注:該方法是最原始的也是最根本的方法,應(yīng)用起來思路比擬簡單. 2、萊布尼茨判別法 定理 假設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下述兩個(gè)條件:(1) ;(2) 數(shù)列單調(diào)遞減,那么該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂 例9 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性. (1) (2) 解:(1)、此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),那么

17、;且,即:數(shù)列單調(diào)遞減.因此,交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂. (2)、此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),;顯然數(shù)列單調(diào)遞減.因此,交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂. 注:例中兩個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)雖然都收斂,但是,它們通項(xiàng)的絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù),即正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.因此,級(jí)數(shù)條件收斂,而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 雖然萊布尼茨判別法可以判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性,但是在具體應(yīng)用過程中也存在一些問題:判別法中的兩個(gè)條件難于驗(yàn)證;在級(jí)數(shù)收斂時(shí),不能直接判別級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂還是條件收斂;該判別法只給出了級(jí)數(shù)什么時(shí)候收斂,沒有給出級(jí)數(shù)發(fā)散的條件.因此我們需要學(xué)習(xí)其他的判別法,以下介紹了其他的判別法. 3、極限判別法 定理 假設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足:,那么 1當(dāng)時(shí),原交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,

18、 特別地,當(dāng)時(shí),原交錯(cuò)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 當(dāng)時(shí),原交錯(cuò)級(jí)數(shù)條件收斂; 2當(dāng)時(shí),原交錯(cuò)級(jí)數(shù)發(fā)散.注:由于該定理無法給出和的情況,所以要具體情況具體討論,不過該定理明確了交錯(cuò)級(jí)數(shù)何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,具有十分重要的意義.一般我們遇到以下情況時(shí)用該定理非常方便:通項(xiàng)含有連乘積;通項(xiàng)含有階乘項(xiàng)或次方的乘積等. 4、添加括號(hào)法 定理設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于0,假設(shè)將級(jí)數(shù)不改變次序地任意添加一些括號(hào),且諸括號(hào)里所含最大項(xiàng)數(shù)有限,那么構(gòu)成的新級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)同斂散. 利用以上定理,我們?cè)谂袆e交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),首先只需看一般項(xiàng)是否趨于0,然后再隨意添加括號(hào),看看由此得到的新級(jí)數(shù)是否收斂,即知原級(jí)數(shù)是否收斂了 例1

19、0 求的斂散性 分析 所給級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于0,將原級(jí)數(shù)加括號(hào)后成為如下級(jí)數(shù)由于1,又級(jí)數(shù)發(fā)散,從而加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,故所給級(jí)數(shù)發(fā)散 例11 求級(jí)數(shù)的斂散性 分析 將原級(jí)數(shù)加括號(hào)后成為如下級(jí)數(shù)由于,又級(jí)數(shù)收斂,從而加括號(hào)的級(jí)數(shù)收斂,故所給級(jí)數(shù)收斂.注:其實(shí)添加括號(hào)法就是將有相同規(guī)律的項(xiàng)用括號(hào)括起來組成一個(gè)新項(xiàng),進(jìn)而組成一個(gè)新的級(jí)數(shù),再用其它的判別法判別其斂散性. 5、通項(xiàng)變形法 將級(jí)數(shù)的通項(xiàng)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗ冃?使之分解為幾個(gè)級(jí)數(shù),討論各級(jí)數(shù)的斂散性,再利用收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性,這是一種較常用的行之有效的方法 例12判別級(jí)數(shù)的斂散性. 分析 將通項(xiàng)因?yàn)槭諗?發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散 例

20、13判別級(jí)數(shù)的斂散性 分析 利用泰勒公式對(duì)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)進(jìn)行展開,由得到故上式右邊各個(gè)級(jí)數(shù)均收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.注:通項(xiàng)變形法就是將級(jí)數(shù)的通項(xiàng)化簡一下,然后再判別其斂散性. 6、微分形式判別法定理 對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù) 設(shè)當(dāng)時(shí),為正的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),令,假設(shè) (1)當(dāng)包括+時(shí),級(jí)數(shù)收斂,其中在時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂,而當(dāng)包括+時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; (2)當(dāng)包括-時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散例14 判別級(jí)數(shù)的斂散性. 解:令, ,那么 ,由定理17可知: 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)條件收斂例15 判別級(jí)數(shù)的斂散性. 解: 令 ,那么,所以所給級(jí)數(shù)收斂且絕對(duì)收斂.注:微分形式判別

21、法是通過對(duì)通項(xiàng)求導(dǎo)的方法來判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性.它應(yīng)用起來方便有效,且作為交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一個(gè)判別法所起的作用是萊布尼茲判別法所不能替代的. 7、比值判別法或根值判別法 定理 比值判別法:時(shí),發(fā)散,當(dāng)r1時(shí),收斂. 根值判別法:當(dāng)時(shí),發(fā)散,當(dāng)r1時(shí),收斂. 例16 判別級(jí)數(shù)的斂散性. 解: 由 1 故由比值判別法可知交錯(cuò)級(jí)數(shù)發(fā)散. 例17 判別級(jí)數(shù)的斂散性. 分析又,從而, ,故由根值判別法知原級(jí)數(shù)收斂.注:交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法有很多,但是每種方法都有它的優(yōu)點(diǎn)和劣點(diǎn),沒有一種萬能的判別方法.所以我們?cè)谶\(yùn)用時(shí)要靈活變通,使用最恰當(dāng)?shù)姆椒?這樣會(huì)讓我們做起題來得心應(yīng)手. 四、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法 設(shè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) (其中 1,2,3)令 定理 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂. 比值審斂法解決的是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散問題.對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)比值法也無能為力.但是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,依賴于,即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.對(duì)此,有兩種情況:假設(shè)收斂,那么絕對(duì)收斂; 第二,假設(shè)發(fā)散.那么可能收斂,也可能發(fā)散,即對(duì)后者的斂散性沒有定論.通過研究,我們發(fā)現(xiàn),假設(shè)的發(fā)散性是由比值法判斷而得,那么一定也發(fā)散,故可以得出以下定理.