施密特正交化)

1、施密特正交化在線性代數(shù)中,如果內(nèi)積空間上的一組向量能夠張成一個(gè)子空間,那么這一組向量就稱為這個(gè)子空間的一個(gè)基.GramSchmidt正交化提供了一種方法,能夠通過(guò)這一子空間上的一個(gè)基得出子空間的一個(gè)正交基,并可進(jìn)一步求出對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交基.這種正交化方法以J?rgenPedersenGram和ErhardSchmidt命名,然而比他們更早的拉普拉斯Laplace和柯西Cauchy已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一方法.在李群分解中,這種方法被推廣為巖澤分解Iwasawadecomposition.在數(shù)值計(jì)算中,GramSchmidt正交化是數(shù)值不穩(wěn)定的,計(jì)算中累積的舍入誤差會(huì)使最終結(jié)果的正交性變得很差.因此在實(shí)際應(yīng)

2、用中通常使用豪斯霍爾德變換或Givens旋轉(zhuǎn)進(jìn)行正交化.記法尸：維數(shù)為n的內(nèi)積空間 I;6P：尸中的元素,可以是向量、函數(shù),等等 幼,讓仍與外的內(nèi)積 叩an®,%,：%、5%張成的子空間projv«=7v ：在史上的投影根本思想圖1v在V2上投影,構(gòu)造V3上的正交基bGram-Schmidt正交化的根本想法,是利用投影原理在已有正交基的根底上構(gòu)造一個(gè)新的正交基.設(shè)也G了tVk是Vn上的k維子空間,其標(biāo)準(zhǔn)正交基為不在vk上.由投影原理知,V與其在vk上的投影PTOJvM卻之差BE/Q=e_£proj»7i=vi=l是正交于子空間vk的,亦即b正交于vk的正

3、交基Tio因此只要將B單位化,3,3那么41,.,#+1就是Vk在v上擴(kuò)展的子空間spanv,41,.,刀k的標(biāo)準(zhǔn)正交基.根據(jù)上述分析,對(duì)于向量組Vl,.,Vm張成的空間Vn,只要從其中一個(gè)向量不妨設(shè)為vi所張成的一維子空間spanv1開(kāi)始注意到vi就是spanv1的正交基,重復(fù)上述擴(kuò)展構(gòu)造正交基的過(guò)程,就能夠得到Vn的一組正交基.這就是Gram-Schmidt正交化.算法首先需要確定擴(kuò)展正交基的順序,不妨設(shè)為g,.一,Ur.Gram-Schmidt正交化的過(guò)程如下:03=-叮1-3E2加_且電_I同4眼這樣就得到span壽才.vn上的一組正交基以及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交基考察如下歐幾里得空間Rn中向量的集合,歐氏空間上內(nèi)積的定義為<a,b>=bTa:卜面作GramSchmidt正交化,以得到一組正交向量:卜面驗(yàn)證向量Bi與B2的正交性:將這些向量單位化:就是spanvi,v2的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.不同的形式Gram-Schmidt正隨著內(nèi)積空間上內(nèi)積的定義以及構(gòu)成內(nèi)積空間的元素的不同,交化也表現(xiàn)出不同的形式例如,在實(shí)向量空間上,內(nèi)積定義為：(a.o)=ba在復(fù)向量空間上,內(nèi)積定義為：3fe)bHa函數(shù)之間的內(nèi)積那么定義為：/QOf(T)g(x)dx*oo與之對(duì)應(yīng)