高中數(shù)學(xué)所有公式(非常有用)

1、高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1. 元素與集合的關(guān)系xwAOxeqA, xwqAOxgA.2. 徳靡根公式q(AHB)= q AUqB；q (aUb) = q ApcB.3. 包含關(guān)系A(chǔ)C|E= AO AUB = B OAuEOQjBcqA OAgB = 0 時(shí)，若 x = -Aep,q,則 f何 口 =f(-4 疵百血I 5：2a2a若x=-掃pq f(xL=Jf(p)，f(q)，f(q). 當(dāng) aCO 時(shí)，若 x= -g p,q,則 fCx) =miiif(p), f(q),2a若 x=ep,q,則 f(x) = maxf(p), f(q)， f(x) = minf(p), f(q).2a7.

2、 定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)在給定區(qū)間R,0上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)o(t為參數(shù))恒成立的充要 條件是 f(x,t)1TBn0(xL)在給定區(qū)間Z0上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)O(t為參數(shù))恒成立的充要 條件是 fgt) SO(xeL).a 0f(x) = ax4 + br + c0恒成立的充要條件是a 0或彳八 b-4ac 08.四種命題的相互關(guān)系互否則PP9 充要條件(1) 充分條件:(2) 必要條件:(3) 充要條件:若p=q,則p是q充分條件.若q = p ,則p是q必要條件.若p=q，且q=P，則P是q充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件

3、；反之亦然10.函數(shù)的單調(diào)性(1) 設(shè)齊電wa,bx; H冷那么(坷一禺)片仙)一 f(x)OU f仙)一 f區(qū))oo f(x)在a,b上是增函數(shù)：(否一電)f(否)一以花)vOo0 f (x)在a,b_h是減函數(shù).(2) 設(shè)函數(shù)y =f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f (x) 0,則f(x)為增函數(shù)：如 果f (x) 0,a Hl).(4) 幕函數(shù) f(x) = xA, f(xy)= f(x)f(y),f (L) = a.16.有理指數(shù)蒔的運(yùn)算性質(zhì)(1) a1 a1 = a,4,(a 0,r,seQ).(2) (ar)3 = aB(a 0,r,seQ).(3) (ab)r = axbr (a

4、0,b 0,r gQ).注：若a0, p是一個(gè)無理數(shù)，則才表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)無的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)霧都適用.17. 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式loga N = b O ab = N (a 0, a H1, N 0)18. 對(duì)數(shù)的換底公式loo N loga N =- (a 0,且心 1, m 0,且m = N 0).log推論 log .b = log, b ( a 0,且 al,mu】0,且m“，n = N 0 ).a ni19對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若 a0, aHl, M0, N0,則(1) logA (MN) = logA M + log, N ;M(2) loga = lo

5、ga M - loga N ;N(3) loga Mn = n loga M(n e R).20.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式= aj + (n - l)d = dii + aj - d(n e N*)；其前n項(xiàng)和公式為 n(alt= n(n-ndn 2 + tan a tail 卩a sina + bcosa = Ja?+L sin(a+e)(輔助角/所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決 定，tai】0=-). 2d/1 小=ir + (a, - d)n. 1 221等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an = aiqn_1 = qn（neN*）? q其前n項(xiàng)的和公式為Sn = S i-qnapq = l22常見三角不等式貝

6、lj sin x x tail x （1 ）若 XG（O,）,2(2) 若xw(O,),則 1 sinx+ cosx0) 228. 正弦定理亠 -二亠 = 2R. (R是外接圓的半徑) sin A sinB sin C29. 余弦定理a2 = b3 + c2-2bc cos A; b3 = c2 + a2-2ca cosB ; c2 = a2 + b2-2abcosC.30. 面積定理(1) S = -aha = -bl = -chc (g、g、g分別表示 a、b、c 邊上的高).2 2 2(2)absinC = besin A=2ca sin B.31. 三角形內(nèi)角和定理在AABC 中，有

7、A+B + C = OC = ;r (A+E)A+B2O2C = 2/r 2(A+ B).32. 向量的數(shù)最積的運(yùn)算律：(1) ab=ba (交換律)；(2) ( 2 a) b= A (a b) =A a b二 a ( 2b);(3) (Mb) c= a c +b c33. 平面向量基本定理如果6、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一 向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入ix A 2,使得少叭iei+A ：e=.不共線的向量6、叫做表示這一半面內(nèi)所有向量的一組基底.34. &與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a b=|a| |b|cos9數(shù)最積n b等于si的長(zhǎng)度圍與b在a的方向上的投影 |b

8、|cos0的乘積.35. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a二(xj,yJ, b=(x,y2),則 a+b=(q + x2,yi + y2).(2) 設(shè) a=(xj,y1), b二(電,yj,則 a-b=(齊一吃, - yj.(3) 設(shè) A(xj,yJ , B(X2，y2),則 AB = OB-OA=(電-舌腫?-%).(4) 設(shè) a二(x,y),乂wR,則 Aa=(x,y)(5) 設(shè) a二(齊,), b二(電,yj,則 a b=(齊馮 + yy).36. 兩向量的夾角公式cosq,y1), b=(x,y2) 且 bO,則 a|bob二入 a OX% 馮= 0.a丄b(aH 0) a IOXjX, +=

9、 0.39. 線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)耳(，P,卷,為)，P(x,y)是線段PR的分點(diǎn)，2是實(shí)數(shù)，且乖=丸亟，則 _ Xj + 2x2/1+2 o5F=西+兄亟% +幾為+兄.1+2oOP=tOE+(l-t)OE (t = -!).1+240. 三角形的重心坐標(biāo)公式AABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(xp yj、B(xg, y?)、C(x3, yj,則AABC的重 心的坐標(biāo)是g(X尹，紅嚴(yán)).O 為 AABC 的重心OA+OB + OC = 6.41.點(diǎn)的平移公式 OP = OP + PP注：圖形F上的任意一點(diǎn)P(x, y)在平移后圖形F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y), 且而的坐標(biāo)為(h,k).42. “按

10、向量平移”的幾個(gè)結(jié)論(1) 點(diǎn)P(x,y)按向量a二(h,k)平移后得到點(diǎn)P (x+ h,y+k).(2) 函數(shù)y = f(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C，則C的函數(shù) 解析式為丫= f(x-h) + k.(3) 圖象C按向暈a二(h,k)半移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng) = f(x),則 c的函數(shù)解析式為丫= f(x+h)-k.(4) 曲線C : f(x,y) = 0按向量a二(h,k)平移后得到圖象C，則C的方程為 f (x- li, y- k) = 0.(5) 向星m= (x, y)按向S： a= (h,k)平移后得到的向臺(tái)仍然為m= (x, y).43. 常用不等式：(

11、1) a,beR a2+b2 2ab (當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取“二”號(hào)).(2) a,beR+=Vb (S且僅當(dāng) a=b 時(shí)取“二”號(hào)).2(3) a3 + b3 + c3 3abc(a 0,b 0,c 0).(4) 柯西不等式:(a3 + b2)(c2 + d2)(ac+bd)2,a,b,c,deR(5) |a| |b|a4-b l時(shí)，af(x) as(x) f(x) g(x);f (x) 0log, f(x)10g(x)o g(x)0f(x)g(x)(2)當(dāng)0 va a6(x) o f (x) v g(x);f (x) 0log. f(x)10g,g(x)O0f(x)g(x)46. 斜率公

12、式k =匹二 (耳(齊,)、PH*,%).47. 直線的五種方程(1) 點(diǎn)斜式y(tǒng)-y】=k(x-齊)(直線1過點(diǎn)耳(齊,),且斜率為k).(2) 斜截式y(tǒng)=kx+b(b為直線1在y軸上的截距).(3) 兩點(diǎn)式(% 工) (齊,)、P“g,yJ (齊 hx,).y2-Yi 電-齊一(4) 截距式 -+ = l(a. b分別為直線的橫、縱截距，a、bHO)a b(5) 一般式Ax+By+C = O(其中A. B不同時(shí)為0)48. 兩條直線的平行和垂直若 I】:y = lqx+q , 12: y= kjX+Q h 丄 12=-1.49. I】到1?的倒角公式(l) taiia =(l1:y=k1x+

13、bi，l2:y=k2x+b2,lqk3-l) 50 兩種常用直線系方程(1) 平行直線系方程：與直線做+By+C = 0平行的直線系方程是 做+Ey+2 = 0 (2工0),入是參變量.(2) 垂直直線系方程：與直線Ac+By+C = 0 (AHO, BH0)垂直的直線系 方程是Bx-細(xì)+兄=0,入是參變量.51點(diǎn)到直線的距離d = +ByJ (點(diǎn)卩(冷,),直細(xì)：Ac+By+C = 0).VA- + B52. Ax+ By+ C 0或v 0所表示的平面區(qū)域設(shè)直線1: Ax+ By+ C = 0,則Ax+ By+ C0或0).x = a + r cos&y = b + r sin。(X-齊)(

14、x_電)+ (y-yj(y- y2) = 0 (圓的直徑的端點(diǎn)是54.直線與圓的位置關(guān)系直線Ax+ By+ C = 0與圓(x- a)2 + (y-b)2 = r21的位置關(guān)系有三種: d r o相離 0 ;d = r O相切OA = 0 ;d r O相交 0.其比ABbY|J疋+ E亍55.橢畔+戶(的參數(shù)方程是x= a cos& y = bsin&橢圓2L+y；=i(ab0)焦半徑公式 b-2 2橢関的的內(nèi)外部(1) 點(diǎn)P(Xo，yo)在橢圓(2) 點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓rb2rb2 + + X2_2aX2_2a|PFj= e(x+), |PF2|= e(-x).= l(a b0)的內(nèi)部

15、o里+ 辱1.a- lr= l(a b0)的外部O尊+卑1.a_ lr56. 雙曲線訂-厶= l(a 0,b0)的焦半徑公式lr22|PFi|=l e(x+)|, |PF3|=| e(-一 x)|.cc雙曲線的內(nèi)外部r or點(diǎn)P(Xj,y0)在雙曲線- = l(a 0,b0)的內(nèi)部o里-季1. a- b*a- lr(2) 點(diǎn)Pgy。)在雙曲線寫-書=2 0,b0)的外部o離一獸vi.aba d雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系（1）若雙曲線方程為二-卑=1=漸近線方程：二-真=OOy=h.a ITa- b-a（2）若漸近線方程為廠臥0蘭丫 = 0二 雙曲線可設(shè)為-4=-a a ba bnrr（3）

16、若雙曲線與二-卑=1有公共漸近線，可設(shè)為-二=入（九0,焦a- b_tr點(diǎn)在x軸上，入0,焦點(diǎn)在y軸上）.57. 拋物線y2 = 2px的焦半徑公式 拋物線y2 = 2px(p0)焦半徑|6| =觀+衛(wèi).2 過焦點(diǎn)弦長(zhǎng) |CD| = x + + x2 + = Xj + x2 + p.2 258. 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公|AB| = /（1 + ）（-）2 =| 齊一霆 | A + tan2 a =| y; - y21 J+cot匕（弦端點(diǎn)A（Xi，yJ,B（Xr,yJ ,由方程卩kx+b消去y得到ax +bx+ c = 0 ,一 一lF（x,y） = 0A 0, a為直線AB的傾斜角，k為

17、直線的斜率）.59. 證明宜線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共而二直線無交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行;（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平而無公共點(diǎn);（2）轉(zhuǎn)化為線線平行;（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn):（2）轉(zhuǎn)化為線面平行：（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.證明直線與直線的垂宜的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直：（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任

18、一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直：（3）轉(zhuǎn)化為該直線與半面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行半而；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平而的交線垂直.證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角;（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.60. 平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平 行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向最.61共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、sibu存在實(shí)數(shù)入使a=入bP、A、B 三點(diǎn)共線O AP| AB= OP = （l-t）OA+tOB.AB|CDO 忑、55共線且AB

19、、CD不共線 = tCD且AB、CD不共線.62. 共面向量定理向5 p與兩個(gè)不共線的向臺(tái)a、b共面的O存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使p= ax+by.推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的O存在有序?qū)崝?shù)對(duì)耳y,使MP = xMA+yMB ,或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y ,使 6育 Ox 1A.63. 對(duì)空間任一點(diǎn)0和不共線的三點(diǎn)A、B、C,滿足OP= xO yO& zO （x+y+z=k）,則當(dāng)k = l時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O,總有P、A、B、C四點(diǎn)共面: 當(dāng)kHl時(shí)，若Ow平面ABC,則P、A、B、C四點(diǎn)共而；若Oe平而ABC,則P、A、 B、C四點(diǎn)不共面.A、B、C、D四點(diǎn)共面O而與忑、入E共面

20、O喬二x亦+y疋O OD = （l-x-y）OA+xOB+yOC （Oe 平而 ABC）.64. 空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有 序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使 p = xa+yb+zc.推論設(shè)0、A、B、C冬乎共聊四更，貝迥空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的 三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, z,使OP二xOA+yOB+zOC.65 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a= (a1,a2,a3),)則(1) a+b= (a1+b,a2 + bl,a3 + b):(2) ab= (a! -b,a2-b2,a3-b3)；(3) 入 a= (,2,233) (A WR)；(4)

21、 a b= ajbj + a3b:設(shè) A(%z0, B(x2,y3,z2),則AB = OB OA二(x.-Xiy-j-ypZj-zi).66.空間的線線平行或垂直ii設(shè)a =(芻,力坷)，b = (x2,y2,z,),則iit ia| | bo a = lb(b 工 0) O “ = Ay2 :4 =也111 Aa丄bOab = 0 U齊卷+ % +彳乙=0.67.夾角公式設(shè) a= (apa2,a3),則cos日，b）晌 +Ja；+垃+ a； 術(shù)+甲+號(hào)推論（a1bi+a2b2+a3b3）2 （af+a；+b； +bf）,此即三維柯西不等式.68.異面直線所成角cos &=| cosJ 彳+

22、 yj +才Jx/ + y2，+襯（其中0 （00(i=l,2,-);(2) I+R+ - =1.83. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：(1) E(a+b) = aE() + b.(2) 若？B(n,p),則 E? = np.(3) 若歹服從幾何分布，且Pg = k) = g(k, p) = qi p，則E齊丄.p84. 方差Df=(q-E4r)2-p1 + (xi-E)2-p2 + -+(xh-E/)2-pn + -標(biāo)準(zhǔn)差兀二方差的性質(zhì):(1) D(a+b) = a2D 5(2)若？B(n,p),則Df=npQ-p)若歹服從兒何分布，且P(加kggpAqp,貝ijD? = 2.P_方差與期望的關(guān)系：DR E$-(E疔.85. f(x)在處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)f，(Xo)= y |x=3b=lim翌=lim心心-心)AxAx函數(shù)y= f(x)在點(diǎn)觀處的導(dǎo)數(shù)的兒何意義函數(shù)y= f(x)在點(diǎn)Xg處的導(dǎo)數(shù)是曲線丫= f(x)在P(