2013年度施工圖審查人員勘察專業(yè)繼續(xù)教育-馮永能

1、1復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí))(2mcpcHti自由電子的自由電子的Dirac方程方程 0 0iii 0 0 或或 Pauli-Dirac表象中表象中 的矩陣表示。的矩陣表示。 的矩陣表示：的矩陣表示：22 0 00 00 ,1 00 1I 44 I- 00 I2113自由電子的平面波解自由電子的平面波解)(2mcpcHti2mcpcH為了了解為了了解Dirac方程的物理性質(zhì)，下面，求解自由方程的物理性質(zhì)，下面，求解自由電子的電子的Dirac方程的解方程的解.自由電子的自由電子的Dirac方程方程 （1） 因為因為H不顯含時間，所以能量為守恒量。不顯含時間，所以能量為守恒量。這是自由電子時間均勻性的表現(xiàn)。這是

2、自由電子時間均勻性的表現(xiàn)。有哪些守量？有哪些守量？30,2mcpcpHp所以所以動量動量p為守恒量為守恒量，說明自由電子具有空間均勻性。，說明自由電子具有空間均勻性。波函數(shù)可以取能量和動量的共同本征態(tài)波函數(shù)可以取能量和動量的共同本征態(tài))(,)(),(EtrpiEpeputrEuumcpc)(2)(pu代入（代入（1）式，得）式，得滿足的方程：滿足的方程： (2)(3)(2mcpcHti （2） 0 0 I 00 I （1）44321)(uuuupu4321,uuuu（4）均為二分量波函數(shù)均為二分量波函數(shù)利用利用Pauli-Dirac表象，表象，其中其中代入（代入（3）式）式,得：得： Euum

3、cpc)(2u為多分量波函數(shù)，考慮到電子有自旋，令為多分量波函數(shù)，考慮到電子有自旋，令(3)EmcpcEmcpc22 0 05EmcpcEmcpc22kp0)(0)(22mcEkckcmcE （5） 方程具有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為方程具有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為0。即：。即：0 22mcEkckcmcE令令0)(22422kkccmE即即： （6） 60)(22422kkccmE)()(BAiBABA0222422kccmE224222242pccmkccmEE2242pccmE2242pccmE利用利用 正能量解正能量解 負能量解負能量解 7下面，求波函數(shù)下面，求波

4、函數(shù)由（由（5）式，）式，0)(0)(22mcEkckcmcE)()(22kmcEckmcEc上式給出了上式給出了, 之間的關(guān)系，具體表達式還未確定之間的關(guān)系，具體表達式還未確定.可得：可得： （7） 8j)(i 0,jipj（角動量和動量分量不對易）（角動量和動量分量不對易） 所以所以j, p不能有共同的本征態(tài)，不能有共同的本征態(tài)，p的本征態(tài)不是的本征態(tài)不是j的本征的本征態(tài)。不能把態(tài)。不能把j 的分量包含在（的分量包含在（H, P）這個守恒量的完全集）這個守恒量的完全集中。但是，對自由電子，存在內(nèi)稟角動量中。但是，對自由電子，存在內(nèi)稟角動量 . 00 或或 z)y,x,(i 00 iii0,

5、2mcpcpHpp所以所以守恒。守恒。對自由電子，對自由電子，H,P為守恒量，為守恒量，l,s不是守恒量，不是守恒量，但但j=l+s是守恒量是守恒量 9pppp所以所以和和H, P都對易，都對易，H, P的本征態(tài)也是的本征態(tài)也是的本征態(tài)的本征態(tài). 因此，可選（因此，可選（ ，H, P）為）為一組守恒量的完全集。即一組守恒量的完全集。即H, P的本征態(tài)的本征態(tài)u(p)同時也是同時也是的本征態(tài)：的本征態(tài)：uup)(（8）利用關(guān)系：利用關(guān)系：)()(BAiBABA2222)(kpp0,pp10p, kkk,所以所以的本征值的本征值采用采用Pauli-Dirac表象表象 00 p,下面，通過求解下面，

6、通過求解滿足的本征值方程，求出滿足的本征值方程，求出。11 00 ppp 00 )(pu代入（代入（8）式）式uup)( （8）pp 00 12,k以上兩式在形式上相同，說明以上兩式在形式上相同，說明都是都是 的本征態(tài)，的本征態(tài)， 二者之間最多相差一個系數(shù)。二者之間最多相差一個系數(shù)。方程（方程（9）的解：）的解： zyxyxzzzyyxxzzyyxxkikkkkkkkikkkkkkkk- i - - 00 0 i - 00 0令令21uu方程（方程（9）滿足：）滿足：2121- i - uuuukikkkkkzyxyxz)()(22kmcEckmcEc13化簡：化簡：0- i - -21uuk

7、ikkkkkzyxyxz-)i -(21zyxyxzkkkikkkuu 2121- i - uuuukikkkkkzyxyxz14-)i -(21zyxyxzkkkikkkuu, kkkkkkikkkkuuzyxyxz-)i -(21kkkkkikkkkuuzyxyxz)i -(21 15yxzikkukku21,21uu21uu可令可令或或求出以后，求出以后，可求。可求。zyxkkuikku21,kkkkkikkkkuuzyxyxz-)i -(21kkkkkikkkkuuzyxyxz)i -(211621uu求出以后，求出以后，)(pu)(,)(),(EtrpiEpeputr根據(jù)（根據(jù)（7）

8、式）式可求出可求出滿足的波函數(shù)滿足的波函數(shù)自由電子的平面波解：自由電子的平面波解：kpkkEE,對于給定的動量對于給定的動量)()(22kmcEckmcEc （7） ，分別對應(yīng)，分別對應(yīng)4個本征態(tài)，分別討論：個本征態(tài)，分別討論：可求可求17181920212223114電磁場中電子的電磁場中電子的Dirac方程與方程與非相對論極限非相對論極限 mcc2pHti 0 0 I 00 I利用利用Pauli-Dirac表象表象：電磁場中電子的：電磁場中電子的Dirac方程：方程：（1）自由電子的自由電子的Dirac方程方程:24AtiEetiEipAcepp , ,),(A0 mc)(c2Acepet

9、i電磁場的矢勢電磁場的矢勢電磁場的標勢電磁場的標勢電子在電磁勢電子在電磁勢中運動的中運動的Dirac方程：方程： （3）作代替：作代替：（2）Hti mc)(c2eAcepH或或 設(shè)電子帶電設(shè)電子帶電-e，在電磁勢，在電磁勢),(A中運動，中運動，25),(A電子在電磁勢電子在電磁勢中運動的中運動的Dirac方程：方程：Hti mc)(c2eAcepH mcc2pHti自由電子的自由電子的Dirac方程方程:26),(AEtiertr)(),()(r)()( mc)(c )(2rEreAceprH若若與時間無關(guān)，則與時間無關(guān)，則存在定態(tài)解，形式為存在定態(tài)解，形式為 （5）滿足能量本征方程：滿足

10、能量本征方程：（6）E-電子的能量本征值電子的能量本征值 下面，討論（下面，討論（6）式的非相對論極限。）式的非相對論極限。0 mc)(c2Acepeti電子在電磁勢電子在電磁勢中運動的中運動的Dirac方程的解：方程的解： ),(A27tmcie2) mc)(c (2eAcepti 0 0 I 00 I代入（代入（4）式，得到）式，得到滿足的方程：滿足的方程： (4)利用利用Pauli-Dirac表象表象 （7）,二：非相對論極限與電子磁矩二：非相對論極限與電子磁矩 將將Dirac方程中的波函數(shù)寫成雙分量形式，令方程中的波函數(shù)寫成雙分量形式，令tmcitmcieHeti2228I 00 mc

11、 0 )()( 0 mc)(c22IeAcepAcepceAcepH代入（代入（4）式，得到：）式，得到： (8) 0 0 I 00 I利用利用Pauli-Dirac表象表象 (4)tmcitmcieHeti22t 29 (8)|2mce先討論先討論(8b)式，在非相對論極限下，動能遠小于靜能式，在非相對論極限下，動能遠小于靜能，庫侖能量也遠小于靜能，即：，庫侖能量也遠小于靜能，即：所以可以略去不含光速所以可以略去不含光速c的項。的項。t eAcepcxi)( (8a) (8b)t 22)(mceAcepcxit |2mcxit 30)(21Acepmc略去不含光速略去不含光速c的項：的項：表

12、明：在非相對論極限下，四旋量表明：在非相對論極限下，四旋量中的中的分量遠小于分量遠小于（9）式代入（）式代入（8a）式，）式， （9）分量。分量。 (8a) (8b) （10）22)(mceAcepcxit eAcepcxi)(t eAcepmxi2)(21t 31)()(BAiBABABceAcepAceAceppAApceiAcepAcepAcepiAcepAcepAcepAcep22222)()()()()()()()()(利用關(guān)系：利用關(guān)系： （10）（11）eAcepmxi2)(21t 32方程（方程（10）化簡為：）化簡為： Pauli方程方程 （12） （10）BceAcepAc

13、ep22)()(eAcepmxi2)(21t 2)(212eBmceAcepmxit 33BBmce2mceB2令：令： 電子內(nèi)稟磁矩電子內(nèi)稟磁矩電子內(nèi)稟磁矩的值電子內(nèi)稟磁矩的值: Bohr磁子磁子則：則：Pauli方程方程電子內(nèi)稟磁矩與外磁場的相互作用能電子內(nèi)稟磁矩與外磁場的相互作用能2)(212eBmceAcepmxit 34兩個自由度。由此可見，兩個自由度。由此可見，Dirac方程是非相對論量子力方程是非相對論量子力學(xué)中泡利方程的推廣。因此，它和學(xué)中泡利方程的推廣。因此，它和Pauli方程一樣，都方程一樣，都是描述自旋為是描述自旋為1/2的粒子的運動，而且自旋這一自由度，的粒子的運動，而

14、且自旋這一自由度，無論是在相對論量子力學(xué)中還是在非相對論量子力學(xué)無論是在相對論量子力學(xué)中還是在非相對論量子力學(xué)中，都同樣存在。電子磁矩的測量值中，都同樣存在。電子磁矩的測量值:B00116. 1方程（方程（12）叫做）叫做Pauli方程。方程。的兩個分量描寫自旋的的兩個分量描寫自旋的 （12）2)(212eBmceAcepmxit 35三：中心力場下的非相對論極限三：中心力場下的非相對論極限 自旋軌道耦合自旋軌道耦合)(r)()(rerV考慮電子在中心力場中運動，例如電子在原子核的考慮電子在中心力場中運動，例如電子在原子核的Coulomb引力場引力場中運動，中心力場中運動，中心力場 （1）Er

15、VH)(ErVp)( mcc 2EE mc2為了便于過渡到非相對論情況，令為了便于過渡到非相對論情況，令（2）(3) （4）36ErVp)( mcc 2EE mc2 0 0 I 00 I)()c(rVEp 利用利用Pauli-Dirac表象表象 （5） （6）(3) （4）37)()( mc2)(1)(212rVEprVEpm由（由（6）式，得：）式，得：代入（代入（5）式，得到）式，得到滿足的方程：滿足的方程： （8） （7） （6） （5）)()c(rVEp38)()( mc2)(1)(212rVEprVEpm （8）利用關(guān)系：利用關(guān)系：2)()(pppipppp)()( )()(cm41

16、cm4p-p21222222rVEprVpEm（9）39)()( )()(cm41cm4p-p21222222rVEprVpEm（9）)(),()(),(rViprVprV)()()()( )(rVirVpprVdrrdVrlVrdrrdVrVpdrrdVrrpiVipVirVprVpirVpirVprVpirVpprVp)(1)()()()()()()()()( )()()()()( )()(2222222（10）2)()(pppipppp40)()( )()(cm41cm4p-p21222222rVEprVpEm0)()()(1cm41)-(Vcm4p-V2p222222222rdrrdV

17、VldrrdVrEEm（10）代入（）代入（9）式，得到：）式，得到：（9）（11）（10）41式中第二項、第三項都是相對論修正項，略去式中第二項、第三項都是相對論修正項，略去高級修正項，得到：高級修正項，得到：0)()()(1cm41)-(Vcm4p-V2p222222222rdrrdVVldrrdVrEEmmVE2p)(2（11）（11）式改寫為：）式改寫為：ErdrrdVVlSdrrdVrm)(cm4)()(1cm21cm8p-V2p2222222342 (12)42ErdrrdVVlSdrrdVrm)(cm4)()(1cm21cm8p-V2p2222222342)()(1cm2122l

18、SdrrdVrdrrdVrr)(1cm21)(22)()()(1cm2122lSrlSdrrdVr (12) 自旋軌道耦合項（自旋軌道耦合項（Thomas效應(yīng)）效應(yīng)）令令則自旋軌道耦合項：則自旋軌道耦合項：234cm8p-動能的相對論修正動能的相對論修正43),(),(),(,)(21pmc)4,()2( ,(),(2222cmpmcp)41 ( ,(),(),(),(222cmp下面，求非相對論近似下的波函數(shù)下面，求非相對論近似下的波函數(shù) 條件：在非相對論極限下，總概率守恒（波函數(shù)規(guī)一化保持不變）條件：在非相對論極限下，總概率守恒（波函數(shù)規(guī)一化保持不變）的關(guān)系：的關(guān)系：)81 (222cmp

19、)81 (222cmp或或 （13）44)81 (222cmpErdrrdVVldrrdVrm)(cm4)()(1cm4pc8mV-Ecmp)16181(-V2p22222222222342 代入（代入（12）式）式: （13）（14）ErdrrdVVlSdrrdVrm)(cm4)()(1cm21cm8p-V2p2222222342 (12)滿足的方程：滿足的方程：略去高階項，得到略去高階項，得到45ErdrrdVVldrrdVrm)(cm4)()(1cm4pc8mV-Ecmp)16181(-V2p22222222222342rdrdVVVpipVipVpppVpV22222, 利用關(guān)系利用關(guān)

20、系（14）rdrdVVVpVp222222（15）46rdrdVVVpVp222222ErdrrdVVldrrdVrm)(cm4)()(1cm4pc8mV-Ecmp)16181(-V2p22222222222342234222c16mpV)-E(c8mp 代入（代入（14）式式， 利用利用（15）（14）（14）式化為：）式化為：EVlSdrrdVrmcm8)()(1cm21c8mp-V2p222222234247rZerV2)(rZedrrdVrr22222cm2)(1cm21)(在中心力場在中心力場V(r)中運動的粒子的中運動的粒子的Dirac方程的非相方程的非相對論極限。對論極限。對類氫原子：對類氫原子：EVlSdrrdVrmcm8)()(1cm21c8mp-V2p222222234248115氫原子光譜的精細結(jié)構(gòu)氫原子光譜的精細結(jié)構(gòu):中心力場中電子的守恒量中心力場中電子的守恒量1.相對論情況相對論情況在中心力場在中心力場V（r ）中運動的粒子，不考慮自旋軌道）中運動的粒子，不考慮自旋軌道耦合，耦合，Hamiliton量為：量為：0,Hlnlm守恒量：守恒量：所以軌道角動量所以軌道角動量l為守恒量，為守恒量，l2也為守恒量。也為守恒量。可取可取(H,l2,lz)為守恒