泰勒公式及其應(yīng)用

1、第2章預(yù)備知識前面一章我們介紹了一下泰勒和他的成就,那他的主要杰作泰勒公式究竟在數(shù)學(xué)中有多大的用處呢那么從這一章開始我們就要來學(xué)習(xí)一下所謂的泰勒公式,首先來了解一下它是在什么樣的背景下產(chǎn)生的.給定一個函數(shù)f(x)在點Xo處可微,那么有：f(X0x)f(Xo)f(Xo)X(x)這樣當IX1時可得近似公式f(XoX)f(Xo)f(Xo)X或f(x)f(Xo)f(Xo)(XXo),XXo1即在Xo點附近,可以用一個X的線形函數(shù)(一次多項式)去逼近函數(shù)f,但這時有兩個問題沒有解決：(1)近似的程度不好,精確度不高.由于我們只是用一個簡單的函數(shù)一一次多項式去替代可能是十分復(fù)雜的函數(shù)f.(2)近似所產(chǎn)生的

2、誤差不能具體估計,只知道舍掉的是一個高階無窮小量(XXo),如果要求誤差不得超過1O4,用f(Xo)f(Xo)(xXo)去替代f(x)行嗎因此就需要用新的逼近方法去替代函數(shù).在下面這一節(jié)我們就來設(shè)法解決這兩個問題.Taylor公式首先看第一個問題,為了提升近似的精確程度,我們可以設(shè)想用一個X的n次多項式在Xo附近去逼近f,即令f(x)aoai(xXo).an(xx°)n()從幾何上看,這表示不滿足在xo附近用一條直線(曲線yf(x)在點(xo,f(xo)的切線)去替代yf(x),而是想用一條n次拋物線f(x)aoa1(xxo).an(xxo)n去替代它.我們猜測在點(xo,f(xo)

3、附近這兩條曲線可能會擬合的更好些.那么系數(shù)a.,aian如何確定呢假設(shè)f本身就是一個n次多項式,顯然,要用一個n次多項式去替代它,最好莫過它自身了,因此應(yīng)當有f(x)aoai(xXo).an(xx°)n于是得：aof(xo)求一次導(dǎo)數(shù)可得：aif(X0)又求一次導(dǎo)數(shù)可得：a2f(X0)2!這樣進行下去可得:a3f(X0)3!a4f(4)(x0)4!,f(n)(x0)n!因此當f是一個n次多項式時,它就可以表成:ff(x)f(X0)f(X0)(XX0).一(n)(x°)n!(XX0)nnxx0)k()k0k!即X.附近的點X處的函數(shù)值f(x)可以通過X.點的函數(shù)值和各級導(dǎo)數(shù)值

4、去計算.通過這個特殊的情形,我們得到一個啟示,對于一般的函數(shù)f,只要它在X0點存在直到n階的導(dǎo)數(shù),由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個n次多項式Tn(X)f(Xo)f(Xo)(XX0)f(X0)22(xX0)(n),f(X0)稱為函數(shù)f(X)在點X0處的泰勒多項式,Tn(X)的各項系數(shù)-為泰勒系數(shù).因而n次多項式的n次泰勒多項式就是它本身.n!(k),f(X0)k!(XX0)n(k1,2,3,.,n),稱Taylor公式的各種余項對于一般的函數(shù),其n次Taylor多項式與函數(shù)本身又有什么關(guān)系呢函數(shù)在某點x0附近能近似地用它在X0點的n次泰勒多項式去替代嗎如果可以,那怎樣估計誤差呢下面的Taylor定理就是答復(fù)這

5、個問題的.定理110(帶拉格朗日型余項的Taylor公式)假設(shè)函數(shù)f(x)在|xx0|h上存在直至n1階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),那么對任一XX0h,X0h,泰勒公式的余項為其中X0)Rn(x)-(n1)!(XX0)為X0與x間的一個值.即有(XX0)n1f(x)f(Xo)f(Xo)(XX0).f(n)(X0)nf""()n1-(XX0)(XX0)n!(n1)!推論110當n0,()式即為拉格朗日中值公式:f(X)f(X0)f()(XX0)所以,泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推廣.推論210在定理1中,假設(shè)令Rn(X)j(1pn!、n1pn1)(XXo)(p0)那么稱Rn(X)

6、為一般形式的余項公式XoXXon1即為拉格朗日型余項.假設(shè)令p1,那么得Rn(X)f(n1)n!)n(XXo)n1(pO),此式稱為柯西余項公式.當xo0,得到泰勒公式:f(x)ffX*產(chǎn)nXn!Jn1f(X)xn(n1)!1,(O1)()那么()式稱為帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式.定理21O(帶皮亞諾型的余項的Taylor公式)數(shù),那么有假設(shè)函數(shù)f在點x0處存在直至n階導(dǎo)Pn(X)n(k)/f(Xo)kok!(xRn(x)f(x)那么當XXo時,Rn(x)(XXo)n).即有Pn(X).f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo).(XXo)n)()定理3所證的()公式稱為函數(shù)f(X)在點Xo

7、處的泰勒公式,Rn(X)f(X)Pn(X),稱為泰勒公式的余項的,形如有皮亞諾型余項的泰勒公式當()式中Xo0時,(XXo)n)的余項稱為皮亞諾型余項,所以()式又稱為帶可得到f(X)f(0)2f(0)f(0)xX22!50(Xn)n!()()式稱為帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式,此展開式在一些求極限的題目中有重要應(yīng)用.由于Rn(X)(XXo)n),函數(shù)的各階泰勒公式事實上是函數(shù)無窮小的一種精細分析,也是在無窮小領(lǐng)域?qū)⒊竭\算轉(zhuǎn)化為整幕運算的手段.這一手段使得我們可能將無理的或超越函數(shù)的極限,轉(zhuǎn)化為有理式的極限,從而使得由超越函數(shù)所帶來的極限式的奇性或不定性,得以有效的約除,這就極大的簡化了極

8、限的運算.這在后面的應(yīng)用中給以介紹.定理3設(shè)h0,函數(shù)f(x)在U(x0；h)內(nèi)具有nf(x)在U(X0；h)內(nèi)的泰勒公式為2階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(n2)(x°)0,f(X0h)f(X0)f(X0)h.(n).f(X0)hnn!匕(n1()那么him0證實:*2f(x)在U(x0；h)內(nèi)的帶皮亞諾型余項的泰勒公式:f(Xoh)f(Xo)f(Xo)h.n!iTMm(n1)!(n2)!2(hn2)將上式與()式兩邊分別相減,可得出心"(X0h)-f(n1)(X0)nh(n1)!fTw(n2)!(hn2),從而0,得(n1)!f(n.的h)f(n1)(x0)hf(n2)(x0)(n2

9、)!(hn官"2故limh01lim(n1)!h0(n2)f(X.)(n2)f(X0)(n2)!由上面的證實我們可以看得出,當擬合程度也越好.n趨近于無窮大時,泰勒公式的近似效果越好,第3章泰勒公式的應(yīng)用由于泰勒公式涉及到的是某一定點Xo及Xo處函數(shù)f(Xo)及n階導(dǎo)數(shù)值：f(Xo),f(x0),f(xo),以及用這些值表示動點X處的函數(shù)值f(x),本章研究泰勒公式的具體應(yīng)用,比方近似計算,證實中值公式,求極限等中的應(yīng)用.應(yīng)用Taylor公式證實等式例3.1.1設(shè)f(X)在a,b上三次可導(dǎo),試證：c(a,b),使得ab13f(b)f(a)f(-)(ba)五f(c)(ba)3證實：(利

10、用待定系數(shù)法)設(shè)k為使以下式子成立的實數(shù)：f(b)f(a)f(?)(ba),k(ba)3O()這時,我們的問題歸為證實：c(a,b),使得：kf(c)人ax13令g(X)f(x)f(a)f()(xa)一k(xa),那么g(a)g(b)O.224根據(jù)羅爾定理,(a,b),使得g()O,即：aa(a)k2f()f()f()()(a)O2228這是關(guān)于k的方程,注意到f()在點-一處的泰勒公式：1L28f(c)(a)c(a,b),使得2aa(a)f()f(=)f()a2222其中c(a,b),比擬可得原命題成立.例3.1.2設(shè)f(x)在a,b上有二階導(dǎo)數(shù),試證：b_ab1_3八f(x)dx(ba)f

11、()一f(c)(ba).()a224證實：記XoS那么f(x)在Xo處泰勒公式展開式為：2一一一f()2八f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)-(XXo)()2對()式兩端同時取a,b上的積分,注意右端第二項積分為O,對于第三項的積分,由于導(dǎo)數(shù)有介值性,第一積分中值定理成立：c(a,b),使得b2f()(xX0)dxa因此原命題式成立.b213f(c)a(XX0)dxf(c)(ba)因此可以從上述兩個例子中得出泰勒公式可以用來證實一些恒等式,既可以證明微分中值等式,也可以證實積分中值等式.以后在遇到一些等式的證實時,不妨可以嘗試用泰勒公式來證實.證實等式后我們在思考,它能否用來證實不等式呢經(jīng)

12、研究是可以的,下面我們通過幾個例子來說明一下.應(yīng)用Taylor公式證實不等式例設(shè)f(X)在a,b上二次可微,f(x)0,試證：aX1x2.xnb,nnnki0,ki1,f(kiXi)kif(Xi).i1i1i1n證實：取x0kixi,將f(xj在xx0處展開1 1f(Xi)f(X0)f(X0)(XiX0)f('(XiX0)2f(X0)f(X0)(XiX0)2其中i1,2,3,.,n.ni1nkiXiX00i1以ki乘此式兩端,然后n個不等式相加,注意ki1nkiXiX0i1自：nkif(Xi)f(x0)f(kiXi).i1i1例3.2.2設(shè)f(x)在0,1上有二階導(dǎo)數(shù),當0x1時,|f

13、(x)|1,|f(x)2.試證：當0x1時,f(x)3.證實：f(t)在x處的泰勒展開式為：f()2f(t)f(x)f(a)(tx)-(tx)2!其中將t分別換為t1,t0可得：一一一f()2八f(1)f(x)f(X)(1x)-4-(1x)()2!一一一f()2八f(0)f(x)f(x)(x)T(x)2()2!所以()式減()式得:f()2f()2f(1)f(0)f(x)f(1x)27x22!2!從而,121222f(x)|f(1)|f(0)-If()(1x)221f()x22(1x)2X2213例3.2.3設(shè)f(x)在a,b上二階可導(dǎo),f(a)f(b)0,證實：(a,b),有4If()1-1

14、1f(b)f(a)|.(ba)a,xb處的泰勒展開式分別為：f(x)f(a)f(a)(xa)f("(xa)2,1(a,x)2!()-()仔：f(x)f(b)abfTf(b)f(b)(xf(a)f(b)f(a)b)2!f(2)2!(x1)(ba)22f(2)(ba)2!(ba)2b)2aa,一(-(x,b)()()那么有f(b)f(a)電/卜(2)f(1)(ba)28f(2)f(1)令f()maxf(1),f(2),即有,4,If()I2lf(b)f(a)|.(ba)例3.2.4設(shè)f(x)二次可微,f(0)f(1)0,maxf(x)2,試證:0x1minf(x)16.0x1證實：因f(

15、x)在0,1上連續(xù),故有最大值,最小值.又因maxf(x)2,0x1f(0)f(1)0,故最大值在0,1內(nèi)部到達,所以x00,1使得f(x0)maxf(x)于是f(x0)為極大值,由費馬定理有：f(x0)0,在xx0處按Taylor公式展開：(0,1)使得:()()因此minf0X1(X)minf(),f()min44X?(1x0)2一1.而X0一,1時,2444min-2,2216,X0(1x0)(1X0)八1iX00,2時,0f(0)f(X0)fX02,0f(1)f(Xo)L(1x.)2.444_min2,216X0(1X0)X0所以,minf(x)16.0X1由上述幾個例題可以看出泰勒公

16、式還可以用來證實不等式,例3.2.1說明泰勒公式可以根據(jù)題目的條件來證實函數(shù)的凹凸性,例說明可以對某些函數(shù)在一定范圍內(nèi)的界進行估計,例是用泰勒公式證實中值不等式,例與例很相似,只不過前者是界的估計,后者是對導(dǎo)數(shù)的中值估計.證實不等式有很多種方法,而學(xué)習(xí)了泰勒公式后,又增添了一種方法,在以后的學(xué)習(xí)中我們要會靈活應(yīng)用.但前提是要滿足應(yīng)用的條件,那就是泰勒公式成立的條件.應(yīng)用Taylor公式求極限X2例3.3.1求lim8sx4e2x0x解：在這里我們用泰勒公式求解,考慮到極限,用帶皮亞諾型余項的麥克勞林公式展開,cosxcosx那么有2X1221-22Xe24x244x84x12(x5)(x5)(

17、x5)x2_Tcosxe2所以,lim4x0x4112(x5)lim124x0x4像這類函數(shù)用泰勒公式求極限就比擬簡單,由于使用洛畢達法那么比擬麻煩和復(fù)雜.例3.3.2設(shè)函數(shù)(x)在0,上二次連續(xù)可微,如果lim(x)存在,且(x)在x0,上有界,試證：lim(x)0.x證實：要證實Jim(x)0,即要證實：0,0.當xM時|x.利用Taylor公式,h0,12八(xh)(x)(x)h2()h2()即11八(x)-(xh)(x)-()h()h2記Alim(x),因(x)有界,所以M0,使得x(x)M,(x0)故由()知1 1(x)-(xh)AA(x)-|()|h()h.解：(1)首先設(shè)所求的漸

18、近線為yaxb,并令u-,那么有：x1210,首先可取h0充分小,使得Mh,然后將h固定,因Alim(x),22x所以0,當x時1-(xh)AA(x)-h2從而由()式即得：(x).即2 2lim(x)0x例3.3.3判斷以下函數(shù)的曲線是否存在漸近線,假設(shè)存在的話,求出漸近線方程.(1) y3Ax2)(x1)2；12.(2) yx(cos-e).x12lim(x2)(x始axblim(12"(1"abux,u0u22(1-u)(1-u)abu(u)lim33u0u.1abu(u)lim-0u0u從中解出：a1,b0.所以有漸近線：yx.1(2)設(shè)yaxb,u-,那么有x2u

19、1 24J55/1歹cosueaubulimx(cose2x)axblim5xxu0u2424“uuuu4-5/5、(1)(1)aubu(u).224224lim-u0u01從中解出：a一,a1,b0.12所以有漸近線：y-x.12從上面的例子中我們可以看得出泰勒公式在判斷函數(shù)漸近線時的作用,因而我們在判斷函數(shù)形態(tài)時可以考慮這個方法,通過求極限來求函數(shù)的漸進線.上述三個例子都是泰勒公式在求極限的題目上的應(yīng)用,例3.3.1是在具體點或者是特殊點的極限,而第二個例子是求無窮遠處的極限,第三個是利用極限來求函數(shù)的漸近線,學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析,我們知道求極限的方法多種多樣,但對于有些復(fù)雜的題目我們用洛必達法

20、那么或其他方法是很難求出,或者是比擬復(fù)雜的,我們不妨用泰勒公式來解決.應(yīng)用Taylor公式求中值點的極限例3.4.14設(shè)(1)f(x)在(x°,Xo)內(nèi)是n階連續(xù)可微函數(shù),此處0;當k2,3,.,(n1)時,有f(k)(x0)0,但是f(X.)0;當0h時有f(x.h)f(x.)f(x.h(h).()其中0(h)1,證實:'himo(h)證實：要求出(h)的極限必須設(shè)法解出ngn(h),因此將()右端的f(X0h(h)在xo處展開,注意條件f(xoh)f(xo)hf(xo),知hn式左邊的f(x0(0,1)使得h)及于是()式變?yōu)閒(xo)從而f(xoh(h)f(xo)hn1

21、(h)(n1)!n!n1fn(Xof(n)(xo2h(h),()()h1Kf(n)(x01h)f(Xo)hn1(h)n1(n1)!f(xo2h(h)(h)f(n)(xo1h),nf(n)(xo2h(h)因1,2,(h)(.,1),利用f(n)(x)的連續(xù)性,由此可得lim(h)nJ1.hon這個例子可以作為定理來使用,但前提是要滿足條件.以后只要遇到相關(guān)的題目就可以簡單應(yīng)用.應(yīng)用Taylor公式近似計算由于泰勒公式主要是用一個多項式去逼近函數(shù),因而可用于求某些函數(shù)的近似值,或根據(jù)誤差確定變量范圍.特別是計算機編程上的計算.例3.5.1求：(1)計算e的值,使其誤差不超過1.6;(2)用泰勒多項

22、式逼近正弦函數(shù)sinx,要求誤差不超過1.3,以m2的情形討論x的取值范圍.解：(1)由于ex的麥克勞林的泰勒展開式為:nxxxxen1e1x.x,o12!n!(n1)!e(n1)!當x1時,有11.2!n!故Rn(n1)!(n1)!當n9時,有3R910!從而省略R9(1)而求得e的近似值為：36103628800111e11-.-2.7182852!3!9!(2)當m2時,3sinxx土,使其誤差滿足：6IIcosx5x3R4(x)x105!5!只需x0.6543(弧度),即大約在原點左右3702938范圍內(nèi),上述三次多項式逼近的誤差不超過103.應(yīng)用Taylor公式求極值定理12設(shè)f在x

23、.附近有n1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(x0)f(x0).f(n)(x0)0,f(n1)(x0)0(1)如果n為偶數(shù),那么x0不是f的極值點.(2)如果n為奇數(shù),那么x°是f的嚴格極值點,且當f(n1)(x°)0時,x°是f的嚴格極小值點；當f(n1)(x0)0時,x0是f的嚴格極大值點.證實：將f在x0點處作帶皮亞諾型余項的Taylor展開,即:f(n1)(x)(xx°)n1)f(x)f(x0)xx0尸于是f(x)f(x0)f(n1)(x0)(n1)!(xx°)n1),、n1-(xx°)(xx°)由于limfxx0(n1)!(xx0

24、)(n1)!故0,(x°,x°)中,二(xX0)：)與上出同號.(n1)!(xx°)n1(n1)!(1)如果n為偶數(shù),那么由(xx°)n1在x0附近變號知,f(x)f(x0)也變號,故x0不是f的極值點.(2)如果n為奇數(shù),那么n1為偶數(shù),于是,(xx°)n1在x0附近不變號,故f(x)f(Xo)與f(n"(A)同號.(n1)!假設(shè)f(n1)(Xo)o,那么f(x)f(Xo),x(Xo,Xo)(Xo,Xo),X.為f的嚴格極小值點.假設(shè)f(n1)(Xo)o,那么f(X)f(Xo),X(Xo,Xo)(Xo,Xo),X0為f的嚴格極大值點

25、.例3.6.1試求函數(shù)x4(x1)3的極值.解：設(shè)f(x)x4(x1)3,由于f(x)x3(x1)2(7x4),因此xo,；是函數(shù)的三個穩(wěn)定點.f的二階導(dǎo)數(shù)為_22_f(x)6x(x1)(7x8x2),一廠一一一44一.,由此得,f(o)f(1)o及f(亍)o,所以“*)在乂時取得極小值.求三階導(dǎo)數(shù)f(x)6x(35x36ox23ox4),有f(o)o,f(1)o.由于n13,那么n2為偶數(shù),由定理知f在x1不取極值.再求f的四階導(dǎo)數(shù)f(4)(x)24(35x345x215x1),有f(4)(o)o.由于n14,那么n3為奇數(shù),由定理知f在xo處取得極大值.6912823543為極小值.綜上所

26、述,f(o)o為極大值,f(-)(4)4(3)3777由上面的例題我們可以了解到定理也是判斷極值的充分條件.應(yīng)用Taylor公式研究函數(shù)圖形的局部形態(tài)定理12設(shè)XR為任一非空集合,xoX,函數(shù)f:XR在xo處n階可導(dǎo),且滿足條件：f(xo)f(Xo).f(n1)(Xo)o,f(n)(Xo)o.(1) n為偶數(shù),如果f(n)(Xo)o(o),那么曲線yf(x)在點(x.,f(x.)的鄰近位于曲線過此點的切線的上(下)方.(2) n為奇數(shù),那么曲線yf(x)在點(xo,f(xo)的鄰近位于該點切線的兩側(cè),此時稱曲線yf(x)在點(xo,f(xo)處與該點的切線橫截相交.證實：由于f在Xo處n階可導(dǎo)

27、,并且f(Xo)f(Xo).f(n"(Xo)o,f(n)(Xo)o,所以f在Xo的開鄰域B(Xo,)內(nèi)的n階Taylor公式為于是f(x)f(Xo)f(Xo)(XXo)(n),f(Xo)n!(XXo)n(XXo)n)(XXo)f(x)f(Xo)f(%)(XXo)(XXo)nn!(xXo)n)(XXo)n由此可見:f?%)n!(XXo)n同號.limXX0o,(n)f(Xo)n!(xXo)n)(xXo)n(n)f(Xo)n!XB(Xo,),有:f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)與(1)當n為偶數(shù),如果f(xo).,那么f(x)f(Xo)這就說明在點(Xo,f(Xo)鄰近,方；如果f

28、(n)(Xo)o,那么有f(Xo)(X曲線yXo)0,f(X)位于切線f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)o,X因此,在點(xo,f(xo)鄰近,曲線yf(x)位于切線y(2)當n為奇數(shù),這時假設(shè)f(xo)o(.),那么B(Xo,)f(Xo)f(Xo)(Xf(Xo)Xo)的上(Xo,)f(Xo)(xXo)的下方.f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)o(o),B(Xo,)f(x)f(Xo)f(Xo)(xXo)o(o),由此知,在xo的右側(cè),曲線yf(x)位于切線y方；而在xo的左側(cè),曲線yf(x)位于切線yf(xo)f(Xo)B(Xo,)f(Xo)(xXo)的上(下)f(Xo)(XXo)的下(上)方.因此,曲線yf(X)在點(Xo,f(Xo)處與該點的切線橫截相交.應(yīng)用Taylor公式研究線形插值