高中生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力

1、高中生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力調(diào)查分析報(bào)告一道數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題目的解答情況廣州市 47 中學(xué) 段錦礦 510640 摘要 筆者在 2004 年 5 月參加了廣州市首屆高中數(shù)學(xué)知識(shí) 應(yīng)用競(jìng)賽的評(píng)卷工作，對(duì)試卷壓軸題做了抽樣分析，從中對(duì) 高中生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力進(jìn)行分析。通過(guò)對(duì)這道高中 數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題解答情況的分析，我們了解到學(xué)生數(shù)學(xué) 建模意識(shí)和建模能力的現(xiàn)狀不容樂(lè)觀。 關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽，抽樣分析高中新課標(biāo)的基本理念之一是“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意 識(shí)”，并且提出高中數(shù)學(xué)課程要把數(shù)學(xué)建模的思想滲透在各 模塊內(nèi)容之中，并在高中階段至少安排一次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。 那么當(dāng)前我國(guó)高中學(xué)生

2、的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力如何 呢？日前，廣州市舉行了首屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽決賽， 筆者有幸參加了閱卷工作并對(duì)其中一題的解答情況并作了 抽樣分析，希望能對(duì)當(dāng)前高中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和能力得 到“管中窺豹”的了解。一、抽樣題目的背景資料廣州市首屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽決賽舉行時(shí)間為 2004 年 5 月 16 日，參加人員為廣州市經(jīng)過(guò)初賽選拔的高二和部 分高一高三學(xué)生，競(jìng)賽組織縝密，具有較高的信度。競(jìng)賽題 目類(lèi)型設(shè)置為選擇題、填空題和解答題各四道，題目?jī)?nèi)容涉 及到高一和高二所學(xué)知識(shí)，考試時(shí)間為 120 分鐘，全卷滿(mǎn)分 100 分。本文分析的題目為最后一題，分?jǐn)?shù)為 15 分，題目?jī)?nèi)容如 下：某市教育

3、局組織了一項(xiàng)競(jìng)賽， 聘請(qǐng)了來(lái)自不同學(xué)校的數(shù)名 教師做評(píng)委組成評(píng)判組。本次競(jìng)賽制定四條評(píng)分規(guī)則，內(nèi)容 如下：（1）評(píng)委對(duì)本校選手不打分。（ 2） 每位評(píng)委對(duì)每位參賽選手（除本校選手外）都必須 打分，且所打分?jǐn)?shù)不相同。（ 3） 評(píng)委打分方法為：倒數(shù)第一名記 1 分，倒數(shù)第二名 記 2 分，依次類(lèi)推。（4） 比賽結(jié)束后，求出各選手的平均分，按平均分從高 到低排序，依此確定本次競(jìng)賽的名次，以平均分最 高者為第一名，依次類(lèi)推。本次比賽中， 選手甲所在學(xué)校有一名評(píng)委， 這位評(píng)委將不 參加對(duì)選手甲的評(píng)分，其他選手所在學(xué)校無(wú)人擔(dān)任評(píng)委。(I)公布評(píng)分規(guī)則后，其他選手覺(jué)得這種評(píng)分規(guī)則對(duì)甲 更有利，請(qǐng)問(wèn)這種看法是

4、否有道理？(請(qǐng)說(shuō)明理由)(n)能否給這次比賽制定更公平的評(píng)分規(guī)則？若能， 請(qǐng) 你給出一個(gè)更公平的評(píng)分規(guī)則，并說(shuō)明理由。本題是試卷中比較具有“數(shù)學(xué)建模” 味道的一題， 題目所 要用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并不難，但需要學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型來(lái)衡量 什么是“公平的評(píng)分規(guī)則” ，為了建立數(shù)學(xué)模型，需要作出 適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，最后還要對(duì)模型進(jìn)行討論和分析，對(duì)于“更公 平的評(píng)分規(guī)則” ，可以從不同的角度去入手，最后得出不同 的修正方法，有“殊途同歸”之妙。這么一道比較適合高中生的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題， 學(xué)生解答情況 如何呢？二、抽樣題目的量化分析抽樣方法。決賽共 120個(gè)試室， 每試室 40人，共 4800人， 筆者采取兩階段隨機(jī)抽樣

5、和系統(tǒng)抽樣的方法，抽取 03 試室 的01號(hào)，06試室的02號(hào)，3k試室的k號(hào)(0W k 40), 樣本容量為 40，同時(shí)記錄第 1 2題得分和總分。對(duì)抽樣方法的討論。考慮到試室分布是按廣州市各區(qū)進(jìn)行排列的，且每區(qū)所占試室數(shù)為超過(guò)10個(gè)，上述第一階段抽取3k試室的方法會(huì)兼顧到各區(qū)?？紤]到可能試室座位編排可能會(huì)把成績(jī)好的同學(xué)排在前面，抽取固定座位號(hào)可能會(huì)有 失偏頗，因此在第二階段的抽樣中分別抽取01，02，, 40號(hào)。關(guān)于樣本容量，根據(jù)從有限總體抽樣進(jìn)行平均數(shù)估計(jì)時(shí)d為最大允n Nf./2 ；（其中n =4800, Z/2 =1.96,/用樣本方差代替, Nd2 Z;/2 二2許誤差）可得，在要

6、求 95%可信度的情況下，抽取 40個(gè)樣本可以達(dá)到最大允許誤差為0.56，考慮到本題總分為 15 分,這樣的誤差是可以接受的。抽樣結(jié)果與分析：總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)根據(jù)總體方差未知時(shí)總體平均數(shù)估計(jì)方法，樣本平均數(shù)為1.725,樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S=1.83，所以-X= 0.293查 t.5/2（40）= 2.021,所以.95的置信間距為1.725 -2.021 0.293=1.13-2.31 ，即本題總體平均得分估計(jì)在1.13-2.31之間，作此結(jié)論正確的概率是95%錯(cuò)誤的概率是5%總體方差的區(qū)間估計(jì)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì)方法,S、, n、2n 、n-1二 0.207因此總體方差.95的置信間距為1

7、.853 _ 2.021 0.207=1.39-2.31，即本題得分總體方差估計(jì)在1.39-2.31 之間，作此結(jié)論正確的概率是95%錯(cuò)誤的概率是5%由此我們可以看到，學(xué)生對(duì)于本題的解答情況是比較差 的。考慮到參賽的還是經(jīng)過(guò)初賽選拔的、數(shù)學(xué)成績(jī)相對(duì)較好 的同學(xué)，因此高中生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和數(shù)學(xué)建模能力令人擔(dān) 憂(yōu)。筆者在閱卷的過(guò)程中對(duì)學(xué)生解答情況做了歸納，希望從 這些典型的解答中對(duì)高中生建模意識(shí)和能力做一個(gè)質(zhì)性分 析。三、高中生建模意識(shí)和建模能力質(zhì)性研究在閱卷過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)本題是一道開(kāi)放性很強(qiáng)的好題， 給學(xué)生留有很大的發(fā)揮空間，不少學(xué)生能從不同的角度來(lái)嘗 試解決問(wèn)題，有不少好的解法。本文側(cè)重揭示

8、從這道題反映 出學(xué)生數(shù)學(xué)建模方面的問(wèn)題，總體上有以下方面：（1）數(shù)學(xué)閱讀能力差，誤解題意。正確閱讀、弄清題意是解決問(wèn)題的前提，而在所抽取的 40個(gè)樣本中有13個(gè)得分為零，不少學(xué)生為空白，究其原因 可能除了時(shí)間因素（事實(shí)上兩個(gè)小時(shí)的時(shí)間較為充裕），學(xué) 生對(duì)于較長(zhǎng)的文字表述產(chǎn)生畏懼心理、不能正確閱讀是重要 因素。同時(shí)，一些學(xué)生由于不能正確理解規(guī)則（3），得出選手甲的平均得分為 1g = n，其他選手的平均得分為n -12n二口，從而得出錯(cuò)誤結(jié)論，而實(shí)際上述應(yīng)該是選n2手甲所在學(xué)校的評(píng)委和其他評(píng)委所打的平均分。（2）理性思維有待加強(qiáng)。不少學(xué)生在正確理解題意的基礎(chǔ)上，提出了 “規(guī)則對(duì)甲有利”的理由，例

9、如：排名在甲前的同學(xué)少得了1分；甲所在學(xué)校的評(píng)委的評(píng)分總分比其他評(píng)委少；甲所在學(xué)校的評(píng)委不 給其他選手最高分（n分），所以甲得最高分的概率比其他選 手高；相當(dāng)于甲所在學(xué)校的評(píng)委把最高分給了甲；甲少拿一 個(gè)分?jǐn)?shù)，若少拿最低分，則有利；若少拿最高分，則不利；以上各種想法都有道理，遺憾的是大部分學(xué)生僅僅停留在 這些感性認(rèn)識(shí)和文字說(shuō)明上，沒(méi)能進(jìn)一步引進(jìn)數(shù)學(xué)模型和數(shù) 學(xué)符號(hào)去進(jìn)行理性的分析，因此數(shù)學(xué)建模意識(shí)很有待加強(qiáng)。（3）數(shù)學(xué)建模方法需要提高。建模之前，通過(guò)假設(shè)把所研究的問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，明確模型 中需要考慮的因素以及他們?cè)趩?wèn)題中的作用是非常必要的 作出必要的假設(shè)是數(shù)學(xué)建模方法中的重要一環(huán)，而在學(xué)生的解答

10、中極少見(jiàn)到能作出假設(shè)的。事實(shí)上，本題作出“每位評(píng) 委非常公正”和“在選手水平相同情況下，評(píng)委隨機(jī)打分” 的假設(shè)是非常必要的，不少學(xué)生出現(xiàn)“甲所在學(xué)校的評(píng)委會(huì) 故意壓低其他選手的分?jǐn)?shù)，因而對(duì)甲有利”的理由就是這個(gè) 原因，不作出這個(gè)假設(shè)，本題的討論就沒(méi)有意義了。如何衡量規(guī)則的公平性是本題的關(guān)鍵，也是建模的原則。 很少有學(xué)生能夠明確提出這個(gè)原則，標(biāo)準(zhǔn)答案給的是“在隨 機(jī)情況下，以每位選手所得平均分是否相等，來(lái)判定此評(píng)分 規(guī)則是否公正” ，實(shí)際上還有其他的衡量方法，例如“每位 選手得某個(gè)分?jǐn)?shù)的概率是否相等”等。以上反映出學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟不夠明 確，建模技巧需要提高。（4）數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)不

11、盡人意數(shù)學(xué)模型來(lái)源于生活， 解決的是實(shí)際問(wèn)題， 得到的結(jié)果和 模型的修正都要符合實(shí)際，這是數(shù)學(xué)模型的重要思想。不少 學(xué)生在第 2 問(wèn)評(píng)分規(guī)則的修正中，提出“將甲所在學(xué)校的評(píng) 委從評(píng)判組中剔除掉” ，這種辦法違背實(shí)際的要求。而另一 方面，不少學(xué)生被生活中一些現(xiàn)象誤導(dǎo)，提出“去掉最高分 和最低分”的評(píng)分規(guī)則修正方法，而不去從數(shù)學(xué)的角度分析和研究。當(dāng)然，本題作為一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題， 也給了學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造 性的空間，不少學(xué)生都有精彩的表現(xiàn)，例如關(guān)于評(píng)分規(guī)則的 修正，就有下列幾種方案：方案1將選手甲所在學(xué)校評(píng)委的評(píng)分方法改為倒數(shù)第一 名記1+1分，倒數(shù)第二名記2+1，,依次類(lèi)推；（評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）2 2方案2:將選手甲所在學(xué)校評(píng)委的評(píng)分方法改為在原來(lái)的 基礎(chǔ)上乘以口 ；n方案3:對(duì)甲評(píng)分時(shí)，用其他評(píng)委的平均分計(jì)做甲所在學(xué) 校評(píng)委的打分；方案4:對(duì)其他選手，隨機(jī)選取一位評(píng)委不打分，從而使 每位選手打分人數(shù)相同；總之，通過(guò)對(duì)這道高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題解答情況的分 析，我們了解到學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和建模能力的現(xiàn)狀不容樂(lè) 觀。新課程標(biāo)準(zhǔn)給數(shù)學(xué)建模提出了更高的要求，也為中學(xué)數(shù) 學(xué)建模的發(fā)展提供了很好的契機(jī)