高中生數學建模意識和建模能力

1、高中生數學建模意識和建模能力調查分析報告一道數學知識應用競賽題目的解答情況廣州市 47 中學 段錦礦 510640 摘要 筆者在 2004 年 5 月參加了廣州市首屆高中數學知識 應用競賽的評卷工作，對試卷壓軸題做了抽樣分析，從中對 高中生數學建模意識和建模能力進行分析。通過對這道高中 數學知識應用競賽題解答情況的分析，我們了解到學生數學 建模意識和建模能力的現狀不容樂觀。 關鍵詞 數學建模，數學知識應用競賽，抽樣分析高中新課標的基本理念之一是“發(fā)展學生的數學應用意 識”，并且提出高中數學課程要把數學建模的思想滲透在各 模塊內容之中，并在高中階段至少安排一次數學建?；顒印?那么當前我國高中學生

2、的數學建模意識和建模能力如何 呢？日前，廣州市舉行了首屆高中數學知識應用競賽決賽， 筆者有幸參加了閱卷工作并對其中一題的解答情況并作了 抽樣分析，希望能對當前高中學生的數學建模意識和能力得 到“管中窺豹”的了解。一、抽樣題目的背景資料廣州市首屆高中數學知識應用競賽決賽舉行時間為 2004 年 5 月 16 日，參加人員為廣州市經過初賽選拔的高二和部 分高一高三學生，競賽組織縝密，具有較高的信度。競賽題 目類型設置為選擇題、填空題和解答題各四道，題目內容涉 及到高一和高二所學知識，考試時間為 120 分鐘，全卷滿分 100 分。本文分析的題目為最后一題，分數為 15 分，題目內容如 下：某市教育

3、局組織了一項競賽， 聘請了來自不同學校的數名 教師做評委組成評判組。本次競賽制定四條評分規(guī)則，內容 如下：（1）評委對本校選手不打分。（ 2） 每位評委對每位參賽選手（除本校選手外）都必須 打分，且所打分數不相同。（ 3） 評委打分方法為：倒數第一名記 1 分，倒數第二名 記 2 分，依次類推。（4） 比賽結束后，求出各選手的平均分，按平均分從高 到低排序，依此確定本次競賽的名次，以平均分最 高者為第一名，依次類推。本次比賽中， 選手甲所在學校有一名評委， 這位評委將不 參加對選手甲的評分，其他選手所在學校無人擔任評委。(I)公布評分規(guī)則后，其他選手覺得這種評分規(guī)則對甲 更有利，請問這種看法是

4、否有道理？(請說明理由)(n)能否給這次比賽制定更公平的評分規(guī)則？若能， 請 你給出一個更公平的評分規(guī)則，并說明理由。本題是試卷中比較具有“數學建?！?味道的一題， 題目所 要用到的數學知識并不難，但需要學生建立數學模型來衡量 什么是“公平的評分規(guī)則” ，為了建立數學模型，需要作出 適當的假設，最后還要對模型進行討論和分析，對于“更公 平的評分規(guī)則” ，可以從不同的角度去入手，最后得出不同 的修正方法，有“殊途同歸”之妙。這么一道比較適合高中生的數學建模問題， 學生解答情況 如何呢？二、抽樣題目的量化分析抽樣方法。決賽共 120個試室， 每試室 40人，共 4800人， 筆者采取兩階段隨機抽樣

5、和系統(tǒng)抽樣的方法，抽取 03 試室 的01號，06試室的02號，3k試室的k號(0W k 40), 樣本容量為 40，同時記錄第 1 2題得分和總分。對抽樣方法的討論?？紤]到試室分布是按廣州市各區(qū)進行排列的，且每區(qū)所占試室數為超過10個，上述第一階段抽取3k試室的方法會兼顧到各區(qū)?？紤]到可能試室座位編排可能會把成績好的同學排在前面，抽取固定座位號可能會有 失偏頗，因此在第二階段的抽樣中分別抽取01，02，, 40號。關于樣本容量，根據從有限總體抽樣進行平均數估計時d為最大允n Nf./2 ；（其中n =4800, Z/2 =1.96,/用樣本方差代替, Nd2 Z;/2 二2許誤差）可得，在要

6、求 95%可信度的情況下，抽取 40個樣本可以達到最大允許誤差為0.56，考慮到本題總分為 15 分,這樣的誤差是可以接受的。抽樣結果與分析：總體平均數的區(qū)間估計根據總體方差未知時總體平均數估計方法，樣本平均數為1.725,樣本標準差 S=1.83，所以-X= 0.293查 t.5/2（40）= 2.021,所以.95的置信間距為1.725 -2.021 0.293=1.13-2.31 ，即本題總體平均得分估計在1.13-2.31之間，作此結論正確的概率是95%錯誤的概率是5%總體方差的區(qū)間估計。根據標準差的區(qū)間估計方法,S、, n、2n 、n-1二 0.207因此總體方差.95的置信間距為1

7、.853 _ 2.021 0.207=1.39-2.31，即本題得分總體方差估計在1.39-2.31 之間，作此結論正確的概率是95%錯誤的概率是5%由此我們可以看到，學生對于本題的解答情況是比較差 的?？紤]到參賽的還是經過初賽選拔的、數學成績相對較好 的同學，因此高中生的數學建模意識和數學建模能力令人擔 憂。筆者在閱卷的過程中對學生解答情況做了歸納，希望從 這些典型的解答中對高中生建模意識和能力做一個質性分 析。三、高中生建模意識和建模能力質性研究在閱卷過程中，筆者發(fā)現本題是一道開放性很強的好題， 給學生留有很大的發(fā)揮空間，不少學生能從不同的角度來嘗 試解決問題，有不少好的解法。本文側重揭示

8、從這道題反映 出學生數學建模方面的問題，總體上有以下方面：（1）數學閱讀能力差，誤解題意。正確閱讀、弄清題意是解決問題的前提，而在所抽取的 40個樣本中有13個得分為零，不少學生為空白，究其原因 可能除了時間因素（事實上兩個小時的時間較為充裕），學 生對于較長的文字表述產生畏懼心理、不能正確閱讀是重要 因素。同時，一些學生由于不能正確理解規(guī)則（3），得出選手甲的平均得分為 1g = n，其他選手的平均得分為n -12n二口，從而得出錯誤結論，而實際上述應該是選n2手甲所在學校的評委和其他評委所打的平均分。（2）理性思維有待加強。不少學生在正確理解題意的基礎上，提出了 “規(guī)則對甲有利”的理由，例

9、如：排名在甲前的同學少得了1分；甲所在學校的評委的評分總分比其他評委少；甲所在學校的評委不 給其他選手最高分（n分），所以甲得最高分的概率比其他選 手高；相當于甲所在學校的評委把最高分給了甲；甲少拿一 個分數，若少拿最低分，則有利；若少拿最高分，則不利；以上各種想法都有道理，遺憾的是大部分學生僅僅停留在 這些感性認識和文字說明上，沒能進一步引進數學模型和數 學符號去進行理性的分析，因此數學建模意識很有待加強。（3）數學建模方法需要提高。建模之前，通過假設把所研究的問題進行簡化，明確模型 中需要考慮的因素以及他們在問題中的作用是非常必要的 作出必要的假設是數學建模方法中的重要一環(huán)，而在學生的解答

10、中極少見到能作出假設的。事實上，本題作出“每位評 委非常公正”和“在選手水平相同情況下，評委隨機打分” 的假設是非常必要的，不少學生出現“甲所在學校的評委會 故意壓低其他選手的分數，因而對甲有利”的理由就是這個 原因，不作出這個假設，本題的討論就沒有意義了。如何衡量規(guī)則的公平性是本題的關鍵，也是建模的原則。 很少有學生能夠明確提出這個原則，標準答案給的是“在隨 機情況下，以每位選手所得平均分是否相等，來判定此評分 規(guī)則是否公正” ，實際上還有其他的衡量方法，例如“每位 選手得某個分數的概率是否相等”等。以上反映出學生對于數學建模的基本方法和步驟不夠明 確，建模技巧需要提高。（4）數學應用意識不

11、盡人意數學模型來源于生活， 解決的是實際問題， 得到的結果和 模型的修正都要符合實際，這是數學模型的重要思想。不少 學生在第 2 問評分規(guī)則的修正中，提出“將甲所在學校的評 委從評判組中剔除掉” ，這種辦法違背實際的要求。而另一 方面，不少學生被生活中一些現象誤導，提出“去掉最高分 和最低分”的評分規(guī)則修正方法，而不去從數學的角度分析和研究。當然，本題作為一個開放性的問題， 也給了學生發(fā)揮創(chuàng)造 性的空間，不少學生都有精彩的表現，例如關于評分規(guī)則的 修正，就有下列幾種方案：方案1將選手甲所在學校評委的評分方法改為倒數第一 名記1+1分，倒數第二名記2+1，,依次類推；（評分標準）2 2方案2:將選手甲所在學校評委的評分方法改為在原來的 基礎上乘以口 ；n方案3:對甲評分時，用其他評委的平均分計做甲所在學 校評委的打分；方案4:對其他選手，隨機選取一位評委不打分，從而使 每位選手打分人數相同；總之，通過對這道高中數學知識應用競賽題解答情況的分 析，我們了解到學生數學建模意識和建模能力的現狀不容樂 觀。新課程標準給數學建模提出了更高的要求，也為中學數 學建模的發(fā)展提供了很好的契機