特殊行列式的計算guotao

1、特殊行列式的計算摘要：運用行列式的定理、性質(zhì)及推論對一些復(fù)雜、特殊行列式進(jìn)行化簡，總結(jié)出了一些特殊行列式的計算方法及公式，改變了以往遇到行列式總是通過初等變化按其某行（或某列）展開進(jìn)行逐次降階化成階梯型行列式或依據(jù)Laplace定理進(jìn)行行列式計算的方法；使行列式的計算更為簡潔、靈活，并使得特殊行列式的計算公式化關(guān)鍵詞：行列式；行列式的計算；特殊可列階行列式1預(yù)備知識面對一些復(fù)雜而又特殊行列式的計算我們往往會不知所措、無從下手，更不知道應(yīng)該用什么方法去進(jìn)行化簡或計算，就像一只無頭的蒼蠅只能用各種方法去進(jìn)行試探.為此我們多么希望一些特殊的可列階行列式的計算能像一元二次方程一般有其計算公式和特殊的化

2、簡方法，從而提高特殊、復(fù)雜的行列式的計算效率，簡化其計算步驟，改變其算法的冗長性，使之公式化、方法化.現(xiàn)就有關(guān)知識做以預(yù)習(xí).定理1.1（Laplace定理）設(shè)在行列式D中任意取定了k（1<k<n一1）個行，由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式d.性質(zhì)1.1行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)1.2交換行列式的某兩行（或某兩列）行列式改變符號性質(zhì)1.3把行列式某一行（或某一列）的所有元素都乘以一個數(shù)k,等于以k乘以該行列式.性質(zhì)1.4把行列式的某一行（或某一列）的所有元素乘以同一個數(shù)k后加到另一行或另一列的對應(yīng)元素上行列式值不變.性質(zhì)1.5如果行列式中有兩

3、行（或兩列）元素相同，行列式值為0.性質(zhì)1.6行列式中某一行（或某一列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外邊.性質(zhì)1.7行列式中如果有一行（或一列）的元素全為零，則行列式為0.性質(zhì)1.8如果行列式中有兩行（或兩列）的元素對應(yīng)成比例，則行列式等于0.引理1.1行列式的任一個子式M與它的代數(shù)余子式A的乘積中的每一項都是行列式D的展開式中的項，而且符號也一致.2特殊行列式的計算2.1 二條線型行列式的計算a1b1b1a2b2b2a?定義2.1.1形如D1D2）的行anbn_1anan列式稱為二線型行列式.其可按第一列（或最后一列）展開進(jìn)行計算得出2nn1n2n:脛n(nJ)(nN)nJDi,n-1

4、.、o.、o.、=:3i-(-1)cbi(D2=(-1)|ai(_1)cbi)和D2=2In-1n-10001020的值.niAi±i_1i_10102例2.1.1列式D=*.10n100可知它是0102解觀察行列式D1=一0n二線型行列式，且由定義知其中ai（i=1,2，n）全為0.故代入公式可得出nn_1n-1n-1D1:I1ai(-1)c|biu(-1)n!i4i32n_2n3n(n1)(n_2)n(n)(n_2)D2=(-1)2【ai(-1)2cbi-(-1)2n!iTiT類似的二條線型行列式還有A=N,B=l/l,C=N和D=LZI(其中定義中給出的的二線型行列式為D1IN

5、,D2=,在簡記中實線處均為非零元素其它地方元素為零），它們均可以按定義2.1中的方法進(jìn)行計算展開進(jìn)行降階，再利用三角或次三角型行列式總結(jié)出相應(yīng)的計算公式.2.2 三對角型和次三對角型行列式的計算定義2.2.2形如D1=1N和D2=匕的行列式稱為三對角或次三對角型行列式（在簡記中實線處均為非零元素其它地方元素為零），其行列式的值等于按第1行（或第1歹U）或按第n行（或第n歹U）展開，從而得到兩項的遞推關(guān)系式以導(dǎo)出其計算公式21000-12-100例2.2.2計算n級行列式Dn二0-1200mmmmm的值0002-1000一122_1000-12_100解觀察行列式Dn=0_1200aaaa3可

6、知其為定義2.2.2中所定義的三0002-1000_12線型行列式，則可以按照定義給出的方法按其第一行展開知_1_1002-_，、，、1率Dn=2D。+(1)(1)0_12mem000000直接遞推不易得到結(jié)果（階較低階時則可以），變形得000000=2DmD一*m2_1_122-1DnDni=DniDn2=iD2Di=-2=1-12于是有Dn=:Dn11=Dn/2D1-(n-1)n1cos0100012cosl100同理可知行列式D_Dn-A,-,.的計算公式為0002cos8100012cos0cos6100012cos6100Dn=000"2cos6100012cos02cos

7、(n-1)o(cosa-cos(n-1)acosa+sin(n-1)asina=cos(n-1)、工cos:-sin(n-1).<sin:=cos;a+PaP1a+P也可得出行列式Dn=019900000aP-0000a+P,0a0的公式為0-a+PaP01a+P于是可得出所以知0(+PoP0001a+POp0001(0+P00-mmm一000a+PoP00010t+PqP000=(Ct十P)Dn-10(+PoP0aiaa0001=：Ct+。）DnaPDn/DnDnD二：（Dn,-：D=ot=ct-2)2二二（D：DnCL十P-3)Ct2.3“兩岸”行列式的計算方法"(D2-1

8、)定義2.3.1形如Dn-aaaaa1aaaax-a-aaa2a+(或Dn=*aaaaaaaa-x-aaa-an),且值等于的行列式稱為“兩岸”行列式,其計算可化成箭型行列式Dn=x+(ni)a(xa)n°(或Dn=(1+£)【ai注：對于各行各列元素之和相等的行列式.可將第2,3,，n-1列（行）都加到第1（行）（或第2,3,，n-1）列（行）加到第n列（行），則第1（或n）歹U（行）的元素相等,再進(jìn)一步化為三角或次三角型行列式2.4奇數(shù)階反對稱行列式的計算0ai22n一的行列式稱為是奇數(shù)階反對稱行列隊0定義2.4.1形如Dn=-n-ain1a2n0式(其中n為奇數(shù))，此

9、行列式值為0.Vandermonde行列式的計算定義2.5.1111a1a2a3形如Dn須=2a1!2a22a3sn_±n_!n_!a1a2a3an2an的行列式稱為是Vandermonde行歹U式，其值為1111a1a?a3a42222例2.5.1計算行列式Dn=a1a2a3a4na-n_2n_2n_2n_2a1a2a3a4nnnna1a2a3a4Dnn=.：-aj)1M:!'inann_2n的值.Vandermonde行歹U解觀察可知此行列式貌似定義中的行列式，因此可以想辦法構(gòu)造式然后利用定義中的公式進(jìn)行計算.111-11X1X2X3.-Xny!na9令f(y)=n_2n

10、_2n_2n_2n_2X1X2X3XnynnnnnX1X2X3XnynnnnnX1X2X3Xnyn="(y-Xi)(Xi-Xj)i七1色：易知原行列式是多項式f(y)=的項系數(shù)的yn二項系數(shù)的反號，而由上式知yn，項系n數(shù)為-'：Xi|(Xi-xj)iz±1m:i：工n故所求行列式的值為Dn=Xi|1(xi-xj)i=±1m:i：*上三角形（或下三角形）行列式的計算a11a12a.n0a22-定義2.6.1形如Dn=«00w-a1nan00a2na21a220:（或Dn=）的««annan1an2annDna11a22a33a

11、nn行列式稱為上三角形（或下三角形）行列式，其值為000a1na11a12a1,na1定義2.7.1形如Dn=00a2,na2n或Dn=a21a22ja2,n_20>>>.,.,an1an2annan1000n（n）的行列式稱為次三角形行列式，其值為Dn=（-1）2a1na2,nA'an12.7次三角形行列式的計算分塊三角形行列式的計算2.8定義2.8.1形如DrrAkkr.kBrrAkk的行列式稱為分塊三角形行列式,行列式值為an1k0D1“rC11C1BrCrbr1brr<CrCrkB（其中kkI0二條線叉型行列式的計算bn_L定義2.9.1形如D2n出2n

12、2na1Cib1d1的行列式為二條線叉dn型行列式.D2n>2n例2.9.1計算二線型行列式D2n%na1Cib1d1的值.cn解方法一：可將此行列式按照第一行展開，則an1bncn1dn102n1c然后將此兩個行列式分別按最后一行和第一行展開，則D2n>2n二andn_1D2(n)-，nbnD2(n)二(andn-cnbn)(andn一品止a1C1b1d1=口i3(aidi一Cibi)方法二：禾ij用Laplace定理，先取定第一行和最后一行找出它們的所有二階子式，則可知只有一個二階子式bn00,其余全為零，再依次取定第二行和倒數(shù)第二行時，找他們的代數(shù)余子式只有零，則:D2n2n

13、=(and例2.9.2dn)(an-1dn1計算行列式d2.依次下去，有Jbn)"一ad1)=ni=1解可直接利用定義2.9.1中的公式代入知2.10箭型行列式的計算定義2.10.1a1b1d1(aidi-cib)的值.D2n2n=(a-b2)n形如N,Ml,M,兇的行列式稱為箭型（或爪型）行列式,中實線處均為非零兀素其它地方兀素為零)11110021例2.10.1計算行列式Dn>n=amm的值.0n_101no01解可給該行列式第i(i=1,2，,n-,_1，一，一，.，-1)行分別乘以加到第n行則知原行列式in(nA)11Dn>n=(-1)n!(1-)2na0111例

14、2.10.2計算行列式D(n+)>(n+)=1a'001的值.10a209991o0an解同理與例2.10.1可知D(n杷和平)n二a1a2a3an(a0-1)可直接利用行列式性質(zhì)將其一條邊化為零,從而可根據(jù)三角形或次三角形的結(jié)果求(在簡記iWai參考文獻(xiàn)：【1】丘維聲.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，2002.【2】王萼芳，石生明.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，2003.【3】錢吉林.高等代數(shù)題解精粹M.北京：中央民族大學(xué)出版社，2002.【4】徐仲，陸全.高等代數(shù)三導(dǎo)叢書M.陜西：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2006.【5】張秦齡,王鳳瑞，王廷楨.高等代數(shù)思考與訓(xùn)練M.四川：成

15、都科技大學(xué)出版社，1991.SpecialDeterminantofCalculationAbstract:Inthispaperappliesthetheorems,charactersandcorallariesofdeterminanttosomecomplicatedandspecialdeterminants,whicharesimplifiedintheprocess.Somemethodsandformulasofsolvingtheparticulardeterminantaresummarized.Inthisway,thetraditionalmeansofcalculatingdeterminants,alwaysbyexpandingprimarychangeaccordingtocertainrows(colums)toreduceexponenttostepdeterminantssuccessivelyorinaccordancewithLaplace-Theorem,arechanged.I