第一章教學(xué)參考資料

1、第一章教學(xué)參考資料一、有理數(shù)的含義整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，很多學(xué)生想知道“為什么將這些數(shù)取名有理數(shù)” ？要回答這個(gè)問(wèn)題并不難，只需要略微多了解一點(diǎn)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就可以了“有理數(shù)”是一個(gè)外來(lái)詞，是由英語(yǔ)rational number翻譯而來(lái)的rational number的準(zhǔn)確含義是“能表示成兩個(gè)整數(shù)的比的數(shù)”，即“凡是能表示成兩個(gè)整數(shù)的比的數(shù)就是有理數(shù)”，或者說(shuō)“凡能用分?jǐn)?shù)的形式來(lái)表示的數(shù)就是有理數(shù)”，因此，rational number相對(duì)準(zhǔn)確地翻譯可以是“比數(shù)”，可惜的是我們的先輩并沒(méi)有把rational number翻譯為“比數(shù)”，而是按照rational一詞的另一意思“有理的”，把rati

2、onal number翻譯成了“有理數(shù)”，而且這種稱呼一直沿用到今如果我們的老師能給學(xué)生一些類(lèi)似的解釋，相信學(xué)生不會(huì)再為這個(gè)名稱而苦惱在小學(xué)的時(shí)候，我們的學(xué)生都能把“整數(shù)表示成分母是1的分?jǐn)?shù)”，而且大多數(shù)學(xué)生也都能把有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)表示成分?jǐn)?shù)的形式這樣，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)都屬于有理數(shù)教科書(shū)中說(shuō)“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”，其中當(dāng)然包括有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)例 把3, 0.2, ，表示成分?jǐn)?shù)思路分析：3=, 0.2=，=, ，=，特別提醒：把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)是有規(guī)律可循的下面我們用方程的思想，借助具體的例子來(lái)總結(jié)這個(gè)規(guī)律：設(shè) x，現(xiàn)將左右兩端同時(shí)乘以1000得231. =1000 x于

3、是，由，得 2311000 x- x即 999x231故 x =,約分，得 x可見(jiàn)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)是于是在此基礎(chǔ)上給出純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的一般方法就不困難了請(qǐng)老師引導(dǎo)學(xué)生，盡量讓學(xué)生自已從中歸納得出相應(yīng)的一般方法來(lái)設(shè)，則有10y=2.1000y=231. 由得1000y-10 y =231-2即 y=可見(jiàn)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)是，在此基礎(chǔ)上給出混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的一般方法是不困難的請(qǐng)老師們引導(dǎo)學(xué)生自己去歸納二、任意兩個(gè)有理數(shù)之和、差、積、商仍為有理數(shù)證明：因有理數(shù)都可以表示成兩個(gè)整數(shù)的比的形式，故不妨設(shè)， ， 其中m，n，k，l均為整數(shù)，且(m，n)=1，(k，l)=1，于是由于m，n，k，l均為整數(shù)，因此nk

4、ml與mk均為整數(shù)，故必為有理數(shù)，故為有理數(shù)對(duì)于兩個(gè)有理數(shù)之差、積、商仍為有理數(shù)，可以用類(lèi)似方法證明，這里從略三、 任意兩個(gè)有理數(shù)之間都存在著無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)證明：假設(shè)任意兩個(gè)有理數(shù)a、b,設(shè)ab，它們之間僅有有限個(gè)有理數(shù)，不妨設(shè)僅有n個(gè)有理數(shù)，這n個(gè)有理數(shù)按從小到大的順序排列依次是ac1c2c3c4cnb由于任意兩個(gè)有理數(shù)之和與積仍是有理數(shù)，因此當(dāng)cn是有理數(shù)，b是有理數(shù)時(shí)，也是有理數(shù)，而且acnb即在有理數(shù)a與b之間找到了另外一個(gè)不同于c1c2c3c4cn的第n1個(gè)有理數(shù)，而這正好與假設(shè)矛盾因此，任意兩個(gè)有理數(shù)之間都存在著無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)四、 按要求，數(shù)正方形1 在圖1中，所有正方形的個(gè)數(shù)是多

5、少？思路分析：要把圖中的正方形數(shù)清楚，顯然以邊長(zhǎng)的不同數(shù)值來(lái)分類(lèi)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)要方便一些解：圖1中，設(shè)邊長(zhǎng)最小的正方形的邊長(zhǎng)為1，則邊長(zhǎng)為1的正方形共有4216個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形共有329個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形共有224個(gè)；邊長(zhǎng)為4的正方形僅有121個(gè)于是圖1中所有正方形，一共有1222324230個(gè)2 在圖2中，以圖中各點(diǎn)為頂點(diǎn)一共能畫(huà)出多少個(gè)正方形？思路分析：本題與第1題相比，略有不同在本題中，除了第1題所涉及到的正方形之外，還有邊長(zhǎng)為、2等幾種新的情形解：由1可知，邊長(zhǎng)為1的正方形共有4216個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形共有329個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形共有224個(gè)；邊長(zhǎng)為4的正方形有121個(gè)此外，還有邊

6、長(zhǎng)為的正方形共有329個(gè)，如圖3所示；邊長(zhǎng)為的正方形共有2×228個(gè)，如圖4所示；邊長(zhǎng)為的正方形共有2個(gè)，如圖5所示；邊長(zhǎng)為2的正方形1個(gè)，如圖6所示故圖2中所有滿足條件的正方形一共有30982150個(gè)特別提醒：這里的兩個(gè)問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)并不難，但是對(duì)初一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，要能夠把其中所有的正方形都按要求一一數(shù)清楚，可不是一件容易的事因此，老師需要引導(dǎo)學(xué)生按“類(lèi)”去數(shù)每個(gè)圖中可能有的正方形這樣做的目的在于逐漸滲透“分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想”，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊至于問(wèn)題討論過(guò)程中可能涉及到的、2等數(shù)，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際可能來(lái)處理，只要學(xué)生能認(rèn)識(shí)它們是一些正方形的邊長(zhǎng)即可，不必在此向?qū)W生介紹這些無(wú)

7、理數(shù)五、關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”乘法運(yùn)算法則“為什么負(fù)負(fù)得正”要從初等數(shù)學(xué)的角度給學(xué)生講清楚，是一件非常不容易的事情可以參考中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2005年第3期P3P4的“負(fù)負(fù)得正”的乘法法則可以證明嗎？一文，文中最后指出：“綜上所述，筆者認(rèn)為，負(fù)負(fù)得正的乘法法則是數(shù)學(xué)中的一種規(guī)定（定義），它不能通過(guò)邏輯證明得出然而，對(duì)這個(gè)法則的規(guī)定既有客觀世界中的實(shí)際背景，又有數(shù)學(xué)內(nèi)部需要和諧發(fā)展的思想背景教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟榻B這些背景，可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)乘法法則的由來(lái)與合理性，但是不能將這樣做認(rèn)為是證明了這個(gè)法則”此外，如果能夠參閱浙江大學(xué)出版社出版、沈鋼編著的高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)概念一書(shū)的第一章、第二章的相關(guān)內(nèi)容，也許你還能

8、獲得一些新觀點(diǎn)我們認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題對(duì)初一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，只要學(xué)生能夠理解一些具體實(shí)例，并能認(rèn)可“負(fù)負(fù)得正”即可，不必再做過(guò)多的講解或過(guò)高的要求下面引用一個(gè)有實(shí)際背景的例子，讓學(xué)生體會(huì)一下“負(fù)負(fù)得正”的實(shí)際背景如果水位一直以每小時(shí)2cm的速度下降，現(xiàn)在的水位在水文標(biāo)尺刻度的A處，試問(wèn)3小時(shí)前水位在水文標(biāo)尺刻度的什么位置？為了區(qū)分水位變化的方向，我們可以規(guī)定水位上升為正，下降為負(fù)；為了區(qū)分時(shí)間，我們規(guī)定現(xiàn)在以后為正，現(xiàn)在以前為負(fù)顯然3小時(shí)以前水位在水文標(biāo)尺刻度的A處上方6cm處，于是有（2）×（3）=6這雖然是一個(gè)“有實(shí)際背景的原型”，的確有助于學(xué)生理解“負(fù)負(fù)得正”的乘法法則，但絕對(duì)不能就此認(rèn)為這是對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的證明因?yàn)閿?shù)學(xué)中的證明不是個(gè)例的驗(yàn)證，是需要依據(jù)已有的公理、定理、定義等進(jìn)行合乎邏輯的推證的六、“科學(xué)記數(shù)法” 課題引入的設(shè)計(jì)（一）快速記憶游戲目的：激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)字或數(shù)據(jù)的興趣下面有幾組數(shù)據(jù)，你能過(guò)目不忘嗎？一閃而過(guò)之后，你能記住多少，請(qǐng)大家一起來(lái)試一試，看誰(shuí)記得多！中國(guó)國(guó)土面積有9 600 000平方公里；中國(guó)人口約有1 300 000 000人