第二十三章旋轉(zhuǎn)拓展題

1、第二十三章 旋轉(zhuǎn)23.1圖形的旋轉(zhuǎn)專題一 利用旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)求角的度數(shù)以及點(diǎn)的坐標(biāo)及直線解析式1. RtABC中，已知C=90°，B=50°，點(diǎn)D在邊BC上，BD=2CD（如圖）把ABC繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)m（0m180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始RtABC的邊上，那么m= .2.【 2011·牡丹江】平行四邊形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，AOB=60°，AO=1，AC=2，把平行四邊形AOBC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在y軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 專題二 利用旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)中心、以及作旋轉(zhuǎn)圖形3.如圖，四邊形EFGH

2、是由四邊形ABCD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的如果用有序數(shù)對（2，1）表示方格紙上A點(diǎn)的位置，用（1，2）表示B點(diǎn)的位置，那么四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)得到四邊形EFGH時的旋轉(zhuǎn)中心用有序數(shù)對表示是_4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，坐標(biāo)為（a，b），直線的解析式為y=2x-4（1）畫出點(diǎn)P以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點(diǎn)P；（2）猜想點(diǎn)P的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；（3）求出直線繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的直線的解析式專題三 利用旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)判定三角形形狀、線段之間位置與數(shù)量關(guān)系5.如圖，在ABCD中，過點(diǎn)C作CECD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°

3、得到線段EF.當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（P不與C重合）時，連接EP；繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG判斷直線FG與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明.6.【2011南通】已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF2OA，OE2OD，連接EF，將FOE繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)角得到（如圖2）.（1）探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)30°時，求證：AOE為直角三角形.7.【2011·咸寧】（1）如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求EAF的度數(shù)（2）如圖，在RtABD中，B

4、AD=90°，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且MAN=45°，將ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）在圖中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的長知識要點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的定義：把一個圖形繞著某一點(diǎn)O 轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).2.旋轉(zhuǎn)的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向.3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段間的夾角為旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.溫馨提示：1.旋轉(zhuǎn)可以得到相等的角、邊，

5、所以為證明三角形全等提供了有力的條件.2.旋轉(zhuǎn)可以將分散的邊角集中于一點(diǎn)或集中于同一個三角形.同理，旋轉(zhuǎn)也可以將集中的條件分散.方法技巧：1.確定旋轉(zhuǎn)中心的方法：兩組對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心.2.旋轉(zhuǎn)出等腰三角形；旋轉(zhuǎn)90°出等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)60°出等邊三角形.3.圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°前后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系：橫變縱，縱變橫，符號看象限.即：P（a，b）繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°P(b，a)；P（a，b）繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°P(b，a).參考答案1. 80°或120° 【解析】（1）如圖，點(diǎn)B恰好落在邊A

6、B上的點(diǎn)B時，有DB=DB.旋轉(zhuǎn)角m=BDB=180°DBBB=180°2B=80°；（2）如圖，點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)B時，有DB=DB.在RtBCD中，DB=DB=2CD，CDB=60°，旋轉(zhuǎn)角BDB=180°-CDB=120°2.（，2），（-，-2）【解析】如圖：AOB=60°，把平行四邊形AOBC繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在y軸上，AEC=90°.ACB=60°，ACE=30°.AE=1，AC=2，EC=，AE=1，C（，2）.同理可得點(diǎn)C（-，-2）3.（5，2） 【解析】連接CG

7、，作其垂直平分線；連接EA，作其垂直平分線；兩垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心.4.【解】（1）如圖所示；（2）P（b，a）證明：過P點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，過P點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為B、A.POP=90°，AOP=AOP.又OP=OP，RtAOPRtAOP.OA=OA，AP=AP.OA=OA=a，OB=PA=PA=OB=b.P在第二象限，P的坐標(biāo)為（b，a）；（3）由圖象知直線與x軸交點(diǎn)為M（2，0），與y軸交點(diǎn)為N（0，4）由（2）得：點(diǎn)M（2，0）、N（0，4）繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點(diǎn)分別是M（0，2）、N（4，0），直線MN就

8、是直線l繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)直線，解得直線l的解析式為y=x+25.【解】直線FG與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直證明：如圖，設(shè)直線FG與直線CD的交點(diǎn)為H線段EC、EP分別繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°依次得到線段EF、EG，PEG=CEF=90°，EG=EP，EF=ECGEF=90°-PEF，PEC=90°-PEF，GEF=PECGEFPECGFE=PCEECCD，PCE=90°.GFE=90°EFH=90°FHC=90°FGCD6.【解】（1）AEBF.證明：如圖2，在正方形ABCD中， ACBD

9、,AODAOB90°.即AOEAOFBOFAOF.AOEBOF.OAOBOD，OE2OD，OF2OA,OEOF.OAEOBF.AEBF.（2）作AOE的中線AM，如圖3.則OE2OM2OD2OA.OAOM.30°,AOM60°.AOM為等邊三角形.MAMOME，.AMO,即260°.30°.AOE30°60°90°，AOE為直角三角形.7.【解】（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE同理，（2），AMNAHN，（3）如圖，由（1）知，設(shè)，則，解這個方程，得，（舍去負(fù)根）在（2）中，設(shè)，則即23.2中心對稱

10、專題一 利用中心對稱的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)1.點(diǎn)P（ac2，）在第二象限，點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.一天，上九年級的聰聰和明明在一起下棋，這時聰聰靈機(jī)一動，象棋中也有很多數(shù)學(xué)知識，如圖，我們給中國象棋棋盤建立一個平面直角坐標(biāo)系（每個小正方形的邊長均為1），根據(jù)象棋中“馬”走“日”的規(guī)定，若“馬”的位置在圖中的點(diǎn)P（1）寫出下一步“馬”可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo) ；（2）明明想了想，我還有兩個問題：如果順次連接（1）中的所有點(diǎn)，得到的圖形是 圖形（填“中心對稱”、“旋轉(zhuǎn)對稱”、“軸對稱”）； 指出（1）中關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱的點(diǎn) . 專題二 利用中

11、心對稱的性質(zhì)判定線段之間的關(guān)系3.如圖，正方形ABCD與正方形ABCD關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，若正方形ABCD的邊長為1，設(shè)圖形重合部分的面積為y，線段OB的長為x，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式4.課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：（1）如圖1，在ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或?qū)CD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到EBD），把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2AE8，則1AD4感悟解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對

12、稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中（2）解決問題：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下列命題：如圖2，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF求證：BE+CFEF，若A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明專題三 利用中心對稱的性質(zhì)畫圖或游戲5.如圖，ABCDEF，AFEDBC，若畫一條直線將這個圖形分成面積相等的兩個部分，則符合要求的直線可以畫（）A1條 B2條 C3條 D無數(shù)條6.兩個人輪流在一張桌面（長方形或正方形或圓形）上擺放硬幣規(guī)則是每人每次擺一個，硬幣不能互相重疊，也不能有一

13、部分在桌面邊緣之外，擺好之后不許移動這樣經(jīng)過多次擺放，直到誰最先擺不下硬幣誰就認(rèn)輸按照這個規(guī)則你用什么方法才能取勝呢？知識要點(diǎn)：1.中心對稱的定義：同一平面內(nèi)，一個圖形繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形能互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做它的對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后重合的兩個點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn).2.中心對稱的性質(zhì)：中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分；中心對稱的兩個圖形是全等形.3.關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)P(x，y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P(x，y).溫馨提示：1.軸對稱圖形的對稱軸可以

14、有多條，中心對稱圖形的對稱中心只有1個.2.對稱中心平分中心對稱圖形內(nèi)通過該點(diǎn)的任意線段且使中心對稱圖形的面積被平分.方法技巧：1.畫一條直線將一個不規(guī)則圖形分成面積相等的兩個部分的方法：利用割補(bǔ)法將該圖形轉(zhuǎn)化為兩個中心對稱圖形，連接兩個對稱中心的直線就是所求的直線.2.中心對稱可以將分散的邊角集中于一點(diǎn)或集中于同一個三角形.同理，中心對稱也可以將集中的條件分散.參考答案1. A 【解析】點(diǎn)P（ac2，）在第二象限，ac20，0，a0，b0點(diǎn)Q（a，b）在第三象限點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)（-a，-b）在第一象限 2.【解】（1）根據(jù)分析可得，下一步“馬”可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)：（0，0），（

15、0，2），（1，3），（3，3），（4，2），（4，0）；（2）軸對稱 （0，0）點(diǎn)和（4，2）點(diǎn)，（0，2）點(diǎn)和（4，0）點(diǎn)3.【解】如圖，設(shè)AD與CD交于點(diǎn)F，CD與AD交于點(diǎn)E.正方形ABCD與正方形ABCD關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，四邊形DEDF是正方形.正方形ABCD的邊長為1，BD=.OB=x，OD=BD-OB=-x.DE=·（-x）=2-x.y=S正方形DEDF=DE2=（2-x）2y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=（2-x）24.【解】延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG（或把CFD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到BGD），CF=BG,DF=DG.DEDF，EF=E

16、G在BEG中，BE+BGEG，即BE+CFEF若A=90°，則EBC+FCB=90°.由（1）知FCD=DBG，EF=EG，EBC+DBG=90°，即EBG=90°.在RtEBG中，BE2+BG2=EG2，BE2+CF2=EF25.C 【解析】如圖所示，能把圖形分成面積相等的兩個部分的直線共有3條6.【解】如果我先放，我就把第一枚放在桌中央，在他擺完后我再在他的中心對稱的位置擺.因?yàn)橹行膶ΨQ是成對的,只要他能擺我就能擺，直到他輸.當(dāng)兩人都知道這個規(guī)則后誰先擺不下誰贏.23.3課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計專題一 根據(jù)旋轉(zhuǎn)、中心對稱、軸對稱的性質(zhì)設(shè)計圖案1.如圖所示是

17、一塊破損的正八邊形窗戶玻璃的圖形，請你利用對稱或其它有關(guān)知識補(bǔ)全圖形（用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）2.認(rèn)真觀察4個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：（1）請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征特征1：_；特征2：_（2）請在圖中設(shè)計出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征專題二 利用旋轉(zhuǎn)、中心對稱的性質(zhì)證明線段之間的關(guān)系3.【2012·濟(jì)寧】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一RtABC，且，已知是由旋轉(zhuǎn)變換得到的（1）請寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是_，旋轉(zhuǎn)角是_度；（2）以（1）中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫出順時針旋轉(zhuǎn)90°、180°的三角形；（3）設(shè)RtA

18、BC兩直角邊、斜邊，利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理4.【2012·漳州】利用對稱性可設(shè)計出美麗的圖案，在邊長為1的方格紙中，有如圖所示的四邊形（頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）.（1）先作出該四邊形關(guān)于直線l成軸對稱圖形，再作出你所作的圖形連同原四邊形繞O點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；（2）完成上述設(shè)計后，整個圖案的面積等于_.知識要點(diǎn)：1.軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的定義.2.軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的性質(zhì).溫馨提示：1.當(dāng)n（n3）為奇數(shù)時，正n邊形是僅僅是軸對稱圖形，對稱軸有n條；當(dāng)n（n3）為偶數(shù)時，正n邊形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸有n條.2.計算網(wǎng)格中圖形面積時，通常利用網(wǎng)格中格線長作為圖形的底或高.方法技巧：1.圖案設(shè)計的基本步驟：（1）確定關(guān)鍵點(diǎn)；（2）根據(jù)要求確定關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；（3）連接關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)成圖.2.對角線互相垂直的四邊形面積等于兩對角線乘積的一半.參考答案1.【解】（1）連接AE、BF相交于點(diǎn)O.（2）分別作C、D兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)的對稱點(diǎn)G、H.（3）