直線和圓概念方法題型易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)

1、概念、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)直線和圓一.直線的傾斜角：1 .定義:在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與X軸相交的直線l,如果把x軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線l重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為a,那么a就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0;2 .傾斜角的范圍0,冗卜如(1)直線xcos0+3y-2=0的傾斜角的范圍是(答：0二U,江)；66(2)過點P(芯,1),Q(0,m)的直線的傾斜角的范圍1a亡工,生,那么m值的范圍是33(答：m_2或m至4)2 .直線的斜率：1 .定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k,即k=tana(aw90);傾斜

2、角為90的直線沒有斜率；(2 .斜率公式：經(jīng)過兩點P(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線的斜率為k=*#x2);X-x23 .直線的方向向量a=(1,k),直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？4 .應(yīng)用：證明三點共線：kAB=kBC。如(1)兩條直線鐘率相等是這兩條直線平行的條件(答：既不充分也不必要)；(2)實數(shù)x,y滿足3x2y5=0(1xP2(x2,y2)兩點，則直線方程為上士=心二衛(wèi)，y2-y1x2-x1它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。4 .截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a,b,則直線方程為-+-=1,它不包ab括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點的直線。5 .一般式：任何直線均可寫成

3、Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的形式。如(1)經(jīng)過點(2,1)且方向向量為二(1，右)的直線的點斜式方程是(答：y-1=-Vs(x-2)；(2)直線(m+2)x-(2m1)y-(3m-4)=0,不管m怎樣變化恒過點（答：（1,2）；（3）若曲線y=2|與丫=x+a（a0）有兩個公共點，則a的取值范圍是（答：a1）提醒：（1）直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等之直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)之直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等U直線的斜率為1或

4、直線過原點。如過點A（1,4）,且縱橫截距的絕對值相等的直線共有條（答：3）四.設(shè)直線方程的一些常用技巧：1 .知直線縱截距b,常設(shè)其方程為y=kx+b;2 .知直線橫截距x,常設(shè)其方程為x=my+x0（它不適用于斜率為0的直線）；3 .知直線過點（A-。），當(dāng)斜率k存在時，常設(shè)其方程為y=k（x_x）+y,當(dāng)斜率k不存在時，則其方程為x=x0;4 .與直線l:Ax+By+C=0平行的直線可表示為Ax+By+C1=0；5 .與直線l:Ax+By+0=0垂直的直線可表示為Bx-Ay+01=0.提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。五.點到直線的距離及兩平行直線

5、間的距離：（1）點P（%,y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=1AxJBy+0l；A2B2（2）兩平行線11:Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+02=0間的距離為d=-21C2t22.AB六.直線11:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0的位置關(guān)系：1.平行UA1B2-A2B1=0（斜率）且B1C2-B2c10（在y軸上截距）；2.相交uA1B2-A2B1#0；3.重合=提醒：（1）A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1A1B1C1A1B1a2b2c2a2b2=00H=曳=C1僅是兩直線平行、相交、重合a2b2c2的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何

6、中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0垂直UA1A2+B1B2=0。如（1）設(shè)直線l1:x+my+6=0和l2：（m-2）x+3y+2m=0,當(dāng)m=0寸l1/l2；當(dāng)m_B寸l1_Ll2；當(dāng)mB寸l1與相交；當(dāng)m_B寸l1與重合1一（答：一1；一；m3且m。一1;3）；2（2）已知直線l的方程為3x+4y-12=0,則與l平行，且過點（一1,3）的直線方程是（答：3x+4y-9=0）；（3）兩條直線ax+y-4=0與x-y-2=0相交于第一象限，則實數(shù)a

7、的取值范圍是（答：-1a2）;（4）設(shè)a,b,c分別是ABC中/A、/B、/C所對邊的邊長，則直線sinAgx+ay+c=0與bx_sinBy+sinC=0的位置關(guān)系是(答：垂直)；(5)已知點P(x3yj是直線l:f(x,y)=0上一點，P2(x2,y?)是直線l外一點，則方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0所表示的直線與l的關(guān)系是(答:平行)；(6)直線l過點(1,0),且被兩平行直線3x+y_6=0和3x+y+3=0所截得的線段長為9,則直線l的方程是(答：4x+3y_4=0和x=1)七.到角和夾角公式：1 .L到l2的角是指直線li繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線l2

8、重合所轉(zhuǎn)的角e,k?-ki6e(0,ntane=(kik2#1)；1，k1k2k_k.2 2)l1與l2的夾角是指不大于直角的角色日W(0,且tane=|I(kk#-1)。21k1k2提醒：解析幾何中角的問題常用到角公式或向量知識求解。如已知點M是直線2x-y-4=0與x軸的交點，把直線l繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)45,得到的直線方程是(答：3xy6=0)八.對稱(中心對稱和軸對稱)問題代入法：如(1)已知點M(a,b)與點N關(guān)于x軸對稱，點P與點N關(guān)于y軸對稱，點Q與點P關(guān)于直線x+y=0對稱，則點Q的坐標(biāo)為(答：(b,a)(2)已知直線L與l2的夾角平分線為y=x,若L的方程為ax+by+c=0

9、(aba0),那么l2的方程是(答:bx+ay+c=0)；(3)點A(4,5)關(guān)于直線l的對稱點為B(2,7),則l的方程是(答：y=3x+3);(4)已知一束光線通過點A(3,5),經(jīng)直線l:3x4y+4=0反射。如果反射光線通過點B(2,15),則反射光線所在直線的方程是(答：18x+y-51=0)；(5)已知AABC頂點A(3,1),AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y59=0,/B的平分線所在的方程為x-4y+10=0,求BC邊所在的直線方程(答：2x+9y-65=0)；(6)直線2xy4=0上有一點P,它與兩定點A(4,1)、B(3,4)的距離之差最大，則P的坐標(biāo)是(答：(5,

10、6);(7)已知AWx軸，BWl:y=x,C(2,1),gABC周長的最小值為(答：屈)。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。九.簡單的線性規(guī)劃：1 .二元一次不等式表示的平面區(qū)域：法一：先把二元一次不等式改寫成ykx+b或y0)；3.圓的參數(shù)方程：x=：；r8s2(9為參數(shù))其中圓心為(a,b),半徑為r。圓的y=b.rsin二參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換兀：x2+y2=r2Tx=rcosO,y=rsin日；x2+y2t+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24FA0),特別提醒：只有當(dāng)D2+E24FA0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表小圓心為(一。，一旦),半徑

11、為22(答：X2+(y+1)2=1);(2)圓心在直線2x_y=3上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(答：(x3)2+(y3)2=9或(x1)2+(y+1)2=1);(3)已知P(1,網(wǎng)是圓X=rc0st(8為參數(shù)，0W82冗)上的點，則圓的普通方y(tǒng)=rsin1程為,P點對應(yīng)的e值為,過P點的圓的切線方程是2(答：x+y=4;；XJ3y+4=0)；3(4)如果直線l將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是(答：0,2);(5)方程x2+y2-x+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為.1(答：k一)；2(6)若M=(x,y)|x=38sn(日為參數(shù)

12、，0e0),22(1)點M在圓C外uCMaru(x0a)+(y0b)ar;(2)點M在圓C內(nèi)二|CM|ru(x0aj十(y0bj2；(3)點M在圓C上之CM=ru(x0aj+(y0bj=r2。如f_,221點P(5a+1,12a)ft圓(x1)+y=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是(答：|a|0)有相交、相離、相切。可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷：(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：A0相交；0u相離；=0u相切；(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d,則dru相離；d=ru相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷。如JT(1)

13、圓2x?+2y2=1與直線xsin日+y-1=0(0RR,0豐二+knkwz)的位置關(guān)系為2(答：相離)；(2)若直線ax+by-3=0與圓x2+y2+4x-1=0切于點P(-1,2),則ab的值(答:2);(3)直線x+2y=0被曲線x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦長等于(答：46);(4)一束光線從點A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是(答:4);(5)已知M(a,b)(ab/0)是圓O:x(答：(x-1)2+y2=2);(2)弦長問題：圓的弦長的計算：常用弦心距d,弦長一半工a及圓的半徑r所構(gòu)2成的直角二角形來解：r=d+(a);過兩圓

14、C1:f(x,y)=0、C2:g(x,y)=0父點的圓(公共弦)系為f(x,y)+Kg(x,y)=0,當(dāng)人=1時，方程f(x,y)+Kg(x,y)=0為兩圓公共弦所在直線方程.。十五.解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!+y2=r2內(nèi)一點，現(xiàn)有以M為中點的弦所在直線m和直線l:ax+by=r2,則A.ml,且l與圓相交B.l_lm,且l與圓相交C.ml,且l與圓相離D.l_Lm,且l與圓相離(答：C);(6)已知圓C:x2+(y1)2=5,直線L:mxy+1m=0。求證：對meR,直線L與圓C

15、總有兩個不同的交點；設(shè)L與圓C交于A、B兩點，若AB=Ji7,求L的傾斜角；求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程.(答：60二或120二最長：y=1,最短：x=1)十三.圓與圓的位置關(guān)系(用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷)：已知兩圓的圓心分別為Oi,O2,半徑分別為小g則(1)當(dāng)|。102b1+2時,兩圓外離；(2)當(dāng)IOQ|=+2時,兩圓外切；(3)當(dāng):2|。1。21+2時,兩圓相交；(4)當(dāng)IOQ42I時,兩圓內(nèi)切；(5)當(dāng)0|O1O2!dJ2|時，兩圓內(nèi)含。如22雙曲線4=1的左焦點為閂，頂點為A1、A2,P是雙曲線右支上任意一點，則ab分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為(答：內(nèi)切)十四.圓的切線與弦長：(1)切線：過圓x2+y2=R2上一點P(x0,y0)圓的切線方程是：xx+yy0=R2,過圓(x-a)2+(y-b)2=R2上點P(x0,y0)圓的切線方程是：(xa)(x0-a)+(y-a)(y0-a)=R?,一般地，如何求圓的切線方程？(抓住圓心到直線的距離等于半徑)；從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來求；過兩切點的直線(即“切點弦”)方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切