201x屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第三課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式專題理

1、第三課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式專題第三課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式專題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考的熱點(diǎn)問題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考的熱點(diǎn)問題, ,常作為解答題的一問出現(xiàn)常作為解答題的一問出現(xiàn), ,難度難度較大較大, ,解決此類問題一般是通過構(gòu)造函數(shù)把不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)單調(diào)解決此類問題一般是通過構(gòu)造函數(shù)把不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)單調(diào)性或最值問題解決性或最值問題解決. .專題概述專題概述方法一方法一 構(gòu)造法證明一元不等式問題構(gòu)造法證明一元不等式問題(2)(2)證明證明:f(x)1.:f(x)1.反思?xì)w納反思?xì)w納 利用導(dǎo)數(shù)法證明不等式利用導(dǎo)數(shù)法證明不等式f(x)g(x)f(x)g(x)在區(qū)間在區(qū)間D D上恒成

2、立的上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),h(x)=f(x)-g(x),然后根據(jù)函數(shù)然后根據(jù)函數(shù)h(x)h(x)的單調(diào)性或的單調(diào)性或最值最值, ,證明證明h(x)0,h(x)0,若若f(x)f(x)與與g(x)g(x)的最值易求出的最值易求出, ,可直接轉(zhuǎn)化為證明可直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)f(x)minming(x)g(x)maxmax; ;若若f(x)f(x)與與g(x)g(x)的最值不易求出的最值不易求出, ,可對(duì)可對(duì)h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)適當(dāng)變形后進(jìn)行轉(zhuǎn)化適當(dāng)變形后進(jìn)行轉(zhuǎn)化. .方法二方法二 等價(jià)轉(zhuǎn)化法證明二元不等式問

3、題等價(jià)轉(zhuǎn)化法證明二元不等式問題反思?xì)w納反思?xì)w納 二元不等式問題有兩種形式二元不等式問題有兩種形式, ,一種形式是對(duì)于同一個(gè)函一種形式是對(duì)于同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)不同自變量而言數(shù)的兩個(gè)不同自變量而言, ,一種形式則是對(duì)不同函數(shù)的不同自變量而一種形式則是對(duì)不同函數(shù)的不同自變量而言言. .利用導(dǎo)數(shù)解決第一種形式的二元不等式的基本思想是把這個(gè)二元利用導(dǎo)數(shù)解決第一種形式的二元不等式的基本思想是把這個(gè)二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式, ,通過構(gòu)造函數(shù)通過構(gòu)造函數(shù), ,然后按照導(dǎo)數(shù)研究一元不然后按照導(dǎo)數(shù)研究一元不等式的方法解決等式的方法解決. .轉(zhuǎn)化的基本思路有兩個(gè)轉(zhuǎn)化的基本思路有兩個(gè), ,一是根

4、據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把一是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)在指定的區(qū)間上是單調(diào)的不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)在指定的區(qū)間上是單調(diào)的, ,二是通過二是通過“齊次變齊次變換換”把不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式把不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式, ,然后構(gòu)造函數(shù)然后構(gòu)造函數(shù). .對(duì)于第二種形式則對(duì)于第二種形式則是轉(zhuǎn)化為不同函數(shù)的最值進(jìn)行解答是轉(zhuǎn)化為不同函數(shù)的最值進(jìn)行解答. .提醒提醒: :在把不等式轉(zhuǎn)換為一元不等式時(shí)要注意變換的等價(jià)性在把不等式轉(zhuǎn)換為一元不等式時(shí)要注意變換的等價(jià)性, ,以及變以及變換后函數(shù)的定義域換后函數(shù)的定義域. .若若a-11,a-11,a1,故故1a2,1a2,則當(dāng)則當(dāng)x(a-1,1)x(a-1,1)時(shí)

5、時(shí),f(x)0;,f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在a-1,1a-1,1上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在(0,a-1,1,+)(0,a-1,1,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .若若a-11,a-11,即即a2,a2,同理可得同理可得f(x)f(x)在在1,a-11,a-1上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在(0,1,a-1,+)(0,1,a-1,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. . 賦值法證明正整數(shù)不等式問題賦值法證明正整數(shù)不等式問題方法三方法三 (2)(2)若若f(x)ln xf(x)ln x在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立, ,求求a a的取值范圍的取值范圍; ;反思?xì)w納反思?xì)w納 【即時(shí)

6、訓(xùn)練】【即時(shí)訓(xùn)練】 (2015(2015山東濟(jì)寧市模擬山東濟(jì)寧市模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ef(x)=ex x-ax-a(-ax-a(其中其中aaR R,e,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.718 28).,e=2.718 28).(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=ea=e時(shí)時(shí), ,求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的極值的極值; ;(1)(1)解解: :當(dāng)當(dāng)a=ea=e時(shí)時(shí),f(x)=e,f(x)=ex x-ex-e,f(x)=e-ex-e,f(x)=ex x-e,-e,當(dāng)當(dāng)x1x1時(shí)時(shí),f(x)0;,f(x)1x1時(shí)時(shí),f(x)0;,f(x)0;所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)在在(-,

7、1)(-,1)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在(1,+)(1,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)在在x=1x=1處取得極小值處取得極小值f(1)=-e,f(1)=-e,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)無極大值無極大值; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)0a10a1時(shí)時(shí), ,求證求證f(x)0;f(x)0;(2)(2)解解: :由由f(x)=ef(x)=ex x-ax-a,f(x)=e-ax-a,f(x)=ex x-a-a當(dāng)當(dāng)a=0a=0時(shí)時(shí),f(x)=e,f(x)=ex x00恒成立恒成立, ,滿足條件滿足條件, ,當(dāng)當(dāng)0a10a1時(shí)時(shí), ,由由f(x)=0,f(x)=0,得得x=ln a,x=ln a,則當(dāng)則當(dāng)x(-,ln a)x(-,ln a)時(shí)時(shí),f(x)0,f(x)0,f(x)0,所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)在在(-,ln a)(-,ln a)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在(ln a,+)(ln a,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)在在x=ln ax=ln a處取得極小值即為最小值處取得極小值即為最小值, ,f(x)f(x)minmin=f(ln a)=e=f(ln a)=eln aln a-aln a-a=-al