正難則反巧用反證法證明不等式

1、.正難那么反，巧用反證法證明不等式正難那么反，巧用反證法證明不等式反證法是根據(jù)“正難那么反的原理，即假如正面證明有困難時(shí)，或者直接證明需要分多 種情況而反面只有一種情況時(shí)，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應(yīng)用， 而且在代數(shù)中也經(jīng)常出現(xiàn)。用反證法證明不等式就是最好的應(yīng)用。要證明不等式 A>B，先假設(shè) A≤B，然后根據(jù)題設(shè)及不等式的性質(zhì)，推出矛盾，從而 否認(rèn)假設(shè)。要證明的不等式中含有“至多、“至少、“均是、“不都、“任何、“唯一等 特征字眼，假設(shè)正面難以找到解題的打破口，可轉(zhuǎn)換視角，用反證法往往立見奇效。例 1. 設(shè) a ，b ，c ，d 均為正數(shù)，求證：

2、以下三個(gè)不等式a +b a + b c + d < ab + cd ， a + b cd < ab c + d 中至少有一個(gè)不正確。證明：假設(shè)不等式、都成立，因?yàn)?a，b，c，d 都是正數(shù)，所以由不等式、 得， a + b 2 < a + b c + d < ab + cd 。由不等式得， a + b cd < ab c + d ≤ a 2+ b 2 · c + d 因?yàn)閍 + b > 0 ，所以4cd < a + b c + d 綜合不等式，得4 cd &am

3、p;lt; ab + cd ，3cd < ab ，即cd < 13 ab由不等式，得 a + b 2 < ab + cd < 43 ab ，即a 2 + b 2 < − 23 ab ，顯然矛盾。∴不等式、中至少有一個(gè)不正確。例 2. a + b + c > 0 ， ab + bc + ca > 0 ， abc > 0，求證：a > 0 ， b > 0 ，c > 0 。證明：由abc >

4、0 知a ≠0，假設(shè)a < 0 ，那么bc < 0又因?yàn)閍 + b + c > 0 ，所以b + c > −a > 0 ，即a b + c < 0從而ab + bc + ca = a b + c + bc < 0 ，與矛盾。∴假設(shè)不成立，從而a > 0同理，可證b > 0 ，c > 0 。例 3. 假設(shè) p > 0 ，q > 0 ，p 3 + q 3 = 2 ，求證： p

5、+ q ≤ 2 。證明：假設(shè) p + q > 2 ，那么 p + q3 > 8 ，即 p 3 + q 3 + 3 pq p + q > 8 。因?yàn)?p 3 + q 3 = 2 所以 pq p + q > 2故 pq p + q > 2 = p 3 + q 3 = p + q p 2 − pq + q 2 又 p > 0 ，q > 0 ，即 p + q > 0∴ pq > p 2 − pq + q

6、 2 ，即 p − q2 < 0 ，不成立。故假設(shè)不成立，即 p + q ≤ 2 。大于 1。例 3. 假設(shè) p > 0 ，q > 0 ，p 3 + q 3 = 2 ，求證： p + q ≤ 2 。證明：假設(shè) p + q > 2 ，那么 p + q3 > 8 ，即 p 3 + q 3 + 3 pq p + q > 8 。因?yàn)?p 3 + q 3 = 2 所以 pq p + q > 2故 pq p + q > 2 = p 3 + q 3

7、= p + q p 2 − pq + q 2 又 p > 0 ，q > 0 ，即 p + q > 0∴ pq > p 2 − pq + q 2 ，即 p − q2 < 0 ，不成立。與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時(shí)期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師。于是看，宋元時(shí)期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢?，“老師一

8、說是比較晚的事了。如今體會，“老師的含義比之“老師一說，具有資歷和學(xué)識程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。我國古代的讀書人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識記幾千個(gè)漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語文教學(xué)效果差,中學(xué)語文畢業(yè)生語文程度低,十幾年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語文是2749課時(shí),恰好是30%,十年的時(shí)間,二千七百多課時(shí),用來學(xué)本國語

9、文,卻是大多數(shù)不過關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中程度以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本構(gòu)造:提出問題分析問題解決問題,但真正動起筆來就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無“米下“鍋。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書就很難寫出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中學(xué)生作文的通病。要解決這個(gè)問題,不能單在布局謀篇等寫作技方面下功夫,必須認(rèn)識到“死記硬背的重要性,讓學(xué)生積累足夠的“米。故假設(shè)不成立，即 p + q ≤ 2 。

10、觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹