MAAB牛頓插值法例題與程序

1、題目一：多項(xiàng)式插值某氣象觀測(cè)站在8:00（AM開(kāi)始每隔10分鐘對(duì)天氣作如下觀測(cè)，用三次多項(xiàng)式插值函數(shù)（Newton）逼近如下曲線，插值節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)如上表，并求出9點(diǎn)30分該地區(qū)的溫度（x=10）。xi2345678y二、數(shù)學(xué)原理假設(shè)有n+1個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)及函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的值(Xq,y0),(xn,yn),插值多項(xiàng)式有如下形式：Pn(x)01(x-xo)2(x-xo)(xX1)n(x-xo)(XX1)(XXn)(1)其中系數(shù)i(i=0,1,2n)為特定系數(shù)，可由插值樣條Pn(x)yi(i=0,1,2n)確定。根據(jù)均差的定義，把x看成a,b上的一點(diǎn)，可得f(X)=f(X。)+fXq,Xi(X-Xo)fX,

2、Xo=fXo,Xi+fX,Xo,Xi(X-Xi)fx,Xo,Xn-i=fx,Xo,-Xn+fx,X。，Xn(XX0)綜合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f(x)=fXo+fX。，Xi(X-Xo)+fX。，Xi,X2(X-Xo)(X-Xi)+fX,X。，-Xn(X-Xo)-(X-Xn-i)+fX,X。，-Xn,xni(X)=Nn(X)+R0(X)其中Nn(X)=fXo+fX。，Xi(X-X。)+fX。，Xi,X2(X-X。)(X-xJ+fX,X。，Xn(X-X。)(X-Xn-i)(2)Rn(X)=f(X)-Nn(X)=fX,X。，Xn，Xni(X)(3)ni(x)=(X-Xo)(X-Xn)

3、Newton插值的系數(shù)i(i=0,i,2n)可以用差商表示。一般有kfx。，XiXk(k=0,i,2,n)(4)把(4)代入(1)得到滿足插值條件Nn(xi)f(xi)(i=0,1,2,n)的n次Newton插值多項(xiàng)式Nn(X)=f(X0)+fXo,Xi(X-Xi)+fX0,X1,X2(x-x1)(x-x2)+fXo,XiXn(X-Xi)(X-X2)(X-Xn-1).其中插值余項(xiàng)為：介于X0，X1Xk之間。三、程序設(shè)計(jì)functiony,A,C,L=newdscg(X,Y,X,M)%y為對(duì)應(yīng)x的值，A為差商表，C為多項(xiàng)式系數(shù)，L為多項(xiàng)式%取給定節(jié)點(diǎn),Y為節(jié)點(diǎn)值,x為待求節(jié)點(diǎn)n=length(X

4、);m=length(x);%門(mén)為X的長(zhǎng)度f(wàn)ort=1:mz=X(t);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y's=;p=;q1=;c1=;forj=2:nfori=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1);endq1=abs(q1*(z-X(j-1);c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n);fork=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k);d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endy(k)=polyval(C,z);%輸出y值endL(k,:)=poly2sym(C);%輸出多項(xiàng)式>>symsM,X=1,3,5,7;Y=,;X=10;>>y,A,C,L=newdscg(X,Y,X,M)y=A=四、結(jié)果分析和討論對(duì)于不超過(guò)三次的插值多項(xiàng)式，x如果選取1,3,5,7這三個(gè)點(diǎn)能夠得到較好的三次插值多項(xiàng)式L=AA2+。當(dāng)x=10時(shí)，也即9點(diǎn)30分時(shí)的溫度為度，結(jié)果分析知此值應(yīng)是偏小的。對(duì)于選取不同的插值節(jié)點(diǎn)，能夠得到不同的插值多項(xiàng)式，誤差也不盡相同。五、完成題目的體會(huì)與收獲對(duì)于牛頓插值法有了更深