8A學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

1、幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗-從2011年課標(biāo)的三個案例說起北京教科院 吳正憲 如何幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)?？我們?011年課標(biāo)附錄的三個案例說起。 案例1：圖中每個小方格為1個面積單位，試估計曲線所圍成的面積。如圖一: (圖一)教師們對此題目并不陌生，解決這個問題通常的做法是數(shù)方格。先數(shù)一數(shù)有多少個整格，再數(shù)一數(shù)有幾個半格，把不滿整格的進(jìn)行整合,最后累加起來,用此方法估計不規(guī)則圖形的面積。這是我們常用的方法。在這次審定課標(biāo)的討論中，張恭慶院士的發(fā)言對我頗有啟發(fā)。他認(rèn)為這樣處理沒能體現(xiàn)估算的價值，此題還可以挖掘更豐富、更深刻的內(nèi)涵。在張恭慶院士的建議下，

2、我們進(jìn)行了討論，課標(biāo)修改組對此也作了認(rèn)真修改，以充分體現(xiàn)該題的數(shù)學(xué)教育價值。教學(xué)時教師可以幫助學(xué)生事先做好規(guī)劃，鼓勵學(xué)生運用不同的方法估計圖形的面積。例如，教學(xué)中教師可以啟發(fā)學(xué)生首先觀察圖形，邊進(jìn)行思考“你認(rèn)為曲線所圍成的面積結(jié)果可能會在那個范圍之間呢？你能用已有的經(jīng)驗來解決這個問題嗎？” 教師可以引導(dǎo)學(xué)生試一試。首先選擇好用來估計的“單位”即：以圖形中的一個小方格為一個單位。再找出曲線圍成圖形面積的上界和下界。學(xué)生可以這樣操作，先數(shù)出曲線圍成圖形內(nèi)包含的完整小方格數(shù)，用彩色筆將它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的下界（有75個這樣的單位）；然后再數(shù)出曲線圍成圖形邊緣接觸到的所有的小方格數(shù)，

3、也用彩色筆將它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的上界（有113個這樣的單位）。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，第一種方法估計的比實際面積小，第二種方法估計的比實際面積大，實際的面積是在這兩個數(shù)之間。 由此確定曲線圍成圖形面積可能的取值范圍。如圖二：(圖二)在此基礎(chǔ)上教師可以鼓勵引導(dǎo)學(xué)生用自己的方法進(jìn)行估計，通過記錄、計算、比較的探究過程，體會估算的意義和方法。 教師繼續(xù)追問“那么還有什么方法能使估算的結(jié)果更接近實際面積的嗎？試一試！”對學(xué)有余力的學(xué)生無疑是提出了更富有挑戰(zhàn)性的問題。引導(dǎo)學(xué)生將所有的方格等分成更小的方格，繼續(xù)利用上面的經(jīng)驗，探索出更接近實際面積的估計值。滲透極限思想。如圖三: (圖三)同樣

4、的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，截然不同的教學(xué)設(shè)計，給我們的啟示是什么？ “數(shù)方格”的設(shè)計沒能充分體現(xiàn)估算的學(xué)習(xí)價值，只是把估算當(dāng)成一個操作技能數(shù)方格（知識點）去教了，為了教估算而估算。“尋找區(qū)間”的設(shè)計則注重學(xué)生估算意識和方法的培養(yǎng)。特別是選擇合適的估計“單位”是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效估算的關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生體驗逐漸逼近的極限思想。教學(xué)過程中教師要注重幫助學(xué)生養(yǎng)成事先做好規(guī)劃的習(xí)慣，啟發(fā)學(xué)生運用不同的方法估計圖形的面積。通過對上界、下界的確定，幫助學(xué)生尋求取值范圍，找到合適的區(qū)間。這個上界、下界的確定，對學(xué)生體驗估算是很有意義的。這是真正意義上估算價值的體現(xiàn)。 特別是通過教師引導(dǎo)學(xué)生將方格等分成更小的方格，使估計值更

5、逼近準(zhǔn)確值，從中滲透“極限”的數(shù)學(xué)思想。這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很有意義的。估算教學(xué)要通過在具體情境背景下的問題解決，培養(yǎng)學(xué)生用近似的思想解決問題，培養(yǎng)學(xué)生估算意識和方法，讓學(xué)生多擁有一種解決問題的方法。并在其中幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想和方法，積累數(shù)學(xué)數(shù)活動的經(jīng)驗。案例2：“一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60個，那么有幾個椅子和幾個凳子？” 此題目老師們似乎也很熟悉，有人把它稱為“雞兔同籠”的變型。這是在過去的奧數(shù)培訓(xùn)中是不可缺少的訓(xùn)練內(nèi)容。今天的課標(biāo)中又增加了這樣的案例，為什么？該案例的數(shù)學(xué)教育價值何在？面對著同樣的教學(xué)內(nèi)容，今天該怎樣進(jìn)行教學(xué)？我們

6、不妨將兩種教學(xué)方法做一個比較。過去教學(xué)此內(nèi)容教師通常采用假設(shè)法，一開始就將自己明白的道理講給學(xué)生，比如“我們把所有的椅子都假設(shè)成有三條腿計算時，求出來的就是四條腿的椅子數(shù)；我們再把所有的椅子都假設(shè)成有四條腿計算時，求出來的就是三條腿的凳子數(shù)；”接著一下子就把算式給出來了。 （6016×3）÷（43）12（四條腿的椅子數(shù)）（60×460）÷（43）4（三條腿的凳子數(shù)）學(xué)生死記硬背公式，照貓畫虎完成任務(wù)，沒有經(jīng)歷公式數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程。這樣的教學(xué)事實上正像東北師大史寧中校長所說“老師講課不能太聰明了，老師雖然知道結(jié)果，但要引發(fā)學(xué)生思考。教師一下子把算式給出來了

7、，學(xué)生還探討什么？”在這樣的課堂里學(xué)生已經(jīng)沒有了探索的空間。課標(biāo)（2011年版）教學(xué)建議中讓學(xué)生在解決問題的過程中“感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”在此已經(jīng)成為了一句空話！我們一起來看看課標(biāo)（2011年版）在案例的解讀中給出了怎樣的建議？這樣的教學(xué)又會給學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來怎樣的后勁兒？教師首先引導(dǎo)學(xué)生在對題目理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行觀察與猜想，并進(jìn)行大膽嘗試，讓每一位學(xué)生親自做一做，運用嘗試的方法探索規(guī)律，得出結(jié)果。并記錄計算的過程，引發(fā)新的思考。如： 椅子數(shù) 凳子數(shù) 腿的總數(shù) 16 0 4×16=64 15 1 4×15+3×1=63 14 2 4×14+3

8、×2=62啟發(fā)學(xué)生觀察，“每減少一個椅子就要增加一個凳子，腿的總數(shù)就要減少4-3=1?！?如果繼續(xù)嘗試下去會有怎樣的情況發(fā)生？學(xué)生帶著觀察結(jié)果，繼續(xù)探究 13 3 4×13+3×3=61 12 4 4×12+3×4=60至此得到椅子數(shù)12，凳子數(shù)4時，腿數(shù)恰好為60。通過引導(dǎo)學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)：腿的總數(shù)為60時，需要減少的椅子數(shù)是64-60=4，于是椅子數(shù)是16-4=12，凳子數(shù)是0+4=4。最后驗證：12×4+3×4=60，是正確的。當(dāng)然，也可以引導(dǎo)學(xué)生從凳子數(shù)的變化思考，即：“每減少一個凳子就要增加一個椅子，腿的總數(shù)就要增加4-

9、3=1?！?教學(xué)中教師通過引導(dǎo)學(xué)生以常見的“四條腿的椅子、三條腿的凳子”簡單背景為研究素材，通過學(xué)生的觀察、猜想、實驗、發(fā)現(xiàn)“每減少一個椅子就要增加一個凳子，腿的總數(shù)就要減少4-3=1?！睂W(xué)生在嘗試中不斷地歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律，抽象出數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上推廣到其他同類問題的研究中。學(xué)生在解決問題的實踐中感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要途徑。對于學(xué)有余力的學(xué)生，教師可以鼓勵他們用字母代替椅子數(shù)與凳子數(shù)，得到計算腿的總數(shù)的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生經(jīng)歷了觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動，得出數(shù)學(xué)結(jié)論。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程，體會到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想歸納法。歸納是人們認(rèn)識事

10、物的基本的思想方法，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中感悟數(shù)學(xué)思想方法，同時學(xué)會逐步積累利數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)作好準(zhǔn)備。比較兩個案例，您從中獲得了怎樣的思考？ 案例3：圖形分類 如圖，桌上散落著一些扣子，請把這些扣子分類。想一想：應(yīng)當(dāng)如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)？根據(jù)分類的標(biāo)準(zhǔn)可以把這些扣子分成幾類？然后具體操作，并用文字、圖畫或表格等方式把結(jié)果記錄下來。 面對著形狀不同、顏色不同的、扣眼的數(shù)量不同的眾多扣子，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生該從何做起？如何理利用學(xué)生已有的經(jīng)驗進(jìn)行分類？又該如何表示記錄這些分類的結(jié)果呢？怎樣滲透分類的思想？教學(xué)中教師要注重結(jié)合具體的分類任務(wù)，設(shè)計有效的數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷完整的分類過程。建議教

11、師可以先放手讓學(xué)生先自己試一試，讓他們在困惑中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、學(xué)會反思；再動手實踐、歸納概括、形成正確的結(jié)論。具體建議分四步完成：學(xué)生自己嘗試、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。（為什么同樣的扣子分的結(jié)果不一樣？ 引起主動反思。）討論確定分類標(biāo)準(zhǔn)。（讓學(xué)生理解分類是要依賴分類標(biāo)準(zhǔn)的，例如，可以根據(jù)扣子的形狀、扣子的顏色或者扣眼的數(shù)量制定分類的標(biāo)準(zhǔn)。注意引導(dǎo)學(xué)生反思分類標(biāo)準(zhǔn)的交錯造成的分類結(jié)果的重疊與遺漏，如：藍(lán)色的一類，方型的一類，就會有扣子既不在藍(lán)色的一類，又不在方型的一類，而有些扣子既在藍(lán)色的一類，也在方型的一類。所以分類時，要按同一類的標(biāo)準(zhǔn)分。）抽象出圖形共性。（根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)學(xué)生實際操作，并

12、運用文字、圖畫或表格等方法記錄分類的結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生整理數(shù)據(jù)的能力。）組織匯報。（學(xué)生報告分類結(jié)果，互動評價，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧整理思路。）2011年課標(biāo)指出：“分類就是一種重要的數(shù)學(xué)思想。分類的過程就是對事物共性的抽象過程?！睂W(xué)生正是在嘗試問題解決的過程中，感悟這樣一種分類的數(shù)學(xué)思想和方法。在分類的過程中學(xué)生首先發(fā)現(xiàn)了問題“為什么同樣的扣子分的結(jié)果卻不一樣？”，引起主動反思，從而激起去尋求“新分類標(biāo)準(zhǔn)”的需求；然后再探索“新標(biāo)準(zhǔn)下的分類方法”。學(xué)生經(jīng)歷了對“形狀不同、顏色不同、扣眼數(shù)量不同”扣子的分類過程，在數(shù)學(xué)活動中體會著如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)？如何在分類的過程中認(rèn)識對象的性質(zhì)？如何區(qū)分不同對象的不同性質(zhì)？經(jīng)過實驗探索不斷積累活動經(jīng)驗，加深對分類思想與分類