南京理工大學(xué)2008級(jí)高數(shù)考題

1、高等數(shù)學(xué)H期末自測(cè)題參考答案選自南京理工大學(xué)2008級(jí)高數(shù)考題、填空題每題3分，共30分I12(0,2,1)12a(1,1,2),b(0,1,2)，則ab10(1,1,1)到平面3x6y2z14(3,0,1)且與平面3x7y5z120平行的平面方程為_(kāi)3x7y5z4zf(xy,2xe2y)，則yf12f2xt4t3相應(yīng)于t1處的法平面方程為4(x(y(zodx*f(x,y)dy的積分次序?yàn)?#176;dyof(x,y)dyz<x2y2(0z1),則zdS.xxy2.2dxdy-2-2x2y213A(x2yz)I(y2zx)j(z2xy)k,則divA-2(xyz).f(x)以2為周期，且

2、f(x)x(x)，其Fourier級(jí)數(shù)為a。(ancosnxbnsinnx),貝U2n1b2xsin2xdx0(1)nn2亍2n02二、8分求函數(shù)f(x,y)x22xyyxy1的極值，并指出是極大值還是極小值.解:fx(x,y)2xy1,fy(x,y)2yx1,fx(x,y)02xy1p_，即一.fy(x,y)02yx1，得駐點(diǎn)(1,1).由于0Afxx(x,y)2,Bfxy(x,y)1,Cfyy(x,y)2,2(B2AC)xi12230,A20,yi則(1,1)為極小值點(diǎn)，極小值為f(1,1)2.三、8分求級(jí)數(shù)(nn01)xn的收斂域及它的和函數(shù).1，當(dāng)x1時(shí)，級(jí)數(shù)(n1)(1廣均n0解：由

3、于lim|急|lim|1,則Rnannn1發(fā)散，所以收斂域?yàn)?1,1).設(shè)s(x)(n1)xn,n0則：s(t)dt(n1)：tndtxn10n00n01x于是s(t)ddxx0s(t)dt1(1x)2四、8分計(jì)算l(5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy,其中L是拋物線(xiàn)yx2上自點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)的一段弧.解：P(x,y)5x43xy2且3222y,Q(x,y)3xy3xyy在xoy面偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),6xy3y2，則曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，取折線(xiàn)段(0,0)(1,0)(1,1),則4_23-2_22l(5x3xyy)dx(3xy3xyy)dy：(5x43x20203)dx；(3

4、12y31y2y2)dy(i116五、8分計(jì)算曲面積分ox(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,其中是由柱面x2y21,平面z0,z3所圍立體外表的外側(cè).解:P(x,y,z)x(yz),Q(x,y,z)zx,R(x,y,z)xy在柱面x2y21,平面z0,z3所圍立體上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則由高斯公式有I.：x(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy(切xQSdvyz(yz)dvydvzdv第一個(gè)積分為0,想想為什么?30zdz0Ddxdy329z12dz-02六、8分求以下方程的通解:,y1.xyylnxy*x解：xy'ln'，方程為齊次微分方程；設(shè)u"

5、，則yxxx代入得u(lnu1)dx,x兩端積分1dxx即ln(lnu1)lnxlnC或lnuCx1將u-代回得x2x2.y4y3ye.yCx1xe2r解：方程為二階非齊次線(xiàn)性微分方程，對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性微分方程的特征方程4r30的特征根為ri1,”3；f(x)e2x中2不是特征方程的根，則特解形式為yAe2x,代入得A,在由解的結(jié)構(gòu)得方程的通解為15CiexC2e3xe2x15七、10分設(shè)vnUn2UnWnUn2Un一，證明:Un絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)證：由于Vn收斂;un絕對(duì)收斂，即|un|收斂，則Un也收斂，又vnn1i|Un由性質(zhì)知vn收斂.n1Un條件收斂，則級(jí)數(shù)n1Wn發(fā)散.n1證：反證假設(shè)n

6、Wn收斂,已知Un收斂,由WnUn即|Un|2WnUn及性質(zhì)知|Un|收斂,n1Unn1Wn發(fā)散.八、10分一均勻物體是由拋物面z22-e一xy及平面1所圍成.的體積;解：在xoy面投影域,則所圍體積為的質(zhì)心.解：由于所以質(zhì)心坐標(biāo)為1(x2D21d0(10112(-242y2)dxdyr2)rdr是均勻物體及幾何體關(guān)于yoz面、xoz面對(duì)稱(chēng),則質(zhì)心坐標(biāo)應(yīng)為(0,0,Z)；zdv九、10分1x2解:dv1rdr0V1r2zdz2、(0,0,J設(shè)D(x,y)|,x0，y0,1x2y2表示不超過(guò)y2的最大整數(shù)，計(jì)算二重積分xy1y2dxdy.2Di(x,y)|x1,x0,y0,D2（x,y）|1x2y22,x0,y0,DiD2,且當(dāng)（x,y）Di時(shí)，1x2y21，當(dāng)（x,y）D2時(shí)，1x2y22,所以xy1x2y2dx