反常積分概念工科

1、第十一章反常積分1反常積分的概念（一）教學目的：掌握反常積分的定義和計算方法.（二）教學內(nèi)容：無窮積分；瑕積分.基本要求：掌握無窮積分與瑕積分的定義與計算方法.（三）教學建議：講清反常積分是變限積分的極限教學要點:一問題的提出例1（第二宇宙速度問題）1反常積分概念在地球表面初值發(fā)射火箭，要是火箭克服地球引力，無限遠離地球，問初速度至少多大？解設(shè)地球半徑為R，火箭質(zhì)量為m地面重力加速度為g,有萬有引力定理，在距地心x處火箭受到的引理為F(x)_mgR2一2x于是火箭上升到距地心r處需要做到功為mg2dmgR2(-1)rxRr當t*時，其極限就是火箭無限遠離地球需要作的功.mgR2maR2廠dx=

2、limdx=mgRRXr：RX；mv2=mgR例2從盛滿水開始打開小孔，問需多=Vo=.2gR11.2(km/s)長時間才能把桶里水全部放完?解由物理學知識知道，（在不計摩擦情O況下），桶里水位高度為h-X時，水從小孔里流出的速度為v=.2g(h-x)R軟設(shè)在很短一段時間盅內(nèi)，桶里水面降低的再由能量守恒定律，可求得處速度v0至少應(yīng)使高度為Ax,則有下面關(guān)系:2.2.:Rx=vrt由此得R2t=9r2.2g(h-x)x,x0,h所以流完一桶水所需的時間應(yīng)為tfh0r2(2g(h-x)R2dx但是，被積函數(shù)在（0,h上是無界函數(shù)，所一我們?nèi)R2tf=lim2dxuJr(2g(h-x)2R2-2(

3、、,h-、h-u)gr相對于以前學習的定積分（正常積分）二兩類反常積分的定義無窮限反常積分的定義,我們把這里的積分叫做反常積分。A一F(A)=,Jf=F(E)_F(a).a無窮限反常積分幾何意義討論積分由Adx01X2aXAdx計算積分dX0x22x5例2討論以下積分的斂散性dxtc.dx2x(lnx)p-bo例3討論積分Jcosxdx的斂散性二.瑕積分：（先介紹函數(shù)的瑕點）瑕積分的定義：以點b為瑕點給出定義.然后就點a為瑕點、點cw（a,b）為瑕點以及有多個瑕點的情況給出說明dxd的斂散性.2-x1例9判斷積分0.11dxbe.dx例10討論瑕積分J專(q0)的斂散性，并討論積分的斂散性.1

4、. 瑕積分與無窮積分的關(guān)系：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，b為瑕點.有.f(x)dx=a7rn11fb-|=dt,1Lt)t2b-a3. 把瑕積分化成了無窮積分i-：t=xg(x)dx=a0一.g1a，dt-ILt*-把無窮積分化成了瑕積分可見，瑕積分與無窮積分可以互化因此，它們有平行的理論和結(jié)果例11,11一，證明瑕積分i&sindx當口2時收斂.11xzt證明-Hesint2敏dt,由例6,該積分當口a,f(x)和g(x)在區(qū)間a,A上可積.則-bog二，=aboJf:設(shè)在區(qū)間a,+口）上函數(shù)-bo0c二，=ffg共斂散：a-boc=0,=gc=+8,nJg=+8時，Jf=+oa.(證)Cauchy

5、判斂法：(以/蟲為比較對象,即取g(x)=1p.以下a0)1xpx設(shè)對任何Aa,f(x)wCa,A,01,xp-bofp.1,0J：,=p-1,0：，_二，=例5討論以下無窮積分的斂散性-boixedx,(0);其他判斂法：-boff+8;a-bof=+.(證)aAbel判斂法：若f(x)在區(qū)間a,+8)上可積，g(x)單調(diào)有界，則積分f(x)g(x)dx收斂.Dirichlet判斂法：設(shè)F(A)=Jf在區(qū)間a,十)上有界，g(x)在aa,+)上單調(diào)，且當xt+=o時，g(x)T0.f(x)g(x)dx收斂.例6討論無窮積分sinx-bocosxdx與dx(p0)的斂散性1X例7證明下列無窮積

6、分收斂，且為條件收斂-be-besinx2dx,cosx2dx,-boxsinx4dx.1例8(乘積不可積的例)設(shè)f(x)=半,XX1,+00).由例6的結(jié)果,-bo積分jf(x)dx收斂.sin2x但積分jf(x)f(x)dx=Jdx卻發(fā)放.(參閱例3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別Th（比較原則）推論1（Cauchy判別法）推論2（Cauchy判別法的極限形式）例12判別下列瑕積分的斂散性1InyJ席dx,（注意被積函數(shù)非正）.0X例13討論非正常積分o1Xdx的斂散性.2、xdx.1Inx1P330E134CHR積分與R積分的差異:1.f(x)Ra,b,n在a,b上f(x)=0(1)；但f(x)在區(qū)間a,+8)上可積，gf(x)在區(qū)間a,+七)上有界.例如函數(shù)f(x)=*2.f(x)在Ra,b,n|f(x)|在Ra,b,但反之不確.R積分是絕對型積分.|f(x)|在區(qū)間a,十叫)上可積，nf(x)在區(qū)間a,十叫)上可積，但反之不確.CR積分是非絕對型積分.3.f(x